1. 개요
Zeeman effect자기장이 원자의 축퇴된 에너지 준위를 갈라지게 하는 현상.
스핀-궤도 결합에 의한 내부 자기장에 비해 약한 자기장에서는 스핀-궤도 결합(spin-orbit coupling)이 주요한 항이지만, 강한 자기장이 가해지면 스핀-외부 자기장 간의 상호작용이 주요한 항이 된다. 물론 중간 정도 되는 자기장에서는 한쪽을 주요 항으로 두는 근사를 할 수 없으니 유의하자. 한편, 강한 자기장으로 갈수록 에너지 준위가 서로 겹치지 않으려 하는 non-crossing theorem이 적용된다.
1896년 네덜란드 레이던 대학의 피터르 제이만이 발견하였다.
1.1. 해밀토니언
전자는 다음과 같이 궤도 각운동량 [math(\mathbf{L})]에 의한 자기 모멘트 [math(\boldsymbol{\mu}_{L})]과 스핀 각운동량 [math(\mathbf{S})]에 의한 자기 모멘트 [math(\boldsymbol{\mu}_{S})]를 갖는다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\mu}_{L}&=-\frac{g_{l} e}{2m}\mathbf{L} \\ \boldsymbol{\mu}_{S}&=-\frac{g_{e} e}{2m}\mathbf{S} \end{aligned} )]
전자의 총 자기 모멘트는 [math(\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_{L}+\boldsymbol{\mu}_{S})]임에 따라 외부 자기장 [math(\bf{B})]에 대한 보정 해밀토니언은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}_{Z}'&=-\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} \\&=\frac{e}{2m}(g_{l}\mathbf{L}+g_{e}\mathbf{S}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} \end{aligned} )]
위 식에서 Dirac particle인 경우에 [math( g_l =1 )]및 [math( g_e = 2 )]로 놓는다.[1]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}_{Z}'&=-\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} \\&=\frac{e}{2m}(\mathbf{L}+2\mathbf{S}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} \end{aligned} )]
외부 자기장의 방향을 [math(z)]축 방향이라 하면 최종적으로 보정 해밀토니언은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}_{Z}'&=-\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} \\&=\frac{e}{2m}(L_{z}+2S_{z})B \end{aligned} )]
2. 에너지 보정량
2.1. 강한 자기장(strong field)
외부 자기장이 원자 내부의 자기장(스핀-궤도 결합)보다 크므로 미세 구조보다 외부 자기장의 효과가 커진다. 따라서 주 섭동항은 미세 구조에 의한 것이 아닌 외부 자기장에 따른 것이 된다.위 문단에서와 같이 보정 해밀토니언은 다음과 같다.
[math( \displaystyle \mathcal{H}_{Z}' =\frac{e}{2m}(L_{z}+2S_{z})B )]
[math(\mathcal{H}_{Z}')]과 [math(L^{2})], [math(S^{2})], [math(L_{z})], [math(S_{z})]는 서로 교환되므로 섭동을 잘 기술하기 위한 좋은 양자수의 집합은 [math(\{l,\,s,\,m_{l},\,m_{s} \})]가 된다. 다만, 총 각운동량 [math(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S})]에 대하여 [math(J^{2})], [math(J_{z})]는 [math(\mathcal{H}_{Z}')]과 교환되지 않으므로 [math(j)], [math(m_{j})]는 좋은 양자수가 아니다. 따라서 섭동항의 에너지는
[math( \begin{aligned} E_{Z}^{(1)}&= \left<l\,s\,m_{l}\,m_{s} \biggl | \biggr. \dfrac{e}{2m}B ( L_{z}+2 S_{z}) \biggl | \biggr. l\,s\,m_{l}\,m_{s} \right> \\ &=\mu_B (m_l + 2m_s)B \end{aligned} )]
이때, [math(\mu_{B}=e\hbar/2m)]으로 보어 마그네톤이다.
결과적으로 강한 자기장이 걸리는 경우에는 양자수 합 [math(m_l + 2m_s)]에 의해서 축퇴(degenerated)된 상태들이 풀린다.
2.2. 약한 자기장(weak field)
외부 자기장의 세기가 원자 내부의 자기장(스핀-궤도 결합)보다 약한 경우 외부 자기장에 의한 것이 아닌 미세 구조가 주요한 섭동항이 된다. 따라서 좋은 양자수의 집합은 주요한 섭동항과 같은 [math(\{ l,\,s,\,j,\,m_{j} \})]가 된다. 그러나 위 문단에서 나온 보정 해밀토니언은 이러한 양자수로 기술할 수 없다. 따라서 총 각운동량 [math(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S})]와 관련된 항으로 바꾸어보자.[math( \displaystyle \mathbf{L}+2\mathbf{S}=\mathbf{J}+\mathbf{S} )]
이고, 이 케이스의 경우 자기장이 스핀-궤도 결합을 깰 정도는 아니므로 [math(\mathbf{S})]는 여전히 [math(\mathbf{J})] 주위를 회전한다. 따라서 평균값 계산에는 [math(\mathbf{J})]와 평행한 성분만 그 취급이 중요해지므로[2]
[math( \displaystyle \mathbf{S}\to \frac{\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{S} }{J^{2}}\mathbf{J} )]
로 대치하여 계산을 한다. 한편, [math(\mathbf{L}=\mathbf{J-S})]이므로 양변을 제곱하여 정리하면
[math(\begin{aligned}\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{S}&=\frac{1}{2}\left(J^{2}-L^{2}+S^{2}\right)\\\\\therefore\mathbf{J+S}&=\left[ 1+\frac{J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}} \right] \mathbf{J}\end{aligned})]
보정 해밀토니언은 위 결과를 종합하여 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \mathcal{H}_{Z}' =\frac{e}{2m} \left[ 1+\frac{J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}} \right] J_{z}B )]
에너지 보정량은 다음과 같다.
| [math( \displaystyle \begin{aligned} E_{Z}^{(1)}&=\langle l\,s\,j\,m_{j}| \mathcal{H}_{Z}' | l\,s\,j\,m_{j} \rangle \\ &=\frac{e \hbar}{2m} \cdot m_{j} \left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)} \right]B \end{aligned} )] |
[math( \displaystyle \begin{aligned} E_{Z}^{(1)}&=\mu_{B}g_{J}m_{j}B \end{aligned} )]
3. 관련 실험
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[1]
물론 실제 값은 미묘한 차이가 있는데, [math(\displaystyle g_l =1 - {m_e \over m_N})]로 알려져 있고, CODATA 2018 에선 [math( g_e = 2.002 319 304 362 56(35))]의 값을 쓰도록 권장하고 있다.
뮤온의 경우 실험적 결과와 이론적 결과가 차이가 있으며, 관심이 있다면 g-2 실험을 참고하자. 여기에서는 단순 근사적인 값을 이용한다.
[2]
사실 초등적인 설명이고, 이것을 완전히 기술하기 위해선 더 많은 양자역학 지식이 필요하다. 식 자체는
벡터 사영을 기술하는 식이다.