1. 개요
non-inertial reference frame비관성 좌표계 혹은 비관성계는 관측자가 있는 좌표계가 정지 혹은 등속도 운동하는 것이 아니라 가속 운동하는 좌표계이다. 이때, 관성 좌표계에 있는 정지한 관측자가 비관성 좌표계에 있는 정지한 관측자를 바라보게 되면, 가속 운동하는 것으로 관측된다.
현실에서는 관측자가 관성 좌표계에 있다고 전제하는 경우가 많은데, 지구 표면 마저도 자전과 태양을 한 초점으로 하여 공전을 하여 가속 운동을 하기 때문에 관성 좌표계가 아니다.
고전역학의 공리라 볼 수 있는 뉴턴법칙은 관성 좌표계를 기준으로 작성 되었기 때문에 비관성 좌표계에서 뉴턴법칙을 성립시키게 되면, 비관성항이 추가되게 된다. 그 항이 관성력, 원심력 등의 겉보기 힘이다.
이때, 해당 힘들이 비관성 좌표계에서 뉴턴법칙을 성립시키기 위해 인위적으로 추가된 항이라는 점을 인지할 필요가 있다. 따라서 고전역학적 '힘'과는 비교했을 때, 보통의 의미에서 지칭하는 힘은 아니며, 그렇기 때문에 작용 반작용 법칙 또한 적용되지 않는다. 이에대한 자세한 설명은 관성력, 원심력 문서에 나와있다.
주의해야 할 것은 인위적으로 추가된 항이라 해도 이것이 수학적 트릭 등으로 아무 의미 없이 추가된 항이라 해석하면 안된다. 그 이유는 비관성 좌표계에 있는 사람은 그 힘을 느낄 수 있으며, 이것은 가속하는 버스나, 회전하는 놀이기구에서 관성력과 원심력을 느낄 수 있다는 것이 그 근거이다. 또한, 이 항을 도입하지 않고, 관성 좌표계에서 정의된 뉴턴법칙을 그대로 쓰면, 비관성 좌표계의 관찰자는 설명할 수 없는 것들 또한 존재하기 때문이다.[1]
다르게 설명하면, 보통의 힘은 상호작용으로 인해 나타나나, 이러한 비관성 항은 좌표계의 가속 혹은 회전 때문에 나타나는 항이다. 즉, 좌표계 자체의 운동으로 인해서 받는 것이다. 따라서 이것을 보통의 힘으로 치부하기엔 어려운 점이 있다. 다시말해 이 항을 '힘'과 동일하게 취급할 경우 뉴턴의 3가지 운동 법칙에 모두 어긋난다.[2]
2. 비관성 좌표계에서의 운동의 기술
2.1. 가속계[3]
고정된 관성계[4] [math(\textrm{O}\mathbf{'})]에 대하여 [math(\mathbf{a})]의 가속도로 움직이는 가속계 [math(\textrm{O})]를 고려해보자. 즉,
[math( \displaystyle \frac{d^{2}\mathbf{R}}{dt^{2}}=\mathbf{a} )]
가 성립한다.
이때, 가속계에 대해 정지한 물체가 있다면, 고정된 관성계에서 관측한
[math( \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=0 )]
이다. 여기서 [math(\textrm{fixed})]는 고정된 관성계에서 관측한 물리량임을 직시한 것이고, 물체가 가속계와 함께 병진운동할 경우에 [math(\mathbf{r})]은 시간에 따라 변화하지 않기 때문에 위와 같은 결과가 나온 것이다.
다만, 물체가 비관성계에 대해서도 가속도 [math( ( d^2 \mathbf{r}/dt^{2})_{\textrm{accelerating}})]을 가진다면, 이를 덧붙여 쓸 필요가 있다.
[math( \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=0+\left( \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}} )]
이때, 위 상황에서
[math( \displaystyle \mathbf{r'}=\mathbf{R}+\mathbf{r} )]
이 성립한다. 각 벡터의 의미를 명확히 밝히면, 다음과 같다.
- [math(\mathbf{r})]: 비관성계에 대한 물체까지의 위치 벡터
- [math(\mathbf{r'})]: 고정된 관성계에 대한 물체까지의 위치 벡터
- [math(\mathbf{R})]: 고정된 관성계에 대한, 비관성계의 원점까지의 위치 벡터
따라서 고정된 관성계에서
[math( \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{R}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}+\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}} )]
위를 이용하여, 식을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \mathbf{a}+\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}} )]
이다. 여기서 각 항의 의미를 명확히 밝히면,
- [math(\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}})]: 고정된 관성계에 대한 물체의 가속도
- [math(\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}})]: 가속계에 대한 물체의 가속도
양변에 질량을 곱하고, [math(\displaystyle ( {d^{2} \mathbf{r'}}/{dt^{2}})_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{a_{f}})], [math(\displaystyle ( {d^{2} \mathbf{r}}/{dt^{2}} )_{\textrm{accelerating}} \equiv \mathbf{a'})]라 하면,
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{f}}= m \displaystyle \mathbf{a}+ m\mathbf{a'} )]
이때, 우리가 원하는 것은 비관성계에서 뉴턴 제 2법칙이 성립하게끔 만드는 것이므로
[math( \displaystyle m \displaystyle \mathbf{a'}=m\mathbf{a_{f}}-m\mathbf{a} )]
를 얻고, 여기서 나타나는 비관성 항 [math(-m\mathbf{a})]을 관성력이라 한다.
즉, 비관성계에서 물체는 관성계에서 받던 힘( 중력, 전자기력, 탄성력 등 법칙으로 정의된 힘을 말한다.) [math(m\mathbf{a_{f}})]에 부가적으로 관성력 [math(-m\mathbf{a})]을 받는다는 것을 알 수 있다.
2.2. 회전계
고정된 관성계 [math(\textrm{O}\mathbf{'})]에 대하여 [math(\boldsymbol{\omega})]의 각속도로 움직이는 회전하는 회전계 [math(\textrm{O})]를 고려해보자.
이때, 회전계에 대해서 물체가 정지한다면, 고정계에서 관측했을 때, 물체는 회전하는 것으로 관측된다. 이때, 물체가 무한소 회전을 했다하면,
[math( \displaystyle (d \mathbf{r})_{\textrm{fixed}}=d \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} )]
이 성립한다. 이때,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \boldsymbol{\theta}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \times \mathbf{r}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이다.
이때, 회전계에 대해 물체가 속도 [math( \displaystyle \left({d \mathbf{r}}/{dt} \right)_{\textrm{rotating}})]를 추가적으로 가진다면, 이를 덧붙여 적을 필요가 있다. 즉,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이다. 이에 대한 추가적인 설명이 필요하면 이곳을 참조한다.
이때, 위 상황에서
[math( \displaystyle \mathbf{r'}=\mathbf{R}+\mathbf{r} )]
이 성립하므로 고정된 관성계에서
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]
위를 이용하여, 식을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이다. 그런데, 회전계가 병진운동은 하지 않으므로
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=0 )]
이다. 따라서
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이다. 여기서 각 항의 의미를 명확히 밝히면,
- [math( \displaystyle \left(\frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}})]: 고정된 관성계에 대한 물체의 속도
- [math(\displaystyle \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}})]: 회전계에 대한 물체의 속도
- [math(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})]: 회전계의 회전에 의해 물체가 갖는 속도
이때, [math(\displaystyle ( {d \mathbf{r'}}/{dt} )_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v_{f}})], [math(\displaystyle ({d \mathbf{r}}/{dt} )_{\textrm{rotating}} \equiv \mathbf{v_{r}})]이라하면, 다음이 성립한다.
[math( \mathbf{v_{f}}=\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이번엔 회전계에서 물체가 받는 힘을 조사하자. 위에서 구했던 관계식을 고정계에 대해 시간 미분[5]하면,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\frac{d \boldsymbol{\omega}}{dt} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]
이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]
이 된다.
이때, 위에서 구했던
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
에선 벡터 [math(\mathbf{r})]에 대한 식이지만, 실제로는 임의의 벡터 [math(\mathbf{Q})]에 대해서도 성립한다. 즉,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{Q}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{Q}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} )]
가 성립한다. 이 식을 이용하면,
[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
으로 바뀐다. 이때, 윗문단에서 정의했던 것을 사용하고, 각항에 질량을 곱하면,
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=m\mathbf{a_{r}}+2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
따라서 회전계에서 물체의 가속도는
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
가 된다. 병진운동만 할 때보다 비관성항이 늘어난 것을 알 수 있다.
우변의 각 항의 의미는 아래와 같다.
- [math(m\mathbf{a_{f}})], [math(m\mathbf{a_{r}})]은 윗문단 참고.
- [math(-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r})]는 회전계의 회전에 의해 물체가 갖는 힘이다. 정확히 밝히면, 보통 가로 힘으로 알려진 오일러 힘이다.
- [math(-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}})]는 코리올리 힘이다. 자세한 것은 해당 문서 참조.
- [math( -m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right))]이 바로 원심력이다. 각속도 벡터와 위치 벡터는 서로 수직한 관계에 있기 때문에 마지막 항의 크기가 [math(mr \omega^{2})]인 것에서도 추측해볼 수 있다. 자세한 것은 원심력 문서 참조.
2.3. 일반적인 상황
일반적으로 비관성계는 고정된 관성계에 대하여 병진 및 회전 운동 모두 할 수 있다. 이 경우는 윗 문단에서 [math( \displaystyle \left( {d \mathbf{R}}/{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=0)]으로 놓은 것을 수정하기만 하면 결과가 얻어진다. 비관성계가 고정된 관성계에 대하여 [math( \displaystyle \mathbf{V})]의 속도로 병진운동하면,[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\mathbf{V} )]
가 되므로 이 상황에선
[math( \mathbf{v_{f}}=\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
가 얻어지고, [math( \displaystyle \left( {d \mathbf{V}}/{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{\ddot{R}})]라 놓으면,
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=m\mathbf{a_{r}}+m \mathbf{\ddot{R}}+2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+m\boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}+ m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
이 얻어지고, 이 상황의 회전계의 물체가 받는 힘은
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m \mathbf{\ddot{R}}-m\boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
가 된다. 윗 문단의 결과에서 [math(-m \mathbf{\ddot{R}})]가 추가된 것 뿐이며, 이또한 비관성계의 병진운동으로 인해 받는 힘이다.
3. 라그랑지언과 해밀토니언
일반적인 비관성 좌표계의 상황에 대해 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 적용해보고자 한다. 그 첫 번째 과정은 비관성 좌표계의 물리량을 써서 나타낸 재작성된 라그랑지언을 찾는 것으로부터 시작한다. 우선 관성 좌표계의 라그랑지언은[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L}_{0}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2} -U \end{aligned} )]
로 나타낸다. 이때, 고려하는 비관성 좌표계의 라그랑지언은 아래 식
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v_{f}}=\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \end{aligned} )]
을 참고하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L} &=\frac{1}{2}m [V^{2}+v_{r}^{2}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} +2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+2 \mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]-U \\ &=\frac{1}{2}m [V^{2}+v_{r}^{2}+[\omega^{2}r^{2}- (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})^{2} ]+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}+2 \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+2 \mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]-U \end{aligned} )]
이 라그랑지언이 실제로 비관성 좌표계의 운동 방정식을 가져다 주는지 조사해보자. 오일러-라그랑주 방정식에 의해
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L} }{\partial \mathbf{v_{r}} }&=m \mathbf{a_{r}}+ m\mathbf{\dot{V}} + (\boldsymbol{\dot \omega} \times \mathbf{r}) + (\boldsymbol{ \omega} \times \mathbf{\mathbf{v_{r} }}) \\ \\ \frac{\partial \mathscr{L} }{\partial \mathbf{\mathbf{r}} }&=m\omega^{2}\mathbf{r}-m(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}) \boldsymbol{\omega}-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )-\boldsymbol{\nabla}U \\&=-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} )-m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )-\boldsymbol{\nabla}U \end{aligned} )]
이상에서 둘을 같다 놓고 아래와 같이 정리하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} m\mathbf{a_{r}}&=-\boldsymbol{\nabla}U-m[\mathbf{\dot V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} ) ]_{\text{rotating}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \\&=-\boldsymbol{\nabla}U-m[\mathbf{\dot V} ]_{\text{fixed}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \\&=m\mathbf{a_{f}}-m\mathbf{\ddot{R}}-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )-2m( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} ) \end{aligned} )]
으로 동일한 방정식을 얻음을 알 수 있다. 추가적으로 원심력에 대한 퍼텐셜은 다음과 같다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} U_{\text{cen}}=\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} \end{aligned} )]
이제 해밀토니언을 얻자. 해밀토니언은 라그랑지언의 르장드르 변환으로 주어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\mathbf{p_{r}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v_{r}}-\mathscr{L} \end{aligned} )]
한편,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p_{r}}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mathbf{v_{r} }} \\ &=m \mathbf{v_{r}}+m\mathbf{V}+m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) \end{aligned} )]
이므로 해밀토니언은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&= m v_{r}^{2}+m \mathbf{V}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v_{r}}+m\mathbf{v_{r}} \boldsymbol{\cdot}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-\mathscr{L} \\&=\frac{1}{2}mv_{r}^{2}-\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}-m\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+U \\&=\frac{[\mathbf{p_{r}}-m\mathbf{V}-m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]^{2}}{2m}-\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{1}{2}m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}-m\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+U \\&=\frac{p_{r}^{2}}{2m}-\mathbf{p_{r} } \boldsymbol{\cdot} [\mathbf{V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ]+U \end{aligned} )]
으로 써진다.
이 계는 일반화 좌표와 좌표의 변환식이 시간에 의존[6]하는 비 스클로노믹한 상황이기에 [math(\mathcal{H} \neq E)]이다. 또한, 라그랑지언이 명백한 시간의 함수가 아니기 때문에
[math( \displaystyle \frac{d \mathcal{H}}{dt}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}=0 )]
으로 해밀토니언은 보존량이다.
또한, 위 논의에서 추가적으로 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p_{r}}&=m [\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ] \\&=m\mathbf{v_{f}}\\&=\mathbf{p_{f}} \end{aligned} )]
따라서 관성 좌표계에서의 에너지 [math(E_{0})]와 비관성 좌표계의 해밀토니언을 비관성 좌표계의 에너지 [math(E)]라 취급한다면 그 차는 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} E-E_{0}=-\mathbf{p_{f} } \boldsymbol{\cdot} [\mathbf{V}+(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) ] \end{aligned} )]
참고적으로 위 결과에서 [math(\mathbf{\dot{p}_{r}}=\mathbf{\dot{p}_{f}})]를 얻으므로
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}_{0}}{\partial \mathbf{r'}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mathbf{r}} \end{aligned} )]
를 얻는데, 이것을 만족하려면 다음이 되어야 한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r'}}=\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}} \end{aligned} )]
이것은 곧 그레이디언트 연산이므로 비관성 좌표계에서의 그레이디언트 연산은 곧 관성 좌표계에서의 그레이디언트 연산이 같다는 것을 의미한다. 그렇기 때문에 위에서 [math(\boldsymbol{\nabla} U)]를 관성 좌표계에서의 힘으로 해석해도 무리가 없는 것이다.
4. 이용과 응용
비관성계의 대표적인 이용사례는 일반 상대성 이론이며, 지구의 상대 운동을 기술하기 위해 쓰이기도 한다. 또한, 강체 역학에서 강체와 같이 회전하는 강체 좌표계를 설정하여, 관성 텐서를 얻는 등 다양하게 쓰인다.4.1. 지구 표면 위의 운동
자전 각속도 [math(\boldsymbol{\omega})]로 움직이는 지구를 생각하자. 이때, 문제를 간단히 하기 위해 지구는 완벽한 구형이라 가정하자. 그림과 같이 지구의 중심을 [math(\textrm{O})]라 하고, 이것을 원점으로 하여 고정된 관성계 [math(x'_{i})]를 생각하자.[7] 또한 지구의 한 표면을 [math(\textrm{P})]라 하고, 표면에 접하게 놓이고, 표면과 함께 자전하는 회전계 [math(x_{i})]를 고려하자.
이때, 지구 표면에서 물체가 받는 힘은 위의 문단에서 구했듯,
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m \mathbf{\ddot{R}}-m\boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
이다. 각 벡터의 의미는 윗 문단들을 참고한다.
이때, [math(\textrm{P})]가 지구 표면 위에 있으므로 고정계를 기준으로 [math(\textrm{P})]의 위치는 변하지 않으며, 지구의 자전 각속도는 거의 시간에 대해 불변한다고 볼 수 있다. 따라서
[math( \displaystyle \frac{d \mathbf{R}}{dt}=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{\ddot{R}}=0, \,\, \boldsymbol{\dot{\omega}}\approx 0 )]
가 성립하므로 [math(x\mathbf{'}_{i})]계 즉, 지구 표면에서 받는 힘은
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )]
가 된다.
여기서 지구가 회전하지 않을 때를 생각해보면, [math(m\mathbf{a_{f}})]는 중력과 임의의 다른 외력 [math(\mathbf{F_{ext}})]임을 쉽게 추측할 수 있다. 따라서
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=\mathbf{F_{ext}}+m\mathbf{g_{0}} )]
이고, 이것은 지구중심 방향으로 작용한다. 중력에 의한 가속도를 [math(\mathbf{g_{0}})]라 표현한 것은 이유가 있다. 지상에서 중력을 측정할 때, 비관성 항에서 원심력 항인 [math(- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right))]의 영향 때문에 물체가 받는 중력은 지구 중심을 향하지 않게 측정이 된다. 따라서 이 원심력 항까지 고려한 즉, 지상에서 측정되는 '유효 중력' 항 [math( \displaystyle m\mathbf{g})]을 다음과 같이 정의한다.
[math( \displaystyle m\mathbf{g} \equiv m\mathbf{g_{0}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) )]
이때 원심력은 극에서 최저고, 적도에서 최대가 되기 때문에 위도에 따라 '유효 중력' 값은 달라진다. 아래그림을 참고한다. 단, 원심력에 의한 효과는 이해를 위해 실제보다 꽤 과장돼있다.
따라서 지구 표면에서 받는 힘은 아래로 정리된다.
[math( \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=\mathbf{F_{ext}}+m\mathbf{g}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )]
이때, 마지막 항 [math(-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} )]은 계속해서 밝혔듯, 코리올리 힘이다.
아래는 점 [math( \textrm{P} )]가 북반구에 있을 때를 나타낸 것이다.
이때, 코리올리 힘 [math(-2m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}})]은 위와 같이 된다. 여기서 북반구에 있는 물체는 코리올리 힘을 운동 방향의 오른쪽으로 받는 것을 알 수 있으며, 북반구에서 물체는 이동 시 오른쪽으로 편향된다는 사실을 알 수 있다. 따라서 위 상황에서 물체는 위와 같은 경로로 편향되게 된다.
다만, 그림은 다소 과장되게 그려진 것이고, 연직방향에 대해서 코리올리 효과는 매우 작기 때문에 무시해도 된다.
남반구의 입장에서 각속도 벡터는 위 그림의 반대로 향하는 것으로 관측된다. 따라서 남반구에서 물체는 이동 방향의 왼쪽으로 편향되게 된다.
중요한 것은, 코리올리 힘은 물체가 회전계에 대해 운동을 해야 나타난다는 것에 주목할 필요가 있다. 즉, 회전계에 대해 정지한 물체에게 코리올리 효과는 나타나지 않는다.
자세한 것은 코리올리 힘 문서를 참조한다.
4.2. 푸코의 진자
4.3. 일반 상대성 이론
4.4. 관성 텐서
5. 관련 문서
[1]
가장 큰 예로 가속하는 버스의 손잡이가 버스의 가속 방향의 반대로 가 있는 것이다. 버스 안에 있는 사람 입장에선, 아무 힘도 받지 않았는데도 불구하고, 손잡이가 반대로 이동하므로 이것을 설명할 때, 비관성 항을 인위적으로 넣어 설명하는게 가장 합당하다.
[2]
관성의 법칙이 성립하지 못하고, [math(\mathbf{F}=m\mathbf{a})]가 어긋나며, 반작용이 존재하지 않는다.
[3]
엄연히 가속도 운동에서는 병진운동과 회전운동 모두 포함되나, 여기서는 회전계와의 구분을 위해 병진운동만을 지칭한다.
[4]
문제를 단순히하기 위해 관성계는 고정되어 있다고 가정한다.
[5]
회전계의 기저 벡터는 시간에 따라 변하므로 회전계를 기준으로 미분을 하게 되면, 이러한 기저 벡터의 시간 미분 항까지 포함해야 한다. 그렇게 되면 계산이 복잡해지므로 간단하게 고정계에 대해 미분한 뒤 회전계로 변환하는 게 더 쉽기 때문에 고정계에 대해 미분을 하는 것이다.
[6]
회전과 병진이 같이 이루어지므로 시간에 명백히 의존한다.
[7]
엄밀히 말하면 [math(x'_{i})]도 관성계는 아니다. 지구 중심 또한 태양을 공전하는 가속 운동을 하기 때문. 하지만 지구 공전에 의한 효과는 지구 자전에 의한 효과에 비하면 미미하므로 여기서는 무시하도록 한다.