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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
람베르트 [math(\bm W)] 함수(Lambert [math(\bm W)] function)는 특수함수의 하나로, 오메가 함수(omega function) 또는 곱 로그(product logarithm)[1]라고도 한다.함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 함수를 정의해 보자. (단, [math(x)]와 [math(y)]는 실수)
| [math(y = xe^x)] |
| [math(x = ye^y)] |
이 함수는 초등함수로 나타낼 수 없다.
게다가 [math(y = xe^x)]가 [math(x = -1)]에서 극솟값 및 최솟값 [math(-e^{-1})]을 나타내므로, 람베르트 [math(W)] 함수는 기본적으로 음함수이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 [math(y = -1)]을 기점으로 [math(W_{-1}(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, 0))]]와 [math(W_0(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉, [math(W(x))]로 이르는 것은 실제로는
| [math(\dfrac{W_{-1}(x)}{{\bf1}_{\R}(W_{-1}(x))} \cup \dfrac{W_0(x)}{{\bf1}_{\R}(W_0(x))})][4] |
아래는 람베르트 [math(W)] 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다.
한편, 방정식 [math(xe^x = 1)]의 실수해 [math(x=W_0(1))]를 오메가 상수라고 하며 [math(\Omega)]로 나타낸다. 값은 약 0.5671432904이다.
함수를 복소수로 확장할 수 있다. 복소수 [math(z)]와 [math(w)]에 대해 [math(we^w=z)]의 해는 [math(w=W_k(z))]이며, 이때 [math(k)]는 정수이다. [math(k)]가 [math(-1)], [math(0)]이 아닌 경우 무조건 복소수 값을 띤다. 심지어 [math(k)]가 [math(-1)], [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[5]를 벗어나면 복소수가 된다.
2. 미적분
이 함수의 미분은 [math(x = W(x)e^{W(x)})]를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면 다음과 같다.|
[math(\begin{aligned} 1 &= W'(x)e^{W(x)} +W(x)e^{W(x)} W'(x) \\ &= W'(x)e^{W(x)} + xW'(x) \\ &= W'(x){\left\{e^{W(x)} + x\right\}}\end{aligned}\\ \therefore W'(x) = \dfrac1{e^{W(x)} + x})] |
부정적분을 구할 때는 부분적분법을 이용하거나
|
[math(\begin{aligned} \int W(x){\rm\,d}x &= xW(x) -\int xW'(x){\rm\,d}x \\ &= xW(x) -\int W(x)e^{W(x)} W'(x){\rm\,d}x \\ &= xW(x) -\int W(x)e^{W(x)}{\rm\,d}W(x) \\ &= xW(x) -e^{W(x)} (W(x)-1) +C \\ &= x\{W(x)-1\} + e^{W(x)} + C \end{aligned} )] |
|
[math(\begin{aligned} {\rm d}x &= e^{W(x)}{\rm\,d}W(x) + W(x)e^{W(x)}{\rm\,d}W(x) \\ &= \{1+W(x)\}e^{W(x)}{\rm\,d}W(x) \end{aligned} )] |
|
[math(\begin{aligned} \int W(x){\rm\,d}x &= \int W(x)\{1+W(x)\}e^{W(x)}{\rm\,d}W(x) \\ &= \int{\left[W(x) + \{W(x)\}^2\right]}e^{W(x)}{\rm\,d}W(x)\\ &= e^{W(x)}{\left[W(x) + \{W(x)\}^2 -1 - 2W(x) + 2\right]} + C\\ &= \{W(x)\}^2e^{W(x)}-W(x)e^{W(x)} + e^{W(x)} + C\\ &= x\{W(x)-1\} + e^{W(x)} + C \end{aligned} )] |
3. 무한급수 표기
[math(W_0(x))]은 매클로린 전개를 이용하여 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있다. [math(\biggl()]단, [math(|x|<\cfrac1e\biggr))]|
[math(\begin{aligned} W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n \\ &= x -x^2 +\frac32 x^3 -\frac83 x^4 +\frac{125}{24} x^5 -\frac{54}5 x^6 +\frac{16807}{720} x^7 -\frac{16384}{315} x^8 +\cdots \end{aligned} )] |
|
{{{#!folding [증명1] [math(W_0(x))]가 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0 +a_1x +a_2x^2 +\cdots)]으로 표현된다고 가정하자. [math(W_0(0)=0)]임을 이용하면 [math(a_0=0)]이므로 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty a_nx^n)]이다. 한편, [math({W_0}'(0)=1)]임을 이용하면 [math(\displaystyle {W_0}'(x) = \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1})]에서 [math({W_0}'(0)=1=a_1)]임을 알 수 있다. 앞선 미적분 항목에서 [math(W_0(x)e^{W_0(x)} = x)]를 미분하는 과정에서 다음 미분 관계식을 얻을 수 있다. [math(\begin{aligned} 1 &= {W_0}'(x){\left\{e^{W_0(x)} + x\right\}} \\ W_0(x) &= {W_0}'(x){\left\{W_0(x)e^{W_0(x)} + xW(x)\right\}} \\ &= {W_0}'(x)\{x + xW_0(x)\} \\ \Rightarrow \frac{W_0(x)}x &= W_0(x){W_0}'(x) + {W_0}'(x) \\ \therefore \int\frac{W_0(x)}x{\rm\,d}x &= \frac12{W_0(x)}^2 + W_0(x) \\ \end{aligned} )] 이제 위 식에 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty a_nx^n)]을 대입해보자. 우선 좌변은 [math(\begin{aligned} \int\frac{W_0(x)}x{\rm\,d}x &= \int\sum_{n=1}^\infty a_nx^{n-1}{\rm\,d}x \\ &= \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}nx^n \end{aligned} )] 이고 우변에서 제곱 항은 [math(\begin{aligned} \frac12{W_0(x)}^2 &= \frac12\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}x^kx^{n-k} \\ &= \frac12\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}x^n \end{aligned} )] 로 나타낼 수 있는데 [math(n=1)]인 경우에도 공합, 즉 [math(\displaystyle\sum_{k=a}^b)]에서 [math(a>b)]이면 합의 값 자체가 0이 되어 [math(n=1)]부터 더해도 식에 영향을 주지 않으므로 [math(\begin{aligned} \frac12{W_0(x)}^2 &= \frac12\sum_{\color{red}n=1}^\infty\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}x^n \end{aligned} )] 로 써도 무방하다. 따라서 양변의 무한급수는 다음과 같이 정리된다. [math(\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}nx^n &= \sum_{n=1}^\infty\frac12\sum_{k=1}^{n-1} a_ka_{n-k}x^n + \sum_{n=1}^\infty a_nx^n \\ &= \sum_{n=1}^\infty{\left(\frac12\sum_{k=1}^{n-1} a_ka_{n-k} + a_n \right)}x^n \end{aligned} )] 양변의 [math(x^n)]의 계수를 비교하면 [math(a_n)]에 대한 점화식을 얻을 수 있다. [math(\begin{aligned} \frac{a_n}n &= \frac12\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k} + a_n \\ \frac{1-n}na_n &= \frac12\sum_{k=1}^{n-1} a_ka_{n-k} \\ \Rightarrow a_n &= \frac n{2(1-n)}\sum_{k=1}^{n-1} a_ka_{n-k} \quad (n\ge2) \end{aligned} )] [math(a_n)]의 값을 구하기 위해 [math(n=2)]부터 차례로 대입해보면 [math(\displaystyle \begin{aligned} a_2 &= -\sum_{k=1}^1 a_ka_{2-k} = -(a_1a_1) = -1 \\ a_3 &= -\frac34 \sum_{k=1}^2 a_ka_{3-k} = -\frac34 (a_1a_2 + a_2a_1) \\ &= -\frac32 (a_1a_2) = \frac32 \\ a_4 &= -\frac23 \sum_{k=1}^3 a_ka_{4-k} = -\frac23 (a_1a_3 + a_2a_2 + a_3a_1 ) \\ &= -\frac43 (a_1a_3) -\frac23 {a_2}^2 = -\frac43 \frac32 -\frac23 = -\frac83 \\ &\;\;\vdots \end{aligned})] 표로 정리해보면 |
[math(n)] | [math(2)] | [math(3)] | [math(4)] | [math(5)] | [math(6)] | [math(7)] | [math(8)] |
| [math(a_n)] | [math(-1)] | [math(\dfrac32)] | [math(-\dfrac83)] | [math(\dfrac{125}{24})] | [math(-\dfrac{54}5)] | [math(\dfrac{16807}{720})] | [math(-\dfrac{16384}{315})] | |
| 인수분해꼴 | [math(-1)] | [math(\dfrac32)] | [math(-\dfrac{2^3}3)] | [math(\dfrac{5^3}{4!})] | [math(-\dfrac{2\cdot3^3}5)] | [math(\dfrac{7^5}{6!})] | [math(-\dfrac{2^{14}}{3^2\cdot5\cdot7})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_n &= \frac n{2(1-n)} \sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k} \\
&= \frac n{2(1-n)} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-k)^{k-1}}{k!}{\cdot}\frac{(k-n)^{n-k-1}}{(n-k)!}{\cdot}\frac{n!}{n!} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}n}{2(n-1)(n!)} \sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k-1} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2(n-1)(n!)} \sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k}\frac n{n-k} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2(n-1)(n!)} \sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k}{\left(1 - \frac k{n-k}\right)} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2(n-1)(n!)} \sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{\left\{{k^{k-1}}(n-k)^{n-k} + k^k(n-k)^{n-k-1}\right\}} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2(n-1)(n!)}{\left\{\sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k} + \sum_{k=1}^{n-1}\binom nkk^k(n-k)^{n-k-1}\right\}} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{2(n-1)(n!)}{\left\{\sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k} + \sum_{k=1}^{n-1}\binom n{n-k}(n-k)^{n-k}k^{k-1}\right\}} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)(n!)}\sum_{k=1}^{n-1}\binom nk{k^{k-1}}(n-k)^{n-k}
\end{aligned} )]
합의 기호 부분은 아벨의 이항정리 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n\binom nk(bk)^{k-1}(c-bk)^{n-k} = nc^{n-1})]에서 [math(b=1)], [math(c=n)]이고 [math(k=n)]에 해당하는 항 [math((bn)^{n-1} = n^{n-1})]을 뺀 꼴임을 알 수 있다. 따라서
[math(\begin{aligned}
a_n &= \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)(n!)}\left\{n{\cdot}n^{n-1} - n^{n-1}\right\} \\
&= \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)(n!)}(n-1)n^{n-1} \\
&= \frac{(-n)^{n-1}}{n!}
\end{aligned} )]
따라서 [math(n\ge2)]에 대해 [math(a_n = \cfrac{(-n)^{n-1}}{n!})]은 주어진 점화식 [math(\displaystyle a_n = \frac n{2(1-n)}\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k})]의 해임을 알 수 있다. 또한 [math(a_n)]에 [math(n=1)]을 대입하면 [math(a_1=1)]이 나오므로, 위 일반항은 [math(n\ge1)]인 모든 [math(n)]에 대해 성립함을 알 수 있다. 따라서 [math(W_0(x))]의 매클로린 급수는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n
\end{aligned} )]
}}}||
|
|
수렴 반경을 구하기 위해, [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty a_n)]이라 하자. 비판정법에 따라 [math(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1)]이면 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nx^n)]은 절대수렴하고, 따라서 [math(\displaystyle W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n)]은 수렴한다.
|
[math(\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)^n x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n-1} x^n} \right| \\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)^n x}{n+1} \cdot \frac1{n^{n-1}} \right| \\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n-1}} \,x \,\right| = \lim_{n\to\infty} \left| \left( 1+\frac1n \right)^{\!n-1} x \,\right| \\ &= |ex| < 1 \\ \Rightarrow |x| &< \frac1e \approx 0.36788 \end{aligned} )] |
위 수렴 반지름 조건으로부터 [math(\cfrac1e<1)]이므로 [math(W(1) = Omega)]는 위 급수로 구할 수 없으며 [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!})]은 발산한다.
4. 함숫값
-
[math(W_0 \biggl( -\dfrac\pi2 \biggr) \!= \dfrac{i\pi}2 \approx 1.5707963268i)]
[math(W_{-1} \biggl( -\dfrac\pi2 \biggr) \!= -\dfrac{i\pi}2 \approx -1.5707963268i )] - [math(W_0 \biggl(-\dfrac1e \biggr) \!= W_{-1} \biggl(-\dfrac1e \biggr) \!= -1)]
-
[math(W_0 \biggl( -\dfrac{\ln a}a \biggr) \!= -\ln a \qquad)] (단, [math(0 < a \le e)])
[math(W_{-1} \biggl( -\dfrac{\ln a}a \biggr) \!= -\ln a \qquad)] (단, [math(a < 0)], [math(e \le a)]) - [math(W_0(0) = 0)]
- [math(W_0(1) = \Omega \approx 0.5671432904)]: 이 값을 오메가 상수라 한다.
- [math(W_0(e) = 1)]
- [math(W_0'(0) = 1)]
- [math(W_0'(1) = \dfrac\Omega{\Omega+1} \approx 0.3618962566)]
- [math(W_0'(e) = \dfrac1{2e} \approx 0.1839397206)]
5. 항등식
-
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{a^2}{(e^x-ax-b)^2+(a\pi)^2} \,{\rm d}x = \frac1{1+W(\frac1a \,e^{-b/a})} \qquad)] (단, [math(a)]와 [math(b)]는 실수이고 [math(a>0)])
증명은 여기(독일어)를 참고. 조금 더 엄밀한 증명은 여기(영어)를 참고하라. 단, 두 번째 링크에서는 [math(a=1)], [math(b=0)]인 경우만 다룬다. - [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x)^2+\pi^2} = \frac1{1+\Omega} \approx 0.6381037434 \qquad)] ([math(\Omega)]는 오메가 상수)
- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = \frac12 = 0.5)]
6. 활용
6.1. 방정식의 해 구하기 1
이 문단에서는 방정식 [math(x^x=a)]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.양변에 자연로그를 씌우면,
| [math(x\ln x = \ln a)] |
| [math(\ln x = W(\ln a))] |
| [math(x = e^{W(\ln a)})] |
- [검산]
- -----
위 결과를 본 방정식에 대입하면
가 되므로 답과 일치한다.[math(\begin{aligned}
x^x &= (e^{W(\ln a)})^{e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{W(\ln a)\,e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{\ln a} \\ &= a
\end{aligned} )]
6.1.1. 번외
방정식 [math(x^{x^{x+1}}=a)]의 해는 위의 형태를 응용하여 구할 수 있다.[math(x^{x^{x+1}}=x^{x\cdot x^x}=(x^x)^{x^x})]이므로 [math(x^x=t)]로 치환하면 [math(t^t=a)]가 되어 위에서 언급한 형태와 동일하다.
따라서 [math(t=x^x=e^{W(\ln a)} \Leftrightarrow x=e^{W\left(\ln e^{W(\ln a)}\right)}=e^{W(W(\ln a))})].
- [검산]
- -----
본 방정식에 대입하면
이므로[math(\begin{aligned}
x^{x+1} &= (e^{W(W(\ln a))})^{e^{W(W(\ln a))}+1} \\
&= e^{W(W(\ln a))e^{W(W(\ln a))}}\cdot e^{W(W(\ln a))} \\
&= e^{W(\ln a)}\cdot e^{W(W(\ln a))}
\end{aligned} )][math(\begin{aligned}
x^{x^{x+1}} &= (e^{W(W(\ln a))})^{e^{W(\ln a)}\cdot e^{W(W(\ln a))}} \\
&= e^{W(W(\ln a))e^{W(W(\ln a))}e^{W(\ln a)}} \\
&= e^{W(\ln a)e^{W(\ln a)}} \\ &= e^{\ln a} \\ &= a
\end{aligned} )]
6.2. 방정식의 해 구하기 2
이 문단에서는 [math(a^x = bx+c\, (b\neq0,a\neq0,1))]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자.[math(z = bx+c)]으로 놓으면,
[math(x = \dfrac{z-c}b)]
가 되고, 대입하면 [math(a^{{(z-c)}/b} = z)], 양 변에 [math(a^{ c/b})]를 곱하면
[math((a^{1/b})^z = a^{c/b}z )]
가 된다. 여기서 상수를 각각 [math(a^{1/b} \equiv p)], [math(a^{ c/b} \equiv q)]로 치환하자.
[math(t = p^z \to z = \log_pt)]로 놓으면,
[math(t = q\log_pt)]
가 되고 이 식을 변형하면
[math(p^{t/q} = t)]
가 된다. 이제 양변에 [math(-1/t)]제곱을 취하면
[math(p^{-1/q} = \left( \dfrac1t \right)^{1/t})]
이제 [math(1/t \equiv u)]로 치환해주면,
[math(u^u = p^{-1/q})]
로, 바로 윗 문단에서 푼 [math(x^x = a)] 꼴이다. [math(u)]에 대해 풀고 치환했던 문자들을 정리하면, [math(x)]에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math(x = - \left[ \dfrac1{\ln a}W\biggl(-\dfrac{a^{- c/b}\ln a}b \biggr)+\dfrac cb \right])] |
- [검산]
- -----
먼저 본 반정식의 좌변에 대입하면, [math(\dfrac{1}{\ln a} = \log_a e,\, e^{-W(x)} =\dfrac{W(x)}{x})] [math((x\neq0))]이므로
[math(\begin{aligned}a^x &= e^{-W(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b})}\,a^{-\frac{c}{b}}\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
우변에 대입하면
[math(\begin{aligned}bx+c &= b\left[-\dfrac{1}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)-\dfrac{c}{b}\right]+c\\&=-\dfrac{b}{\ln a}W\left(-\frac{a^{-c/b}\ln a}{b}\right)\end{aligned})]
이상에서 양변이 일치하므로 본 방정식의 해이다.
7. 관련 문서
[1]
정의가 로그함수([math(x = e^y)])와 유사하다.
[2]
예를 들어서 [math(x=e)]라고 한다면 [math(e=ye^y)]를 만족하는 [math(y)]의 값은 [math(y=1)]이므로 [math(y=W(e)=1)]이 된다.
[3]
[math(f(x)=xe^x)]라 하면, [math(f^{-1}(x)=W(x))]이고,
역함수의 정의에 의해 [math(f(f^{-1}(x))=f(W(x))=W(x)e^{W(x)}=x)]이기 때문이다.
[4]
[math({\bf1}_{\R})]은
실수 판별 함수이다. 실수이면 [math(1)], 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서
함숫값이 실수가 아닐 경우 정의역에서 제외된다.
[5]
[math(k=-1)]인 경우 [math(-e^{-1} \le z < 0)], [math(k=0)]인 경우 [math(z \ge -e^{-1})]
[6]
이때, [math(e^{W(\ln a)})]를 [math(a)]의 초제곱근(Super-root)이라고 한다.
[7]
선로의 형태가 정말로 이 함수의 그래프처럼 생겼다.