최근 수정 시각 : 2024-11-27 03:24:30
1 . 개요2 . 유도 과정3 . 기타4 . 관련 문서catenary ·
懸
垂
線
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &= \frac a2(e^{x/a}+e^{-x/a}) \\ &= a\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n)!}{\left(\frac xa\right)}^{2n} \\ &= a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2} + \frac{x^4}{24a^4} + \cdots\right)}\end{aligned})]
[math(a)]는 상수이며, [math(\cosh)]는
쌍곡코사인 함수 이다. 얼핏 모양은
포물선 같이 보이지만 다르다. 위 식에서 [math(x/a \ll 1)] 즉 [math(x \ll a)]인 경우, 무한급수로 전개한 식에서 4차항 이하를 0으로 근사할 수 있으므로
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &\approx a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2}\right)} \\ &= a + \frac{x^2}{2a}\end{aligned})]
와 같이 포물선이 꼴이 된다. 실제로 [math(a)]는 줄에 가해지는 장력의 수평 방향 성분 [math(T)], 선밀도 [math(\rho)], 중력 가속도 [math(g)]를 이용하여 [math(a= T/{\rho g})]로 주어지는데 이 말은 곧 장력이 충분히 크거나 선밀도가 매우 작으면 현수선을 포물선으로 근사할 수 있다는 이야기가 된다.2. 유도 과정
[math(m{\bf g}=-mg{\bf\hat y} = -\rho sg{\bf\hat y})]
이며, 지점 [math((x,\,y))]에 걸리는
장력 을
[math({\bf T}(x)=T_{x}(x){\bf\hat x}+T_{y}(x){\bf\hat y})]
로 나타내면, 미소 구간 [math([x,\,x+{\rm d}x])] 사이에 있는 미소 길이 [math({\rm d}s)]의 선에는 세 힘, 즉 양 끝점에서의 장력 둘과 중력이 작용하며 다음과 같이 평형을 이룬다.
[math({\bf T}(x) + {\bf T}(x + {\rm d}x) + m{\bf g} = {\bf0}{\rm\,N})]
[math(\begin{aligned} T_{x}(x+{\rm d}x)-T_{x}(x) &=0{\rm\,N} \\ \frac{{\rm d} T_{x}(x)}{{\rm d}x}=\frac{T(x+dx)-T(x)}{{\rm d}x} &=0{\rm\,N/m} \end{aligned})]
이 조건으로부터 [math(T_{x} \equiv T)]로, [math(x)]축 성분의 장력은 상수라 놓을 수 있다. 한편, [math(y)]축에 대한 운동 방정식을 작성하면,
[math(-\rho g\,{\rm d}s+T_{y}(x+{\rm d}x)-T_{y}(x)=0{\rm\,N})]
한편, [math(T_{y}(x+{\rm d}x)-T_{y}(x) = {\rm d}T_{y}(x))]로, 장력의 미소 차이와 같다. 이상에서
[math({\rm d}T_{y}(x)=\rho g\,{\rm d}s \quad \cdots \, \small{(\ast)})]
이때, 장력은 선의 접선 방향으로 작용하므로 미소 부분에 대한 접선의 기울기를 장력의 성분으로 나타낼 수 있다.
[math(y'=\dfrac{T_{y}(x)}{T_{x}(x)}=\dfrac{T_{y}(x)}{T})]
이상에서 [math(T_{y}(x)=Ty')]이므로
[math({\rm d}T_{y}(x)={\rm d}(Ty')=T\,{\rm d}y'\quad \cdots \, \small{(\#)})]
[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^{2}}\,{\rm d}x)]
그런데 [math(\small{(\ast)})], [math(\small{(\#)})]에 의하여
[math(T\,{\rm d}y'=\rho g\,{\rm d}s)]
이므로
[math(\dfrac{{\rm d}y'}{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac{\rho g}{T}\,{\rm d}x)]
위의 미분 방정식이 얻어진다. 좌변은
[math(\operatorname{arsinh}{y'}=\ln{\{y'+\sqrt{1+(y')^2} \}})]
의 미분이므로 부정적분하면,
[math(\operatorname{arsinh}{y'}=\dfrac{\rho g}{T}x+C)]
[math(C)]는 상수이다. 따라서
[math(y'=\sinh{\biggl( \dfrac{\rho g}{T}x+C \biggr)})]
이때, [math(C)]를 구하기 위해 선의 길이가 [math(L)]이라는 점과 [math(\sqrt{1+\sinh^{2}{x}}=\cosh{x})]를 이용하면,
[math(\begin{aligned} L&=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \cosh{\biggl(\frac{\rho g}{T}x+C \biggr)}\,{\rm d}x \\ &= \frac T{\rho g}\biggl\{ \sinh\biggl(\frac{\rho g}Tx_2+C \biggr) -\sinh\biggl(\frac{\rho g}Tx_1 + C \biggr) \biggr\} \\ &=\frac{2T}{\rho g}\sinh{\biggl( \frac{\rho g}{T} \frac{x_{2}-x_{1}}{2}\biggr)}\cosh{\biggl( \frac{\rho g}{T} \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+C\biggr)} \end{aligned})]
여기서 합을 곱으로 고치는 공식이 사용되었다. 이상에서
[math(\cosh{\biggl( \dfrac{\rho g}{T} \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}+C\biggr)} = \dfrac{\rho g L}{2T} \operatorname{csch}{\biggl( \dfrac{\rho g}{T} \dfrac{x_2-x_1}{2} \biggr)})]
따라서 [math(C)]를 구하면,
[math(C=\operatorname{arcosh}{\biggl\{ \dfrac{\rho g L}{2T} \operatorname{csch}{\biggl( \dfrac{\rho g}{T}\dfrac{x_2-x_1}{2} \biggr)} \biggr\}}-\dfrac{\rho g}{T}\dfrac{x_1+x_2}{2})]
이에 따라
[math(y' = \sinh{\left[\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\dfrac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\dfrac{\rho g}T\dfrac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]})]
이렇게 얻어진 [math(y')]을 좌변은 [math([y_1,\,y])], 우변은 [math([x_{1},\,x])]에 대하여 정적분하면,
[math(\def\A{\operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}} \begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \A \right]} \\
이때, 공통으로 나온 부분은 상수로써 이를 [math(A)]로 쓰면 아래를 얻는다.
[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + A\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}})]
이제 [math(y_{1}=y_{2})], 즉 양끝점의 높이가 같을 경우 [math(x=x_{2})], [math(y=y_1(= y_2))]를 대입해서
[math(\dfrac T{\rho g}{\left[\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}}\right]} =0{\rm\,m})]
이므로 대괄호 부분이 0이 되는데, 합을 곱으로 고치는 공식을 이용하면
[math(\begin{aligned} &\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}} \\
[math(x_2 \ne x_1)]이므로
[math(\sinh A = 0 \quad \Leftrightarrow \quad A = 0)]
이다. [math(y')]을 다시 살펴보면
[math(y' = \sinh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}})]
위 식과 같이 선의 양끝 높이가 같을 경우 그 중심의 좌표 [math((x_1 + x_2)/2)]에서 기울기가 0임을 알 수 있고 [math(y)] 역시
[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)}\right\}})]
가 되어 직선 [math(x = (x_1 + x_2)/2)]에 대칭인 쌍곡선 코사인 함수 형태가 얻어짐을 알 수 있다.
[math( \begin{aligned} x_2 &= -x_1 \\ y_1 &= \cfrac T{\rho g}\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx_1}{T}\biggr)} \end{aligned} )]
이 되도록 원점을 잡으면 위 식은 다음과 같이 더 간단하게 표기할 수 있다.
[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx}T \biggr)})]
한편, 앞서
[math(T_y(x) = Ty' = T_x(x)y')]
라 했으므로 장력의 크기는 각 성분의 제곱의 합의 제곱근, 즉
[math(\|{\bf T}\| = \sqrt{T^2 + (Ty')^2} = T\sqrt{1 + (y')^2})]
로 구할 수 있으므로
[math(\|{\bf T}\| = T\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx}T \biggr)} = \rho gy)]
위와 같이 현수선의 위치 좌표에 비례하는 꼴임을 알 수 있다.이번엔 현수선의 또 다른 정의인 줄의 전체
퍼텐셜 에너지 가 최소가 되는 곡선임을 증명해보자. 이 증명에는
변분법 이 이용된다.
[math({\rm d}U=\rho gy{\rm\,d}s)]
이때,
[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]
를 이용하고, 이것을 줄 전체에 대해 적분하면, 줄의 퍼텐셜 에너지를 얻는다.
[math(\displaystyle U = \rho g \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]
이때, 범함수
[math(J(y,\,y';\,x) \equiv y \sqrt{1+(y')^2})]
를 얻으며, 이 범함수를 오일러-라그랑주 방정식
[math(\dfrac{\partial J}{\partial y}-\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial J}{\partial y'}=0)]
에 대입하면
[math(\sqrt{1+(y')^2} - \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}{\left\{\dfrac{yy'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right\}}=0)]
이상에서 식을 정리해주면
[math(yy'' = 1 + (y')^2)]
마지막 2계 미분 방정식은 양변을 [math(x)]로 한번 미분해주면 다음과 같은 관계식을 얻으면서 풀린다.
[math(y'y + yy ' = 2y'y \quad \to \quad |y | = e^{C_1}|y|)]
그런데 맨 처음 미분방정식 [math(yy = 1 + (y')^2)]을 자세히 보면 우변은 항상 양수이므로 [math(y >0)], [math(y>0)] 혹은 [math(y<0)], [math(y<0)]이어야 하며, [math(y )], [math(y)]의 부호가 다르게 나올 수 없으므로 절댓값을 그냥 벗겨서
[math(y'' = e^{C_1}y = c^2y \quad (c>0))]
라는 조건을 얻고, 이것을 원래 2계 미분 방정식에 대입해서 차수를 낮추고 식을 정리하면 아래의 미분 방정식을 얻는다.
[math(\dfrac y{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac1c)]
이 미분 방정식의 해는
[math(y = \dfrac1c\cosh{(cx+d)})]
의 형태이므로 현수선에 해당한다. 단, [math(c)], [math(d)]는 결정해야 할 상수이고, 유도 1에서와 같이 현의 길이에 관한 조건과 장력의 크기 조건을 연립해서 구할 수 있다
포물선을 직선 위에 굴릴 때 초점이 그리는 곡선은 현수선이다.
상대성 이론에 의하면 균등한 전기장에서 운동하는 전하의 궤도는 현수선이다.
여러 적절한 모양의 (뒤집은) 현수선으로 바닥을 만들고 그 위에
정사각형 을 굴릴 때 정사각형의 중심이 그리는 궤도는 [math(x)]축과 평행한 직선이다. 즉, 네모난 바퀴를 가진 자전거를 편안하게 타고 싶으면 트랙의 표면을 현수선 모양으로 만들면 된다.
4. 관련 문서