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아르키메데스 다면체 Archimedean Solids |
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준정다면체 | 반정다면체 | |||
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| 깎은 정팔면체 | |||||
| 깎은 정십이면체 | |||||
| 깎은 정이십면체 | |||||
반정다면체 중 하나인 다듬은 육팔면체의 모습.
1. 개요
다듬은 六八面體, Snub cuboctahedron / Snub cube[1]한 꼭지점에 정사각형 한 개와 정삼각형 네 개를 배치해 만든 반정다면체. 위 그림과 같이 육팔면체의 각 모서리들을 쐐기꼴[2]로 대체하여 만들 수 있다. 이 과정이 마치 다면체의 모서리를 다듬는 것 같다고 하여 다듬은 육팔면체라고 불린다.
다듬은 육팔면체는 다듬은 십이이십면체와 더불어 체 자신을 상하, 또는 전후/좌우 대칭해서 만든 거울상이 원본과 같지 않은 카이랄성 도형이다.
2. 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | sr{3,4} 또는 sr{3,4}[3][4] | |
| 꼭지점 형태 | 3.3.3.3.4[5] | |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 24 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 60 | |
| 면(face, 2차원) | 38 | 정삼각형×32, 정사각형×6 |
| 쌍대 | 오각이십사면체 | |
|
포함 관계[6] 또는 다른 이름[7] |
외접구의 반지름 = [math(\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]{199+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{199-3\sqrt{33}}+10}{12}} \times a)][8]
겉넓이(surface area) = [math((6+8\sqrt3)a^2)]
부피(volume) = [math(\frac{\sqrt{188+\sqrt[3]{6448437-45111\sqrt{33}}+\sqrt[3]{6448437+45111\sqrt{33}}}}{3}\times a^3)][9]
간추려서 정리하자면 t=[math(\dfrac{1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3})]라 할때 외접구의 반지름은 [math(\sqrt{\dfrac{3-t}{4(2-t)}} \times a)]이며 부피는 [math(\dfrac{3\sqrt{t-1}+4\sqrt{t+1}}{3\sqrt{2-t}}\times a^3)]가 나온다.
외접구의 반지름과 부피는 거듭제곱근 형태로 나타낼 수 없으며, 유클리드 작도가 불가능한 수이다. 다만 2제곱근과 3제곱근 형태가 번갈아 나타나며 뉴시스 작도를 이용하면 다듬은 육팔면체, 다듬은 십이이십면체 모두 작도가 가능해진다.
실근이지만 복소수의 거듭제곱근이 등장해서 환원 불능 상태라 매끄러운 값을 못얻는 정칠각형, 정구각형의 면적과 달리 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체는 모든 근이 실수로 이루어져서 값이 매끄럽게 나온다. 다른 아르키메데스 다면체와는 달리 다듬은 육팔면체나 다듬은 십이이십면체에는 각의 삼등분이 들어가서 필연적으로 3차방정식을 피할 수 없게 되다 보니[10] 3제곱근이 나오게 된다. 뉴시스 작도나 종이접기 작도로 일반적인 삼차방정식의 해를 구할 수 있으니 가능한 것이다. n차원 아르키메데스 다면체 종류 중에서 3제곱근이 들어가는 것은 특이한 형태이며 4차원 이상에서는 이런 도형이 사라진다.
[1]
복수는 snub cuboctahedra / snub cube
[2]
삼각형 두 개로 이루어진 입체 도형이며, 이 경우 정삼각형 두 개를 각을 이루도록 붙인 도형을 의미함
[3]
s는 해당 다면체를 다듬는 것(모서리를 쐐기꼴로 대체하는 것)을 의미하며, r은 해당 다면체의 모서리 절반 지점까지 깎아 중간 도형을 만드는 것을 의미한다. 따라서 sr{n,m}은 {n,m}을 절반 깎은 뒤 다듬었다는 의미.
[4]
[math(s\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix})]라고 쓰기도 한다.
[5]
한 꼭지점에 정삼각형 4개-정사각형 순서대로 모인다는 뜻.
[6]
반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우
[7]
반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름
[8]
[math(32x^6-80x^4+44x^2-7=0)]의 양수인 근[math(\times a)], 근사값 1.343713373744602 a
[9]
[math(729x^6-45684x^4+19386x^2-12482=0)]의 양수인 근[math(\times a^3)], 근사값 7.88947739997539 a^3
[10]
변의 길이가 [math(1)], [math(1)], [math(1)], [math(1)], [math(\sqrt{2})] 혹은 [math(1)], [math(1)], [math(1)], [math(1)], [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})]의 오각뿔 높이를 구할 때 사용.