1. 개요
活 力 方 程 式 / Vis-viva equation궤도역학을 모델링하는 방정식 중 하나다. 물체에 작용하는 힘이 물체의 질량과 주변 중력장의 세기의 곱으로 결정되는 중력인 자체 무게일 때 적용되는 에너지 보존 법칙의 직적적인 결과이다.
2. 방정식
다른 물체를 공전하는 어떤 물체의 속도를 궤도의 긴반지름과 초점으로부터 물체까지의 거리로 나타낼 때 방정식은 다음과 같다.[math(\mathbf{v}^{2}=\mathbf{GM} \displaystyle (\frac{2}{r}-\frac{1}{a}))]
이 식에서 [math(\mathbf{v})]가 궤도 운동하는 물체의 속도를 의미하고, [math(\mathbf{r})]를 중심 천체부터의 거리, [math(\mathbf{a})]는 장경의 절반 또는 긴반지름이 ([math(\mathbf{a}>0)])이면 타원, [math(\mathbf{a}=∞)]이거나 [math(\frac{1}{a}=0)]이면 포물선, 그리고 [math(\mathbf{a}<0)]이면 쌍곡선이다. 또한 [math(\mathbf{GM})]를 중심 물체의 질량과 중력 상수의 곱이라고 할 수 있다.
2.1. 타원 궤도의 미분 [math(0 \leq {eccentricity} <1)]
활력방정식에서 궤도 물체(우주선)의 질량 [math(\mathbf{m})]은 중심 물체(지구)의 질량 [math(\mathbf{M})]에 비해 무시할 수 있는 수준으로 간주된다. 중심 물체와 궤도 물체는 각각 1차 입자라고도 불리며, 타원 궤도 또는 원형 궤도의 경우, 활력방정식은 에너지 보존 법칙을 쉽게 도출될 수 있다.궤도 에너지는 일정하다. 따라서 첨자 [math(\mathbf{a})]와 [math(\mathbf{p})]를 사용하여 각각 apogee와 perigee로 나타낸다.
[math(\displaystyle \epsilon=\frac{v^2_a}{2}-\frac{GM}{r_a}=\frac{v^2_p}{2}-\frac{GM}{r_p})]
다시 정리하면 다음 식으로 나온다.
[math(\displaystyle \frac{v^2_a}{2}-\frac{v^2_p}{2}=\frac{GM}{r_a}-\frac{GM}{r_p})]
타원 궤도의 경우 속도 및 반경 벡터가 원점과 근일점에서 수직이라는 점을 상기한다면 각운동량 보존에는 특정 각운동량이 필요하다. [math({h}={r_pv_p}={r_av_a}=constant)] 이때 [math(constant)]는 상수다. 따라서, [math({v_p}=\frac{r_a}{r_p}v_a)]
[math(\displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{r^2_a}{r^2_p}){v^2_a}=\frac{GM}{r_a}-\frac{GM}{r_p} \qquad \qquad \frac{1}{2}(\frac{r^2_p-r^2_a}{r^2_p}){v^2_a}=\frac{GM}{r_a}-\frac{GM}{r_p})]
원점에서 운동 에너지를 분리하고 단순화하면,
[math(\displaystyle \frac{1}{2}{v^2_a}= (\frac{GM}{r_a}-\frac{GM}{r_p})·\frac{r^2_p}{r^2_p-r^2_a} \qquad \qquad \frac{1}{2}{v^2_a}= {GM}(\frac{r_p-r_a}{r_ar_p}) \frac{r^2_p}{r^2_p-r^2_a} \qquad \qquad \frac{1}{2}{v^2_a}= {GM} \frac{r_p}{r_a(r_p+r_a)})]
타원의 기하학에서, [math({2a}={r_p}+{r_a})] 여기서 [math({a})]는 긴반지름의 길이이다. 따라서,
[math(\displaystyle \frac{1}{2}{v^2_a}= {GM} \frac{2a-r_a}{r_a(2a)}= {GM}(\frac{1}{r_a}- \frac{1}{2a})= \frac{GM}{r_a}- \frac{GM}{2a})]
이것을 특정 궤도 에너지에 대한 원래 등식으로 대입한다.
[math(\displaystyle \epsilon= \frac{v^2}{2}- \frac{GM}{r}= \frac{v^2_p}{2}- \frac{GM}{r_p}= \frac{v^2_a}{2}-\frac{GM}{r_a}= -\frac{GM}{2a})]
따라서, [math(\epsilon= -\frac{GM}{2a})] 그리고 활력방정식은 다음과 같이 바뀔 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{v^2}{2}- \frac{GM}{r}= -\frac{GM}{2a} \qquad \qquad {v^2}= {GM} (\frac{2}{r}- \frac{1}{a}))]
따라서 보존된 각운동량 [math({L}={mh})]는 다음을 사용하여 미분할 수 있다. [math({r_a}+{r_p}={2a})]그리고 [math({r_ar_p}={b^2})] 여기서 [math({a})]는 타원 궤도의 장반경이고 [math({b})]는 단반경이다.
[math(\displaystyle {v^2_a}= GM(\frac{2}{r_a}- \frac{1}{a})= \frac{GM}{a}(\frac{2a-r_a}{r_a})= \frac{GM}{a}(\frac{r_p}{r_a})= \frac{GM}{a}(\frac{b}{r_a})^2)]
교대로,
[math(\displaystyle {v^2_p}= GM(\frac{2}{r_p}- \frac{1}{a})= \frac{GM}{a}(\frac{2a-r_p}{r_p})= \frac{GM}{a}(\frac{r_a}{r_p})= \frac{GM}{a}(\frac{b}{r_p})^2)]
특정 각운동량은 [math({h}={r_pv_p}={r_av_a}={b} \sqrt{\frac{GM}{a}})] 그리고 총 각운동량은,
[math(\displaystyle {L}={mh}={mb} \sqrt{\frac{GM}{a}})]
3. 기타
궤도의 단일 지점에서 총 질량과 스칼라 [math({r},{v})]가 주어진다면 다음을 계산할 수 있다.- 궤도의 다른 지점에서의 [math({r})]와 [math({v})] ; 및 특정 궤도 에너지 [math(\epsilon)], 더 큰 물체를 공전하는 물체는 궤도를 유지할 만큼 에너지가 충분하지 않다. 준궤도 우주 비행(탄도 미사일)로 분류될 수 있고, "궤도"에 있을 만큼 에너지는 충분하지만 결국 다른 천체와 충돌하기 때문에 완전히 궤도를 완료할 가능성이 없는 물체, 또는 무한대에서 나오거나 무한대로 갈 만큼 에너지가 충분한 물체(운석)으로 분류된다.
탈출 속도에 대한 공식은 활력방정식에서 다음과 같은 한계를 취해 얻을 수 있다. [math({a})] [math(approaches)] [math(({x}))]
[math(\displaystyle {v^2_e}= {GM}(\frac{2}{r}-0)→ {v_e}= \sqrt{\frac{2GM}{r}})]