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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| 오각형 |
다섯모 / 五 角 形 / pentagon
5개의 선분으로 둘러싸여 있고 꼭짓점도 5개이다. 순우리말은 다섯모.
내각의 총합은 540º이고 외각은 360º이다. 정오각형의 한각은 540도에서 5를 나눈 108도의 값이 나온다.
마법진 등에서 흔히 나타나는 오망성은 이 도형의 대각선으로 이루어졌다.
지구에서 관측하는 금성의 궤도는 이 오각형과 관련이 있다. 자세한 내용은 금성 문서 참조.
생화학이나 약리학에서 거의 제일 흔하게 볼 수 있는 도형이다. 해당과정 TCA회로부터 펜토라민이나 펜토바비탈 등이다.
미국의 국방부인 펜타곤이 바로 뜻그대로 오각형이며 (오각형이 그냥 영어로 펜타곤이니까) 지금은 철거된 2018 년 평창동계올림픽 개폐회식이 열린 평창 올림픽 스타디움 또한 역시 똑같은 오각형 모양이다.
분자 구조가 오각형인 경우가 있는데 공통적으로 열에 매우 약하다. 비타민C, 과당이 대표적이다.
흔히 게임이나 스포츠 등에서, 캐릭터 또는 선수의 성능/역량이 전반적으로 뛰어날 경우 '오각형이다' 또는 '오각형에 가깝다'라고 표현한다. 5라는 숫자가 가지는 적절함과 안정성에 기인하여, 일반적으로 RPG 게임 등에서는 캐릭터의 능력을 다섯 가지로 표현한다. 이를 도식화하면 자연스레 그래프가 오각형의 모양이 되는데, 5가지 능력이 모두 균등하게 뛰어나면 깔끔한 정오각형의 그래프가 나온다. 여기에 유래하여 다방면으로 뛰어나다는 의미로 오각형에 빗대는 것.[1]
2. 정오각형
모든 내각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 오각형. 내각의 총합이 540º이므로 한 각의 크기는 108º이다.겉길이는 [math(\left(5\right)a)]이며 한 변과 한 대각선의 길이의 비는 황금비 [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]이고, 면적은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}\right)a^2)]이며 외접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]이며 내접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]다.
2.1. 정오각형의 작도
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1.(초록색) 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.
2.원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.
3.점 O를 지나면서 직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 곳을 점 B라고 한다.
4.점 O와 점 B의 가운데에 있는 점 C를 그린다.
5.(빨간색) 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 곳을 점 D라고 한다. (이 때 원 C가 직선 OB와 만나는 점은 두 개가 있다. 이 중 원 O 안에 있는 점)
6.(파란색) 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.
7.점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.
8.점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.
9.(검은색) 오각형 AEGHF를 그린다.
작도는 아니지만 일상에서 정오각형을 만들 수 있는 방법으로는 일정한 폭의 띠를 매듭 묶듯이 접으면 정오각형이 매듭으로 접어진다. 여기에 삼각형을 더하면 정십오각형도 작도 가능해진다.
2.2. n차원에서의 오각형을 이용한 도형들
한편 오각형을 n차원으로 확장시키면[2] 이 도형을 사용하여 만들어진 유일한 정다면체로 정십이면체가 있다. 정십이면체를 사용하여 만든 진화형(?)으로 정백이십포체가 있다. 5차원 이상으로는 오각형을 이용한 그 진화형(?)이 사라진다. 그 이유는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.23607차원에서 오각형 계열이 정규 벌집이 되기 때문이다. 오각입방체 한정으로 [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]~5.23607차원에선 이포각이 ±∞로 발산하는 파라콤팩트가 되며 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]~6.23607차원에선 이포각이 0º로 다시 측정이 가능하며 차원이 올라갈수록 90º에 점점 가까워진다. 오각입방체는 5차원, 6차원에서만 각도 측정이 불가능하다. 반면 오각정축체는 차원이 올라갈수록 이포각이 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))]~-1.61803에 가까워져서 5차원 이상의 모든 차원에서 각도 측정이 불가능하다. 황금비의 -1배와 같다.[3]| 허니콤 | {5,3,...,3} | {3,5,3,...,3} | {3,3,5,3,...,3} | {3,3,3,5,3,...,3} |
| 이포각 -1 | ~4.23607차원 | ~3.34164차원 | ~4.03786차원 | ~4.91372차원 |
| [math(\cos^{-1}\left(2+\sqrt{5}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{31+6\sqrt{5}}{11}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{71+10\sqrt{5}}{19}\right))] | |
| 이포각 ±∞ | ~5.23607차원 | ~4.34164차원 | ~5.03786차원 | ~5.91372차원 |
| 이포각 1 | ~6.23607차원 | ~5.34164차원 | ~6.03786차원 | ~6.91372차원 |
| 허니콤 | {3,...,3,5} | {3,...,3,5,3} | {3,...,3,5,3,3} | {3,...,3,5,3,3,3} |
| 이포각 -1 | ~4.23607차원 | ~3.34164차원 | ~4.03786차원 | ~4.91372차원 |
| 이포각 ±∞ | x | ~5.23607차원 | ~4.34164차원 | ~5.03786차원 |
| 이포각 1 | x | x | ~6.23607차원 | ~5.34164차원 |
| 이포각 임계점 | ~-1.61803 | ~2.61803 | ~0.72361 | ~0.41982 |
| [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{7+\sqrt{5}}{22}\right))] | |
| ~180-60.80658i° | ~92.64279i° | ~43.64693° | ~65.17670° |
또한 이는 한 (n-3)차원 도형에 오각정축체 3개가 모이는 {3,5,3,...,3,3}, {3,...,3,5,3}은 [math(\left(\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5}\right))]~3.34164 차원에서 정규 벌집이 되며 {3,...,3,5,3}은 [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))]~2.61803에서 이포각이 멈춘다. {3,3,5,3,...,3}, {3,...,3,5,3,3}은 [math(\left(\dfrac{31+6\sqrt{5}}{11}\right))]~4.03786 차원에서 정규 벌집이 되며 {3,...,3,5,3,3}은 ~0.72361~43.64693°에서 이포각이 멈춘다. 그 이후로 {3,3,3,5,3,...,3}부터는 쌍곡이 들어있어 이포각 측정이 불가능해도 어느 차원에서 벌집이 되는지 구할 수 있다.
이와 비슷하게 육각형 계열도 3차원에서는 정규 벌집[4]이 되어서 4차원 이상에서는 육각형 계열 역시 사라지고[5], n이 7 이상의 자연수일 때[6], n각형 계열의 다포체가 3차원에서도 쌍곡이 되어 역시 사라진다는 것과 비슷하다. 무한각형 및 허수각형의 경우는 3차원에서 파라콤팩트, 논콤팩트가 되므로 4차원부터 다시 이포각 측정이 가능하다. 일반적으로 n각형 계열이 m차원에서 정규 벌집이 되면 m+1차원에서는 n각형 계열이 파라콤팩트가 되고, m+2 차원에서부터는 논콤팩트가 되며, 실수 범위로 따지자면 m+2<p일 때, p차원보다 높은 차원에서는 m-1차원 도형 또는 꼭짓점도 논콤팩트가 되어서 입방체를 계승한 {n,3,3,...,3,3} 계열 한정으로 p>m+2일 때, p차원에서 이포각을 다시 측정이 가능하게 되는 것이다. 그리고 n차원의 단체의 한 이포각의 크기가 360/k°가 된다면 n+1차원에서는 k각형 계열이 타일링이 된다. 모든 (n-1)차원 입체(facet)가 (n-3)차원 peak에 3개가 모일 때 이포각이 [math(\dfrac{\cos}{\cos+1})]=[math(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos}+1})]가 되어서 그렇다. 오각형과 육각형, 칠각형,... 등 둔각인 다각형은 내각의 cos값이 음수다 보니 분모서 1을 계속 더하면 분모가 언젠간 -1,0,1을 넘어서서 이런 현상이 나타나는 것이며.
3. 정오각형을 확장시킨 도형들의 면적
3.1. 정십각형
모양: https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_decagon.svg겉길이:[math(\left(10\right)a)]
면적:[math(\left(\dfrac{5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\right)a^2)]
외접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)a)]
내접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\right)a)]
3.2. 정십오각형
모양: https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_pentadecagon.svg겉길이:[math(\left(15\right)a)]
[1]
유사한 어휘로 야구계에 파이브 툴 플레이어라는 말을 쓴다. 타격의 정확성과 힘, 수비/주루/송구능력 등 5가지 능력에서 모두 출중한 선수를 말하며, 대표적으로
마이크 트라웃이 있다. 이 능력치를 기준으로 마이크 트라웃과도 같은 파이브 툴 플레이어를 나타내면 완전히 그래프를 가득채운 오각형이 나오는 셈이다.
[2]
꼭지점을 중심으로 확장시킨 도형으로는
정이십면체,
정육백포체 가 있다.
[3]
자연로그의 밑의 1/2, 원주율 파이의 1/2, 타우의 1/4보다도 절대값이 크다. 심지어 [math(\left(\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}\right))]~3.1547007이라는 값보다도 매우 근소한 차이로 원주율 파이가 더 작다.
[4]
타일링과 벌집은 n차원 평면이나 입체, 초입체를 덮는 현상으로서 같은 현상을 뜻한다. 단지 2차원에서는 타일링, 3차원 이상에서는 벌집이란 용어를 많이 써서 그렇다. 육각형 계열은 자기쌍대인 2차원에서 이포각이 120°가 되므로 {6,3,...,3}, {3,...,3,6}, {3,6,3,...,3,3}, {3,3,...,3,6,3} 계열 모두 3차원에서 유클리드 벌집이 된다.
[5]
다만 5차원부터 육각입방체 한정으로 이포각 측정이 다시 가능하다. 육각정축체는 4차원 이상에선 여전히 cos<-1이라 불가능.
[6]
실수 범위로 확장시켜서 따지면 n>6