최근 수정 시각 : 2024-11-03 16:56:28
1 . 개요2 . 공식3 . 증명4 . 따름정리5 . 기타6 . 관련 문서
三
角
函
數 -
加
法
定
理 / angle addition and subtraction formulas
각 의 합이나 차에 대한
삼각함수 의 값을 구하는 공식이다.
알렉산드리아 의 수학자
프톨레마이오스 (Claudius Ptolemaeus)의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었다.두 각 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned} )]
복부호 동순 이며, [math(\alpha)], [math(\beta)]의 부호에 관계 없이 성립한다.
쌍곡선 함수 이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha\pm i \beta)}&=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta \\ \cos{(\alpha\pm i \beta)}&=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta \\\tan{(\alpha\pm i \beta)}&=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta} \end{aligned} )]
이 문서에서는 대표적인 6가지를 서술했으나 이 외에도 여러 방법이 있다.
단위원 을 그리고, [math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]([math(\alpha \geq \beta \geq 0)])인 두 반지름 [math(\overline{\rm{OA}})], [math(\overline{\rm{OB}})]를 고려하자. 세 점 [math(\rm O)], [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 삼각형 [math(\rm OAB)]를 형성하며, [math({\rm A}(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}))], [math({\rm B}(\cos{\beta},\,\sin{\beta}))]이다.
코사인 법칙 을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&={\overline{\rm{OA}} }^{2}+{\overline{\rm{OB}} }^{2}-2{\overline{\rm{OA}} } \cdot {\overline{\rm{OB}} } \cos{(\angle \rm AOB)}\\ &=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(\alpha-\beta)} \\&= 2-2\cos{(\alpha-\beta)} \end{aligned} )]
한편, 좌표 사이의 거리 공식에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&=\left[\sqrt{(\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^{2}} \right]^{2} \\&=(\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha})+(\sin^{2}{\beta}+\cos^{2}{\beta})-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}) \\&=1+1-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \\&=2-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \end{aligned} )]
여기서 삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 사용하였다. 위와 아래의 결과를 비교함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \cos{\left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha \pm \beta) \right\} }=\sin{(\alpha \pm \beta)} )]
임을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \mp \beta \right)} \\&=\cos{\left\{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \mp \beta \right\}} \\&=\cos{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\cos{\beta} \pm \sin{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\sin{\beta} \\&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\sin{(\alpha \pm \beta)}}{\cos{(\alpha \pm \beta)}}\\&=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} }\\&= \frac{\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} }}{\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} } \\&=\frac{\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \pm \dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{1 \mp \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} } \\&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha} \tan{\beta}} \end{aligned} )]
3.1.1. 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효한 이유[1] [math(\boldsymbol{\alpha \geq0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \end{aligned} )]
한편, [math(\alpha-|\beta|)]는 양도 음도 될 수 있으므로 [math(\alpha \geq |\beta|)], [math(\alpha < |\beta|)]인 영역으로 나눈다. 전자의 경우 [math(\alpha -|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{|\beta|}+\sin{\alpha}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{\alpha}\cos{(-|\beta|)}+\sin{\alpha}\{-\sin{(-|\beta|)}\}\\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
따라서 덧셈 정리를 적용할 수 있다. 후자에 대해선
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{(|\beta|-\alpha)} \end{aligned} )]
[math(|\beta|-\alpha>0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓰면 다음과 같이 동일한 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &=\cos{|\beta|}\cos{\alpha}+\sin{|\beta|}\sin{\alpha} \\ &=\cos{(-|\beta|)}\cos{\alpha}+\{-\sin{(-|\beta|)}\}\sin{\alpha} \\&=\cos{\beta}\cos{\alpha}-\sin{\beta}\sin{\alpha} \\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
[2] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta \geq 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(-|\alpha|+\beta)}=\cos{(\beta-|\alpha|)} \end{aligned} )]
그런데 이 꼴은 [1] 에서 보았던 꼴이므로 [1] 의 결과에서 [math(\alpha \to \beta)], [math(\beta \to \alpha)]로 대치하면 된다. 따라서 이 경우에도 덧셈 정리는 성립한다.[3] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\{-(|\alpha|+|\beta|)\}}=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \end{aligned} )]
이 경우 [math(|\alpha| +|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \\ &=\cos{|\alpha|}\cos{|\beta|}-\sin{|\alpha|}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{(-|\alpha|)}\cos{(-|\beta|)}-\{-\sin{(-|\alpha|)}\}\{-\sin{(-|\beta|)}\} \\&= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
곧, 이 경우에도 덧셈 정리가 성립한다.
코사인 법칙 을 사용하지 않는다.(a) 을 [math(-\alpha )]만큼 회전하면 (b) 가 된다. 이 때, [math(\overline{\rm PQ}=\overline{\rm P'Q'})]가 성립함을 주목하자. 점 [math(\rm P)], [math(\rm Q)], [math(\rm P')], [math(\rm Q')]의 좌표는 각각
3.2. 삼각형의 넓이를 이용한 증명
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} \sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )]
한편, [math(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm ABH}+\triangle {\rm AHC})]인데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\beta} \end{aligned} )]
삼각비의 정의에 따라
[math(\displaystyle \overline{\rm AH}=\overline{\rm AB}\cos{\alpha}=\overline{\rm AC}\cos{\beta} )]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot (\overline{\rm AC} \cos{\beta}) \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot (\overline{\rm AB} \cos{\alpha}) \sin{\beta} \\ \therefore \triangle {\rm ABC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} (\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )]
두 방식으로 구한 [math(\triangle {\rm ABC})]의 우변을 비교하면,
[math(\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} )]
으로 단위 원을 사용했을 때와 같은 결과를 얻음을 알 수 있다.
내적 은
[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=|\mathbf{V}
\mathbf{U}|\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{(\alpha-\beta)} )]
이다. 한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}&=(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}) \\ \mathbf{U}&=(\cos{\beta},\,\sin{\beta}) \end{aligned} )]
이므로 내적의 값은
[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )]
두 결과를 비교하면,
[math(\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )]
이는 단위 원을 이용했을 때의 증명과 같은 결과이므로 같은 방법으로 사인, 탄젠트에 대한 덧셈 정리를 얻을 수 있다.}(\cos{(\alpha+\beta)},\,\sin{(\alpha+\beta)}))]임은 자명하다. [math(\mathrm{P\to P })]의 변환을 기술하는
행렬 은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\beta} \,\,\,&-\sin{\beta} \\ \sin{\beta} \,\,\,& \cos{\beta}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\alpha} \,\,\,&-\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} \,\,\,& \cos{\alpha}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix} \end{aligned} )]
이 변환이 행해진 후 점의 좌표는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} \end{aligned} )]
한편, [math({\rm P''}(\cos{(\alpha+\beta)},\,\sin{(\alpha+\beta)}))]이므로 위 변환의 결과는
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{(\alpha+\beta)} \\ \sin{(\alpha+\beta)} \end{bmatrix} )]
각 성분을 비교하면 단위원을 이용했을 때와 결과가 동일함을 알 수 있다.
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)} )]
로 놓으면
[math(\displaystyle f'(x)=\sin{(a-x)}\cos{x}-\cos{(a-x)}\sin{x}-\cos{x}\sin{(a-x)}+\sin{x}\cos{(a-x)}=0 )]
이다. 또한 [math(f(0)=\cos{a})]이므로 곧 [math(f(x))]는 [math(f'(x)=0)], [math(f(0)=\cos{a})]를 동시에 만족시키는 것이므로
부정적분 하면
상수함수 가 돼야 함을 알 수 있다.
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)}=\cos{a} )]
이다. 이때, 모든 실수 [math(x)], [math(y)]에 대하여 [math(a=x+y)]로 놓으면
[math(\displaystyle \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y})]
으로 단위 원을 이용했을 때와 같은 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\quad(i=\sqrt{-1}))]
을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=e^{i(\alpha+\beta)}\\&=\cos{(\alpha+\beta)}+i\sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )]
한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})(\cos{\beta}+i\sin{\beta}) \\&=(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})+i(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )]
두 복소수가 같을 조건에 의하여 실수부와 허수부를 분리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Im(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\sin{(\alpha + \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \Re(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\cos{(\alpha +\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
이는 단위 원을 통해 유도한 결과와 같다.4. 따름정리
삼각함수의 합성
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \quad & \left( \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \quad & \left( \sin{\nu}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\nu}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \end{aligned} )]
배각의 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{2\alpha}&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos{2\alpha}&=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ &=\frac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \\ \tan{2\alpha}&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )]
반각의 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \\ \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \\ \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )]
곱을 합으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \}\\ \cos{\alpha}\sin{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \\ \cos{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \\ \sin{\alpha}\sin{\beta}&=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
합을 곱으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )]
4.1. 삼각함수의 합성동일한 삼각함수 [math(a\sin{\theta}+b\cos{\theta})]를 고려하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\varphi}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\varphi}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
본래 고려했던 삼각함수의 식을 변형하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\cos{\varphi}+\cos{\theta}\sin{\varphi}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \end{aligned} )]
즉, 다른 삼각함수를 합성했음에도 삼각함수가 나온다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\nu}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\nu}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
본래 고려했던 삼각함수의 식을 변형하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\sin{\nu}+\cos{\theta}\cos{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\cos{\theta}\cos{\nu}+\sin{\theta}\sin{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \end{aligned} )]
[math(\beta=\alpha)]를 사용함으로써 원 각의 두 배한 각에 대한 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(2\alpha)}&=\sin{(\alpha+\alpha)} \\&=\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha} \\&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \\ \cos{(2\alpha)}&=\cos{(\alpha+\alpha)} \\&=\cos{\alpha}\cos{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{\alpha} \\&=\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}\\&=\begin{cases} \begin{aligned} \,\, \cos^{2}{\alpha}- (1-\cos^{2}{\alpha}) &=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ (1-\sin^{2}{\alpha}) - \sin^{2}{\alpha} &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ \dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}&=\dfrac{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}=\dfrac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} \end{cases} \\ \\ \tan{(2\alpha)}&=\tan{(\alpha+\alpha)} \\&=\dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\alpha}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\alpha}} \\&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )]
[내접삼각형을 이용한 증명] -----
원주각 은 중심각의 반이다. 변 [math(\rm BC)]가 지름이므로 호 [math(\rm BC)]는 직각이고, 호 [math(\rm AC)]에 대한 원주각이 [math(\angle {\rm B}=\theta)]라 하면 중심각 [math(\angle {\rm AOC}=2\theta)]이다. 한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AC}=2\sin{\theta} \end{aligned} )]
이고, 삼각형 [math(\rm AOC)]에
코사인 법칙 을 적용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm AC}}^{2}&={\overline{\rm AO}}^{2}+{\overline{\rm OC}}^{2}-2\overline{\rm AO}\cdot\overline{\rm OC}\cos{(\angle {\rm AOC})} \\&=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(2\theta)} \\ &=2-2\cos{(2\theta)} \\ \\ \therefore 2\sin^{2}{\theta} &=1-\cos{(2\theta)} \end{aligned} )]
이상을 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(2\theta)}=1-2\sin^{2}{\theta} \end{aligned} )]
삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 이용하면 다른 꼴을 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \angle{\rm OAC}=\frac{\pi}{2}-\theta \end{aligned} )]
삼각형 [math(\rm AOC)]에
사인 법칙 을 적용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm AC}}{\sin{(\angle \rm AOC)}}&=\frac{\overline{\rm OC}}{\sin{(\angle \rm OAC)}} \\ \frac{2\sin{\theta}}{\sin{(2\theta)}}&=\frac{1}{\cos{\theta}} \qquad \biggl(\because \sin{\biggl(\frac{\pi}{2}-\theta \biggr)}=\cos{\theta} \biggr) \\ \\ \therefore \sin{(2\theta)}&=2\sin{\theta}\cos{\theta} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(3\alpha)}&=3\sin{\alpha}-4\sin^{3}{\alpha} \\ \cos{(3\alpha)}&=-3\cos{\alpha}+4\cos^{3}{\alpha}\end{aligned} )]
쳬비쇼프 다항식 이라 불리며 그 나름대로의 특이한 성질이 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}&=\cos{\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right)} \\&=2\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}-1 \end{aligned} )]
반각에 대한 삼각함수의 값에 대하여 정리하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )]
삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=1-\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\&=1-\frac{1+\cos{\alpha}}{2}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )]
탄젠트에 대하선 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{\sin^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}{\cos^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}\\&=\frac{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}}{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )]
4.4. 곱을 합으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha+\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ①} \\ \sin{(\alpha-\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ②} \\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ③} \\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\small\text ④} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ①에서 식 ②를 빼고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ③과 식 ④를 더하고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ④에서 식 ③를 빼고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
4.5. 합을 곱으로 바꾸는 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha&=\frac{A+B}{2} \\ \beta&=\frac{A-B}{2} \end{aligned} )]
를 얻을 수 있고, 이것을 곱을 합으로 바꾸는 공식에 각각 대입하여 정리하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )]
[math(\alpha)], [math(\beta)]는 모든 실수이므로 위 네 식은 모든 실수 [math(A)], [math(B)]에 대하여 성립한다.
옛 명칭은 '삼각함수의 가법(加法)정리'이다.
중국 과
일본 에서는 문과생도 삼각함수의 덧셈정리를 배운다. 심지어 중국은 삼각함수의 배각공식, 반각공식도 몽땅 간단한 것 이라며 문과에게도 가르친다.
곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식을 이용해서, 두 삼각함수의 곱으로 이루어진 함수를 적분할 수 있다.
로 바꾸면, 좌변은 적분이 어렵지만 우변은 적분이 쉽기 때문이다.
6. 관련 문서
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