최근 수정 시각 : 2024-03-11 20:02:09
1 . 개요2 . 유도 과정3 . 기타4 . 관련 문서catenary ·
懸
垂
線
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &= \frac a2(e^{x/a}+e^{-x/a}) \\ &= a\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n)!}{\left(\frac xa\right)}^{2n} \\ &= a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2} + \frac{x^4}{24a^4} + \cdots\right)}\end{aligned})]
[math(a)]는 상수이며, [math(\cosh)]는
쌍곡코사인 함수 이다. 얼핏 모양은
포물선 같이 보이지만 다르다. 위 식에서 [math(\cfrac xa \ll 1)] 즉 [math(x \ll a)]인 경우, 무한급수로 전개한 식에서 4차항 이하를 0으로 근사할 수 있으므로
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &\approx a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2}\right)} \\ &= a + \frac{x^2}{2a}\end{aligned})]
와 같이 포물선이 꼴이 된다. 실제로 [math(a)]는 줄에 가해지는 장력의 수평 방향 성분 [math(T)], 선밀도 [math(\rho)], 중력 가속도 [math(g)]를 이용하여 [math(a=\cfrac T{\rho g})]로 주어지는데 이 말은 곧 장력이 충분히 크거나 선밀도가 매우 작으면 현수선을 포물선으로 근사할 수 있다는 이야기가 된다.2. 유도 과정
장력 을
[math({\bf T}(x)=T(x)_{\bf x}{\bf\hat x}+T(x)_{\bf y}{\bf\hat y})]
로 나타내면, 미소 구간 [math([x,\,x+{\rm d}x])] 사이에 있는 미소 길이 [math({\rm d}s)]의 선에는 세 힘, 즉 양 끝점에서의 장력 둘과 중력이 작용하며 다음과 같이 평형을 이룬다.
[math({\bf T}(x) + {\bf T}(x + {\rm d}x) + m{\bf g} = {\bf0}{\rm\,N})]
각 성분으로 나누어서 운동 방정식을 써보자
[math(T(x)_{\bf x}-T(x+{\rm d}x)_{\bf x} = 0{\rm\,N})]
이 조건으로부터 [math(T(x)_{\bf x} \equiv T)], 즉 [math(x)]축 방향의 힘은 상수임을 알 수 있다.
[math(-\rho g{\rm\,d}s + T(x+{\rm d}x)_{\bf y}-T(x)_{\bf y} = 0{\rm\,N})]
인데 [math(T(x + {\rm d}x)_{\bf y} - T(x)_{\bf y})]는 장력의 미소 차이 [math({\rm d}T(x)_{\bf y})]와 같으므로
[math({\rm d}T(x)_{\bf y} = \rho g{\rm\,d}s)]
한편, 장력은 선의 접선 방향으로 작용하므로 기울기를 장력의 성분으로 나타낼 수 있다.
[math(\begin{aligned} y' = \dfrac{T(x)_{\bf y}}{T(x)_{\bf x}} &= \dfrac{T(x)_{\bf y}}T \\ \Rightarrow T(x)_{\bf y} &= Ty' \\ {\rm d}T(x)_{\bf y} &= {\rm d}(Ty') = T{\rm\,d}(y') \end{aligned})]
이때, 곡선의 길이 공식으로부터
[math({\rm d}s = \sqrt{({\rm d}x)^2 + ({\rm d}y)^2} = \sqrt{1 + {\left(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}{\rm\,d}x = \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]
이므로 위의 [math({\rm d}s)]를 [math(y)]축에 대한 평형에서 나온 [math({\rm d}T(x)_{\bf y} = T{\rm\,d}(y') = \rho g{\rm\,d}s)]에 대입하고 양변을 [math({\rm d}x)]로 나누면
[math(\begin{aligned} T\frac{{\rm d}(y')}{{\rm d}x} &= \rho g \sqrt{1+(y')^2} \\ \therefore \frac{{\rm d}(y')}{\sqrt{1+(y')^2}} &= \frac{\rho g}T{\rm\,d}x \end{aligned})]
의 미분 방정식이 얻어진다. 좌변은 [math(\operatorname{arsinh}(y') = \ln{\left\{y' + \sqrt{1+(y')^2}\right\}})]의 전미분식이므로 부정적분하면
[math(\begin{aligned} \operatorname{arsinh}(y') &= \frac{\rho g}Tx + C \\ \Rightarrow y' &= \sinh{\left(\frac{\rho g}Tx + C\right)}\end{aligned})]
가 얻어지는데 이 식을 선의 길이에 관한 조건
[math(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x = L)]
에 대입해서 [math(C)]를 구한다. [math(\sqrt{1+\sinh^2t} = \cosh t)]이므로
[math(\begin{aligned} L &= \int_{x_1}^{x_2}\cosh{\left(\frac{\rho g}Tx + C\right)}{\rm\,d}x \\
이렇게 얻어진 [math(y')]을, 좌변은 구간 [math([y_1,\,y])]로, 우변은 구간 [math([x_1,\,x])]로 정적분하면 된다.
[math(\begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]} \\
[math(\operatorname{arcosh}{\left\{\dfrac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\dfrac{\rho g}T\dfrac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}})]은 상수이므로 이를 [math(A)]라 놓으면 위 식은
[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + A\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}})]
로 간단히(?) 나타낼 수 있는데, 여기서 [math(y_1 = y_2)], 즉 양 끝점의 높이가 같을 경우 [math(x = x_2)], [math(y = y_2)]를 대입해서
[math(\dfrac T{\rho g}{\left[\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}}\right]} =0)]
이므로 대괄호 부분이 0이 되는데, 합을 곱으로 고치는 공식을 이용하면
[math(\begin{aligned} &\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}} \\
[math(x_2 \ne x_1)]이므로 [math(\sinh A = 0 \Leftrightarrow
[math(\begin{aligned} y' &= \sinh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]} \\
위 식과 같이 선의 양 끝점이 같을 경우 그 중심의 좌표 [math(\cfrac{x_1 + x_2}2)]에서 기울기가 0임을 알 수 있고 [math(y)] 역시
[math(\begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}} + y_1 - \frac T{\rho g}\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)}\right\}}\end{aligned})]
가 되어 직선 [math(x = \cfrac{x_1 + x_2}2)]에 대칭인 [math(\cosh)] 함수 형태가 얻어짐을 알 수 있다.
퍼텐셜 에너지 가 최소가 되는 곡선임을 증명해보자. 이 증명에는
변분법 이 이용된다.
[math({\rm d}U=\rho gy{\rm\,d}s)]
이때,
[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]
를 이용하고, 이것을 줄 전체에 대해 적분하면, 줄의 퍼텐셜 에너지를 얻는다.
[math(\displaystyle U = \rho g \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]
이때, 범함수
[math(J(y,\,y';\,x) \equiv y \sqrt{1+(y')^2})]
를 얻으며, 이 범함수를 오일러-라그랑주 방정식
[math(\dfrac{\partial J}{\partial y}-\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial J}{\partial y'}=0)]
에 대입하면
[math(\begin{aligned} &\sqrt{1+(y')^2} - \frac{\rm d}{{\rm d}x}{\left\{\frac{yy'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right\}} \\ &= \frac1{\sqrt{1+(y')^2}} - \frac{yy}{\sqrt{1+(y')^2}^3} \\ &= \frac{1+(y')^2-yy }{\sqrt{1+(y')^2}^3} = 0 \\ &\therefore yy'' = 1 + (y')^2\end{aligned})]
마지막 2계 미분 방정식은 양변을 [math(x)]로 한번 미분해주면 다음과 관은 관계식을 얻으면서 풀린다.
[math(\begin{aligned} &y'y + yy ' = 2y'y \\ &\Rightarrow yy ' = y'y \\ &\Rightarrow \frac{y '}{y} = \frac{y'}y \\ &\Rightarrow \ln|y | = \ln|y| + C_1 \\ &\Rightarrow |y''| = e^{C_1}|y|\end{aligned})]
그런데 맨 처음 미분방정식 [math(yy = 1 + (y')^2)]을 자세히 보면 우변은 항상 양수이므로 [math(y >0)], [math(y>0)] 혹은 [math(y<0)], [math(y<0)]이어야 하며, [math(y )], [math(y)]의 부호가 다르게 나올 수 없으므로 절댓값을 그냥 벗겨서
[math(y'' = e^{C_1}y = c^2y \quad (c>0))]
라는 조건을 얻고, 이것을 원래 2계 미분 방정식에 대입해서 차수를 낮추고 식을 정리하면 아래의 미분 방정식을 얻는다.
[math(\dfrac y{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac1c)]
이 미분 방정식의 해는
[math(y = \dfrac1c\cosh(cx+d))]
의 형태이므로 현수선에 해당한다. 단, [math(c)], [math(d)]는 결정해야 할 상수이고, 유도 1에서와 같이 현의 길이에 관한 조건과 장력의 크기 조건을 연립해서 구할 수 있다.
포물선을 직선 위에 굴릴 때 초점이 그리는 곡선은 현수선이다.
상대성 이론에 의하면 균등한 전기장에서 운동하는 전하의 궤도는 현수선이다.
여러 적절한 모양의 (뒤집은) 현수선으로 바닥을 만들고 그 위에
정사각형 을 굴릴 때 정사각형의 중심이 그리는 궤도는 [math(x)]축과 평행한 직선이다. 즉, 네모난 바퀴를 가진 자전거를 편안하게 타고 싶으면 트랙의 표면을 현수선 모양으로 만들면 된다.
4. 관련 문서