1. 개요
중심력(中心力, central force)이란, 고정된 정점을 향하는 힘을 의미한다. 즉, 중심력은 고정된 정점으로 부터 떨어진 거리에만 의존한다. 크게 중력, 전기력 등이 있다.이 문서에서는 중심력을 논할 수 있는 가장 기초적인 문제인 이체 문제(二體問題, Two-body problem)를 논의해보는 것을 목표로 둔다. 참고로 삼체 문제는 이체 문제와 달리 중심력의 주된 적용대상이 아니다.
2. 이체 문제
2.1. 환산 질량 도입 및 일체 문제로 변환
이체 문제(二體問題, Two-body problem)란, 서로 상호작용하는 두 물체들에 대한 운동을 다루는 문제이다.이체 문제를 그대로 풀기에는 수학적으로 매우 복잡하다. 따라서 편리하게 분석하기 위해 아래 제시된 위치벡터를 도입하여 이체 문제를 일체 문제로 변환하고자 한다.
그림과 같이 원점 [math(\mathrm{O})]가 있고, 두 질점 [math(m_{1})], [math(m_{2})]가 있는 상황을 고려하자. 각 질점 위치 벡터는 각각 [math(\mathbf{r}_{1})], [math(\mathbf{r}_{2})]이다.
이 상황에서 질량 중심([math(\mathrm{CM})])에 대한 위치 벡터 [math(\mathbf{R})] 및 두 물체가 떨어진 거리를 나타내는 위치벡터 [math(\mathbf{r})]을 고려할 수 있고, 이는 아래 식들과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r} &= \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} )]
그 다음 [math(\mathbf{r}_{1})], [math(\mathbf{r}_{2})]를 각각 [math(\mathbf{r})], [math(\mathbf{R})]에 대해 풀어주면
[math(\displaystyle \mathbf{r}_{1}=\mathbf{R} -\frac {m_2}{m_1+m_2} \mathbf{r})]
[math(\displaystyle \mathbf{r}_{2}=\mathbf{R} +\frac {m_1}{m_1+m_2} \mathbf{r})]
이고 이를 주어진 계가 가진 운동에너지
[math(\displaystyle T=\frac{m_1}2 |\mathbf{\dot{r}}_{1}|^{2}+\frac{m_2}2 |\mathbf{\dot{r}}_{2}|^{2})]
에 대입하면 위 식은 다음처럼 변환된다.
[math(\displaystyle T= \frac{m_1+m_2}2 |\mathbf{\dot{R}}|^{2}+\frac{\mu}2 |\mathbf{\dot{r}}|^{2})]
여기서 나온
[math(\displaystyle \mu \equiv \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} )]
이고, 이것을 환산 질량(換算質量, Reduced mass)이라 한다. 즉, 위 과정에서 벡터 [math(\mathbf{r})]의 시점이 원점([math(m=m_{1}+m_{2})])이고, 한 질점 [math(\mu)]가 [math(\mathbf{r})] 만큼 떨어져 있는 상황과 같이 취급할 수 있음을 얻는다. 즉, 이체 문제가 일체 문제로 변환된 것이다. 아래 그림을 참조하자:
2.1.1. 양자역학에서 응용
슈뢰딩거 방정식을 따르는 매우 작은 입자계도 질량 중심 [math(\mathbf{R})]과 두 입자 사이의 변위 [math(\mathbf{r})]로 나눠서 일체 문제처럼 생각할 수 있다. 두 입자 [math(m_{1})], [math(m_{2})]의 위치를 각각 [math(\mathbf{r}_{1}=(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))], [math(\mathbf{r}_{2}=(x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))]라 하고,[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R} &\equiv (X,\,Y,\,Z) \\ \mathbf{r} &\equiv (x,\,y,\,z) \end{aligned} )]
로 정의하자. 이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r}&=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} )]
이다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial X}{\partial x_1} &= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \\&= \frac{\mu}{m_2} \\ \frac{\partial X}{\partial x_2} &= \frac{m_2}{m_1 + m_2} \\& = \frac{\mu}{m_1} \end{aligned})]
연쇄 법칙에 의해 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_1 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_1 } \\& = \frac{\mu}{m_2} \frac{\partial}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial x_2 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_2} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_2 } \\& = \frac{\mu}{m_1} \frac{\partial}{\partial X} - \frac{\partial}{\partial x} \end{aligned} )]
위 식은 [math(Y)], [math(Z)]에 대해서도 똑같이 성립하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}_1 &= \frac{\mu}{m_2} \boldsymbol{\nabla}_R + \boldsymbol{\nabla}_r \\ \boldsymbol{\nabla}_2 &= \frac{\mu}{m_1} \boldsymbol{\nabla}_R - \boldsymbol{\nabla}_r \end{aligned} )]
이때,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}_{R}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial R_{i}} \hat{R}_{i} \qquad \boldsymbol{\nabla}_{r}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial r_{i}} \hat{r}_{i} )]
임을 의미한다. 위 식을 슈뢰딩거 방정식
[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 m_1} \nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \nabla_2^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )]
에 대입하면 다음 식을 얻는다.
[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )]
이때 [math(M \equiv m_1 + m_2)]는 두 입자의 전체 질량이다. 위 식을 변수분리 하기 위해 파동함수를 [math(\psi(\mathbf{R},\,\mathbf{r}) = \psi_R (\mathbf{R}) \psi_r (\mathbf{r}))]의 곱이라 가정하고, 대입하면, 다음 식을 얻는다.
[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \frac{\nabla_R^2 \psi_R}{\psi_R} - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\nabla_r^2 \psi_r}{\psi_r} + V(\mathbf{r}) = E )]
위 식의 좌변에서 첫째 항은 [math(\mathbf{R})]에 대한 함수이고, 둘째 항과 셋째 항은 [math(\mathbf{r})]에 대한 함수이므로, 임의의 위치에 대하여 식을 만족시키려면 두 부분이 모두 상수여야 한다. 이 상수를 각각 [math(E_R)], [math(E_r)]이라고 하면, 각각 다음 식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi_R &= E_R \psi_R \\ - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi_r + V(\mathbf{r}) \psi_r &= E_r \psi_r \end{aligned} )]
즉, 여기서 첫 번째 식은 두 입자를 하나의 물체로 본 질량 중심을 나타내며, 두 번째 식은 질량 중심을 기준으로 움직이는 질량 [math(\mu)]인 입자의 운동을 나타낸다. 이는 퍼텐셜 [math(V)]에서 움직이는 하나의 입자, 즉 일체 문제와 같다.
2.2. 평면 상 운동
이제부터, 중심력이 작용하는 이체 문제를 고려하자. 뉴턴의 운동 제2법칙인 [math(\mathbf{F}=m{\mathbf{a}})]와, 중심력의 정의 [math(\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}})]에 따라서[math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=F(r)\hat{\mathbf{r}} )]
다음과 같이 양변에 [math(\mathbf{r})]을 외적연산해주면,
[math(\displaystyle \mu (\mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}})=F(r)(\mathbf{r} \times \hat{\mathbf{r}}) )]
식의 우변은 0이 되고,
[math(\displaystyle \mu \mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}} = \frac{d}{dt}(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} ) )]
이다. 한편, 괄호 안의 항 [math(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} =\mathbf{L})]로 각운동량을 의미하므로
[math(\displaystyle \mathbf{\dot{L}}=0 )]
으로 이 운동에서 각운동량은 보존된다. 따라서 다루는 문제가 구대칭성(Spherical symmetry)을 갖고, 한 평면에서 운동이 기술될 수 있음을 얻는다. 다음 그림을 참조하자:
따라서 물체의 위치를 기술하기 위해선 원점으로 부터 떨어진 거리인 [math(r)]과 그 회전각 [math(\theta)]만 있으면 됨을 얻으며, 이 계에서 외력이 없기 때문에 계의 에너지 또한 보존되고, 그 에너지를 [math(E)]라 놓으면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+U=E )]
[math(U)]는 퍼텐셜 에너지이고, [math(r \equiv |\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|)]이다.
만약 [math(m_{1})], [math(m_{2})] 사이에 작용하는 힘이 [math(\mathbf{F})]라 하면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \mathbf{\ddot{r}}_{1}=\frac{\mathbf{F}}{m_{1}} \qquad \qquad \mathbf{\ddot{r}}_{2}=-\frac{\mathbf{F}}{m_{2}} )]
[math(\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})]이므로 위 식을 적절히 정리하면,
[math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=\mathbf{F} )]
따라서 [math(\mu)]가 받는 힘 또한 같음을 알 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} )]
[math(\alpha)]는 상수이다.[1] 퍼텐셜 에너지와 힘의 관계[2]에 의해
[math(\displaystyle U(r)=-\frac{\alpha}{r} )]
이다. 따라서 고려하는 계의 에너지는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})-\frac{\alpha}{r}=E )]
계의 라그랑지언은
[math(\displaystyle {\mathscr L}=\frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+\frac{\alpha}{r} )]
이고, [math( \theta )]는 순환 좌표이기 때문에 [math( \theta )]에 대한 운동량은 보존된다. 해당 운동량을 [math(l)]이라 하면,
[math(\displaystyle \mu r^{2} \dot{\theta}=l )]
이를 이용하면, 계의 에너지를 아래와 같이 바꿀 수 있다.
[math(\displaystyle E=\frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} )]
2.3. 유효 퍼텐셜
위에서 나온 결과에서[math(\displaystyle \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} )]
는 원심력에 의한 퍼텐셜 에너지로 생각할 수 있고, 따라서
[math(\displaystyle V(r) \equiv U(r)+ \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} )]
을 계의 유효 퍼텐셜이라 정의한다. 다루는 문제 상황에선
[math(\displaystyle V(r) =\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} )]
이고, 이것의 개형은 아래와 같다.
위로 부터
[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}=E-V(r) )]
그래프를 좀 더 확대해보면,
이다. 이때, 여러 에너지에 대해 다음의 결론을 얻을 수 있다.
-
에너지가 [math({E_{1}})]일 경우
이 경우엔 [math(\dot{r}=0)]이므로 [math(r=r_{3})]에서 [math(\mu)]는 원운동한다. -
에너지가 [math({E_{2}})]일 경우
이 경우엔 운동은 [math(r_{2} \leq r \leq r_{4})]에서 구속되어 있는 타원 운동을 한다. -
에너지가 [math({E_{3}})]일 경우
이 경우에 [math(\mu)]는 비속박 상태이며, [math(\infty \to r_{1} \to \infty)]로 운동을 하게 된다.
또한 이 운동에서 [math(\mu)]가 가진 에너지의 하한값을 알 수 있는데, 그것이 바로 원 운동할 때의 에너지 [math(E_{1})]이다. [math(\mu)]의 에너지 [math(E<E_{1})]인 조건은 [math(\dot{r}^{2}<0)]을 만들기에 물리적으로 불가능하다.
2.4. 궤도 방정식
이제 궁극적인 목표인 [math(\mu)]의 궤도 방정식을 얻을 것이다. 위의 에너지 식에서[math(\displaystyle \dot{r}^{2}=\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu r} )]
연쇄 법칙에 의해
[math(\displaystyle \dot{r}=\frac{dr}{d \theta} \frac{d \theta}{dt}=\frac{dr}{d \theta} \frac{l}{\mu r^{2}} )]
이상에서
[math(\displaystyle \frac{d \theta}{dr}=\pm \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu r} } } )]
따라서 적분을 통해 [math(\theta(r))]을 얻을 수 있다:
[math(\displaystyle \theta= \pm \int \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}r } } \,dr )]
이 적분을 풀면, 아래의 극방정식을 얻는다.[3]
[math(\displaystyle r=\frac{r_{0}}{1+\epsilon \cos{\theta}} )]
이것은 명백히, 원뿔곡선의 극방정식이며,
[math(\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu \alpha^{2} } } )]
의 이심률을 가지는 원뿔곡선의 극방정식임을 알 수 있다. 또한,
[math(\displaystyle r_{0}=\frac{l^{2}}{\mu \alpha} )]
이며, [math(2r_{0})]는 궤도의 직현(Latus rectum)이라 부른다. 따라서 가능한 궤도를 그려보면, 다음과 같다. ([math(\mathrm{F})]는 원점이자, 궤도의 한 초점이다.)
즉,
- [math(\epsilon=0)] : 원 궤도
- [math(0<\epsilon<1)] : 타원 궤도
- [math(\epsilon=1)] : 포물선 궤도
- [math(\epsilon>1)] : 쌍곡선 궤도
2.4.1. 원 궤도
위 결과를 종합하면 [math(\mu)]가 원 궤도로 운동할 때는 그 반지름[math(\displaystyle r_{1}=\frac{l^{2}}{\mu \alpha} )]
을 가진다. 이때, [math(\mu)], [math(\alpha)]는 정해진 상수이므로 곧 물체의 각운동량 제곱 값에 비례한다.
한편, 이때 갖는 에너지는
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{1}=-\frac{\mu \alpha^{2}}{2l^{2}} \end{aligned} )]
이다.
즉, 원 운동할 조건은 [math(E=E_{1})]일 때 가능하다.
2.4.2. 타원 궤도
이제 가장 중요한 케이스인 타원 궤도에 대해서 좀 더 분석해볼 것이다. 타원에 대해 잘 모른다면 타원 문서를 참고하라.우선, 타원 궤도의 긴반지름을 구해보도록 하자. 초점을 기준으로 가장 반지름이 짧은 곳(Periapsis)은 [math(\theta =0)]일 때 이므로
[math(\displaystyle r_{\mathrm{Pe}}=\frac{r_{0}}{1+\epsilon} )]
이고, 가장 반지름이 긴 곳(Apoapsis)은 [math(\theta = \pi)]일 때 이므로
[math(\displaystyle r_{\mathrm{Ap}}=\frac{r_{0}}{1-\epsilon} )]
이상에서 긴 반지름은 [math((r_{\mathrm{Pe}}+r_{\mathrm{Ap}})/2)]이므로 구하는 긴 반지름을 [math(a)]라 놓으면,
[math(\displaystyle a=\frac{r_{0}}{1-\epsilon^{2}}=\frac{\alpha}{2 |E|} )]
이고, 짧은 반지름 [math(b)]는 긴 반지름과
[math(\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}} )]
의 관계가 있음에 따라
[math(\displaystyle b=\sqrt{r_{0} a} )]
임을 얻는다.
타원 궤도가 되려면 다음을 만족해야 한다.
[math(\displaystyle V_{\min}<E<0 )]
여기서 [math(V_{\min}=E_{1})]로, 원 궤도를 논하면서 구했다.
3. 케플러의 문제
3.1. 면적 속도
[math(\mu)]가 [math(\mathrm{P}\to \mathrm{Q})]를 휩쓸고 가는 미소 면적을 [math(dA)]라 하고, 이때, 각은 [math(d \theta)] 만큼 변했다고 하자. 그러면,
[math(\displaystyle dA=\frac{1}{2}r^{2} \,d\theta )]
이상에서
[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2} \,\frac{d\theta}{dt} )]
이고, [math(\dot{\theta}=l/(\mu r^{2}))]임을 위에서 논의했으므로
[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu}=\mathsf{const.} )]
즉, [math(\mu)]가 휩쓸고 가는 면적 속도는 시간에 무관하며, 일정함을 알 수 있다.
이는 케플러 제 2법칙으로 알려져있다.
3.2. 조화의 법칙
"면적 속도" 문단으로 부터[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu} )]
임을 알 수 있고, [math(\mu)]가 타원 궤도일 경우를 고려해보자. 한 주기에 대해 고려하면, 타원의 면적은 [math(\displaystyle ab \pi)][4]이므로
[math(\displaystyle ab \pi=\frac{l}{2 \mu} T )]
위에서 [math(b=\sqrt{a r_0})]라 했으므로
[math(\displaystyle a^{3/2} \sqrt{r_{0}} \pi=\frac{l}{2 \mu} T )]
양변을 제곱하고, [math(r_{0} \equiv l^{2}/(\mu \alpha))]를 이용하면,
[math(\displaystyle \frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}a^{3} = T^{2} )]
즉,
[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}=\mathsf{const.} )]
임을 알 수 있다. 즉, 궤도의 긴 반지름의 세제곱은 운동 주기의 제곱에 비례한다.
이는 케플러 제 3법칙으로 알려져있다.
4. 예시
4.1. 중력
이 예시는 곧 항상과 행성 간의 공전이나, 행성과 위성의 공전 등과 같은 문제이다. 이 경우에 작용하는 중심력은 중력임에 따라 위에서 놓았던 상수[math(\displaystyle \alpha=Gm_{1}m_{2} )]
로 놓을 수 있다. 여기서 [math(m_{1} > m_{2})]이고, [math(G)]는 만유인력 상수이다.
따라서 위의 결과를 이용하면, 이 경우에서 궤도는 [math(m_{1})]을 한 초점으로 하며, 궤도 이심률은
[math(\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu (Gm_{1}m_{2})^{2} } } )]
이고, 각운동량의 크기는
[math(\displaystyle l=\sqrt{\mu G m_{1} m_{2} r_{0}} )]
에너지는
[math(\displaystyle E=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2r_{0}}(\epsilon^{2}-1) )]
임을 알 수 있다. 여기서 타원 궤도, 원 궤도 일 때는 [math(E<0)]이므로 운동은 속박되어 있으며, 쌍곡선 궤도 일 때는 [math(E>0)]이므로 운동은 속박되어 있지 않음 또한 알 수 있다.
더불어, 궤도가 타원 혹은 원일 때, 공전 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례하게 되며,
[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} }{G(m_{1}+m_{2})} )]
항성과 행성, 행성과 위성 등의 특수 케이스에선 [math(m_{1} \gg m_{2})]이므로
[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} \simeq \frac{4\pi^{2} }{Gm_{1}} )]
으로 쓸 수 있다. 또한, 궤도의 긴 반지름은
[math(\displaystyle a=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2 |E|} )]
이고, 짧은 반지름은 [math(b=\sqrt{a r_{0}})]이다.
4.2. 수소형 원자
수소형 원자란, 1개의 핵과 1개의 전자가 공간 상에 있는 경우를 의미한다. 이 경우 퍼텐셜은[math(\displaystyle U(r)=-\frac{Ze^{2}}{r} )]
로 놓을 수 있다. 또한 질량은 일반적으로 [math(m_{1} > m_{2})]이고, [math(e)]는 기본 전하량, [math(Z)]는 상수이다. 질점계의 해밀토니안은 질량 중심과 환산 질량의 것으로 나눌 수 있고, 환산 질량에 대한 해밀토니안 연산자는
[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}_{\mu}=\frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2 \mu}+\frac{\hat{L}^{2}}{2 \mu r^{2}}+U(r) )]
으로 쓸 수 있다. [math(\hat{\mathcal{P}}_{r})]은 지름 방향의 운동량 연산자, [math(\hat{L})]은 궤도 각운동량 연산자, [math(\psi)]는 수소형 원자에 대한 전자의 파동함수이다. 각종 양자역학적 지식과 위의 정보들을 이용하면, 수소 원자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은
[math(\displaystyle \left[ \frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2 \mu}+\frac{\hbar^{2} \ell(\ell+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} \right] \psi = E \psi )]
로 쓸 수 있음을 얻는다. 주의해야 할 것은 위 식에서 [math(\ell)]은 각운동량의 크기가 아닌 특정한 조건을 만족하는 정수이다.
이 상황에서도 유효 퍼텐셜을 정의할 수 있고, 일반적으로 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle V(r) \equiv \frac{\hbar^{2}\ell(\ell+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} )]
따라서 [math(\ell)]값에 따라 유효 퍼텐셜 값 또한 달라진다.
이에 관련한 자세한 내용은 수소 원자 모형 문서를 참조한다.
5. 심화
5.1. 비네 방정식
극좌표로 표현된 궤도로부터 두 물체 사이에 작용하는 힘을 구할 수 있는 방정식으로, 프랑스의 수학자 자크 비네(Jacques Philippe Marie Binet)가 유도하였다. 특히 타원 궤도로부터 뉴턴의 만유인력의 법칙을 유도하는 데 비네 방정식이 사용된다.다음을 알고 있다.
[math(\displaystyle \mu r^{2} \dot{\theta}=l )]
또한, 극좌표계에서 가속도의 [math(r)] 방향 성분은
[math(\displaystyle a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2} )]
이상에서 [math(\mu)]가 받는 힘의 [math(r)] 방향 성분은
[math(\displaystyle F(r)=\mu(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}) )]
다음의 변수 치환을 이용하자.
[math(\displaystyle r^{-1} \equiv u )]
우선,
[math(\displaystyle \displaystyle \frac{du}{d \theta} = \frac{du}{dr} \frac{dr}{dt} \frac{dt}{d \theta} = - \frac{1}{r^2} \dot{r} \frac{1}{\dot{\theta}} )]
이고, 여기에 위의 [math(\mu r^{2} \dot{\theta}=l)]을 이용하면,
[math(\displaystyle \displaystyle \frac{du}{d \theta} = - \frac{\mu \dot{r} }{l} )]
이를 다시 [math(\theta)]로 미분하면,
[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = \frac{d}{d \theta} \biggl( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \biggr) = \frac{dt}{d \theta} \frac{d}{dt} \biggl( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \biggr) = - \frac{\mu \ddot{r} }{l \dot{\theta} } )]
마찬가지로, [math(\mu r^{2} \dot{\theta}=l)]을 이용하면,
[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = - \frac{\mu^2 r^2 \ddot{r} }{l^2} )]
이상에서
[math( \displaystyle \ddot{r} = - \frac{l^2 u^2}{\mu^2} \frac{d^2 u}{d \theta^2} \qquad \qquad r \dot{\theta}^2 = \frac{l^2 u^3}{\mu^2} )]
이것을 처음의 운동 방정식에 대입하므로써 비네 방정식을 얻는다:
[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = - \frac{\mu}{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) )]
이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math( \displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \biggl( \frac{1}{r} \biggr) + \frac{1}{r}= - \frac{\mu r^2}{l^2} F(r) )]
이를 이용하면, 어떠한 궤도가 주어졌을 때, 어떠한 힘을 받고 있는지 계산할 수 있다.
5.2. 라플라스-룽게-렌츠 벡터
뉴턴의 제 2법칙에 의해, 중심력은 아래와 같이 표현된다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{\mathbf{p}}=f(r)\frac{\mathbf{r}}{r} \end{aligned} )]
이를 보존되는 각 운동량 [math(\mathbf{L})]과 외적하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{\mathbf{p}}\times \mathbf{L} = \frac{mf(r)}{r} \left[ \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}) \right] = \frac{mf(r)}{r} \left[ \mathbf{r}(\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{r}})-r^{2}\dot{\mathbf{r}} \right ] \end{aligned} )]
한편 [math(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot \dot{\mathbf{r}})=r\dot{r})]을 만족함과 동시에 각 운동량은 [math(\dot{\mathbf{L}}=0)]을 만족하므로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times \mathbf{L})=-mf(r)r^{2} \left( \frac{\mathbf{\dot r}}{r}-\frac{\mathbf{r}\dot{r}}{r^2} \right) \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times \mathbf{L})=-mf(r)r^{2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{r}}{r} \right) \end{aligned} )]
[math(f(r))]은 [math(r)]의 역제곱에 비례한다고 가정하자. 그러면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\mathbf{p} \times \mathbf{L})=\frac{d}{dt}\left ( \frac{mk\mathbf{r}}{r} \right ) \end{aligned} )]
따라서 아래와 같은 벡터 [math(\mathbf{A})]는 시간에 무관하게 항상 보존되며, 이를 라플라스-룽게-렌츠 벡터(Laplace-Runge-Lenz vector)라고 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}=\mathbf{p}\times \mathbf{L}-mk\frac{\mathbf r}{r} \end{aligned} )]
5.3. 원 궤도의 안정성
중심력 장에서 운동하는 입자가 [math(r=\rho)]인 곳에서 원 운동할 수 있는 조건에 대해 알아보는 것도 꽤 흥미롭다.[math(\displaystyle \frac{d V}{d r} \biggr|_{r=\rho}=0 )]
그러나 원 궤도로 운동할 수 있는 것과 '이 궤도가 안정적인가'를 다루는 것은 별개의 문제이다. 다시 말하면, 우리가 퍼텐셜 에너지 문서에서 불안정 평형점에 대해 논의했듯, 약간의 힘을 가했을 때, 원 궤도가 파괴된다면 그것은 안정적인 원 궤도라 할 수 없다는 것이다. [math(r=\rho)]인 점에서 안정된 원 궤도를 가지려면 유효 퍼텐셜이 최솟값을 갖는 부근이어야 한다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d V}{d r} \biggr|_{r=\rho}&=0 \\ \frac{d^{2} V}{{d} r^{2}} \biggl|_{r=\rho} &>0\end{aligned} )]
이 두 조건을 만족해야 안정된 원 궤도를 갖는다고 볼 수 있을 것이다. 두 번째 조건은 고등학교 미적분 시간에 배웠듯 함수가 아래로 볼록할 경우를 다루는 것이다.
이제의 논의는 거의 안정적인 원 궤도를 가질 때이다. 이때는 약간의 섭동을 가하면 아래 그림과 같이 궤도 반지름으로 부터 근사적으로 진동하는 형태가 될 것이다.
이제 [math(r=\rho+x)](단, [math(x\ll \rho)])을 고려하자. 논의했듯 중심력 장에서 운동 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2})=F(r) \qquad \cdots \, \small{(1)} \end{aligned} )]
이므로 고려한 원점으로부터 거리를 넣으면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-\mu (\rho+x) \dot{\theta}^{2}=F(\rho+x) \end{aligned} )]
한편, [math(l=\mu r^{2}\dot{\theta})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-l^{2}\mu^{-1}(\rho+x)^{-3} =F(\rho+x) \end{aligned} )]
[math(x\ll 1)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-\frac{l^{2}}{\mu \rho^{3}}\biggl(1-\frac{3x}{\rho} \biggr) =F(\rho)+F'(\rho)x \end{aligned} )]
한편, 식 [math(\small{(1)})]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{l^2}{\mu \rho^{3}}=F(\rho) \end{aligned} )]
를 구할 수 있는데, 이렇게 쓸 수 있는 이유는 처음 입자는 원 궤도로 움직였으므로 반지름 방향의 운동은 없으므로 [math(\dot{r}|_{r=\rho}=0)]이기 때문에 [math(\ddot{r}|_{r=\rho}=0)]으로 쓸 수 있는 것이다.
이를 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}+\left[\frac{3l^{2}}{\mu \rho^{4}}-F'(\rho) \right]x &=0 \\ \mu \ddot{x}+\left[-\frac{3F(\rho)}{\rho}-F'(\rho) \right]x &=0 \end{aligned} )]
의 미분 방정식이 나오는데, 얼핏 보기엔 단순 조화 진동자의 운동 방정식과 닮았다. 따라서 (거의) 안정된 원 궤도를 가지기 위한 조건은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{3F(\rho)}{\rho}+F'(\rho)<0 \end{aligned} )]
양변을 [math(F(\rho)<0)]으로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{F'(\rho)}{F(\rho)}+\frac{3}{\rho}>0 \end{aligned} )]
일반적인 중심력은
[math(\displaystyle F(r)=-{\alpha}r^{n} )]
형태로 주어지는 경우가 많다. [math(\alpha)]는 상수이다.
이 경우 안정된 원 궤도를 갖기 위한 조건을 찾아보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} F(\rho)&=-\alpha \rho^{n} \\ F'(\rho)&=-\alpha n \rho^{n-1} \end{aligned} )]
이므로 위에서 찾은 조건에 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} n>-3 \end{aligned} )]
실제로 아래에서 증명하겠지만, 베르트랑 정리에 따르면 이 힘이 주어질 때, 원 궤도가 존재할 수 있는 조건은 [math(n=-2)]일 때와 [math(n=1)]이다.
5.4. 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는 중심력의 형태
이 문서를 통해 [math(F \propto r^{-2})]의 중심력이 작용하는 경우에 대해 이체 문제를 풀어봄으로써 중심력에 대한 논의를 하였다. 그렇다면, 이제부터의 논지는 어떠한 형태의 중심력이 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는가?이다.결론부터 말하자면, 이는 수학적으로 [math(F \propto r^{-2},\,r)]의 형태인 경우에만 가능하다고 알려져있다. 즉, 역제곱장과 훅의 법칙을 만족시키는 중심력만 가능한 것이다.
이에 대해 초급적인 방법으로 증명해보자. 윗 문단의 비네 방정식에 의하면,
[math(\displaystyle \frac{d^{2}u}{d \theta^{2}}+u=J(u) )]
여기서
[math(\displaystyle J(u) \equiv - \frac{\mu }{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) )]
이다. 만약 [math(r=r' \equiv u'^{-1})]으로 원 궤도 운동한다면, 비네 방정식은
[math(\displaystyle u'=J(u') )]
우리가 고려하는 것은 닫힌 궤도이므로 원 궤도에서 살짝 섭동을 가하자. [math(J(u))]를 [math(u=u')] 근방에서 전개하면,
[math(\displaystyle J(u)=u'+\left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} (u-u') )]
이다. 이차항 부터의 고차항은 무시했다. 이것을 맨 위의 비네 방정식에 대입하고, [math(x \equiv u-u')]라 하면,
[math(\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=0 \quad \cdots \, (\ast) )]
이고,
[math(\displaystyle \beta^{2} \equiv 1- \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} )]
으로 정의했다. 이때,
[math(\displaystyle \frac{dJ}{du} =-\frac{2J(u)}{u}-\frac{\mu}{l^{2}u^{2}}\frac{dF(u^{-1})}{du} )]
이기 때문에
[math(\displaystyle \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} =-2+\frac{u'}{F(u')} \left. \frac{dF}{du} \right|_{u=u'} )]
으로 쓸 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \beta^{2} =3-\frac{u'}{F(u')} \left. \frac{dF}{du} \right|_{u=u'}=3+ \left. \frac{r}{F}\frac{dF}{dr} \right|_{r=r'} \quad \cdots \, (\#) )]
그런데, 안정적인 원 궤도를 가지려면, [math(\beta^{2}>0)]을 만족해야 함을 위에서 증명했다. 그럴 경우 방정식 [math((\ast))]의 [math(x)]에 대한 해는
[math(\displaystyle x=a\cos{\beta \theta} )]
이고, 원궤도에서 약간 벗어나면서 궤도가 닫히기 위해선 [math(\beta)]는 유리수여야 함을 여기서 얻고, 힘의 형태는 방정식 [math((\#))]를 풀어 다음이 돼야 함을 얻는다.
[math(\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{3-\beta^{2} } } )]
[math(\alpha)]는 상수이다.
[math(J(u))]를 다시 [math(u=u')] 근방에서 전개해보자.
[math(\displaystyle J(u)=u'+xJ'+\frac{x^{2}}{2}J+\frac{x^{3}}{6}J' )]
그렇다면, 위에서의 미분 방정식은
[math(\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=\frac{x^{2}}{2}J+\frac{x^{3}}{6}J' \qquad \cdots \, (\$))]
궤도가 원 궤도에서 약간 벗어나나, 닫힌 궤도를 고려하고 있기 때문에 [math(x)]를 [math(\beta \theta)]에 대해 푸리에 전개한다
[math(\displaystyle x=a_{0}+a_{1}\cos{ \beta \theta}+a_{2}\cos{ 2\beta \theta}+a_{3}\cos{ 3 \beta \theta} )]
식 [math((\$))]의 좌변에 대입하면,
[math(\displaystyle a_{0}\beta^{2}-3\beta^{2}a_{2}\cos{ 2\beta \theta}-8\beta^{2}a_{3}\cos{ 3 \beta \theta} )]
식 [math((\$))]의 우변은 매우 복잡한 계산과 각종 삼각함수 공식을 통해 다음과 같이 전개할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{a_{1}^{2}}{4}J+\left[ \frac{2a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}}{2}J+\frac{a_{1}^{3}}{8}J \right]\cos{\beta\theta}+\frac{a_{1}^{2}}{4}J\cos{2\beta \theta}+\left[\frac{a_{1}a_{2}}{2}J+\frac{a_{1}^{3}}{24}J \right]\cos{3\beta\theta} )]
식 [math((\$))]가 성립하려면 각 비선형 항의 계수는 같아야 하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{0}&=\frac{a_{1}^{2}J}{4 \beta^{2}} \\ a_{2}&=-\frac{a_{1}^{2}J}{12 \beta^{2}} \\ 0&=\frac{2a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}}{2}J+\frac{a_{1}^{3}}{8}J' \\ a_{3}&=-\frac{1}{8 \beta^{2}} \left[ \frac{a_{1}a_{2}}{2}J+\frac{a_{1}^{3}}{24}J' \right] \end{aligned} )]
위의 내용을 참고하면,
[math(\displaystyle J(u)=\frac{\alpha \mu}{l^{2}}u^{1-\beta^{2}} )]
이 돼야하고,
[math(\displaystyle \begin{aligned} J&=\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})}{u'}\\ J'&=-\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})(1+\beta^{2})}{u'^{2}} \end{aligned} )]
임을 알 수 있다.
결론적으로, 위에서 나온 4가지 식 중 첫 번째, 두 번째, 네 번째 식을 연립하면, [math(a_{0},\,a_{2},\,a_{3})]는 [math(a_{1})]으로 나타낼 수 있을 것이며, 이것을 세 번째 식에 대입하면,
[math(\displaystyle {\beta^{2}(1-\beta^{2})(4-\beta^{2})}=0 )]
닫힌 궤도를 고려하므로 [math(\beta^{2} \neq 0)]이어야 하므로 가능한 해는
[math(\displaystyle \beta^{2}=1 \,\, \mathsf{or} \,\, \beta^{2}=4 )]
이상에서 닫힌 궤도가 가능한 힘의 형태는 다음 두 가지임을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \beta^{2}=1, \qquad & F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} \\ \beta^{2}=4, \qquad & F(r)=-{\alpha}r \end{aligned} )]
이는 파리의 수학자 베르트랑(Joseph Bertrand; 1822~1900)이 증명했기 때문에 베르트랑 정리(Bertrand's theorem)라고도 한다.
6. 삼체문제
[1]
이를테면, 중력은 [math( \alpha = Gm_{1} m_{2} )]이다.
[2]
[math( \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]
[3]
적분 상수는 적절히 처리하여 없앴다.
[4]
자세한 것은
타원 문서 참조.