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1. 개요
效 用 函 數 / Utility function효용함수는 소비자이론에서 모든 선택을 모아 놓은 집합 [math(X)]에서 실수집합으로 가는 함수를 말한다. 경제학에서는 '효용'이란 소비자가 얻는 주관적 만족을 통칭하는 말인데, 효용함수는 어떤 소비자의 각 선택지에 대한 효용을 하나의 숫자를 대응시켜 그 크기에 따라 선호관계를 나타낸다. 다시 말해서 효용함수는 소비자의 선택과 그 선택으로 얻는 효용을 대응시키는 함수이다. 소비자의 선택은 각 재화의 소비량으로 나타나며, 이는 각기 다른 독립변수가 된다. 반면 이를 통해 얻는 최종적인 효용은 효용함수의 종속변수가 된다.
일반적으로 효용함수는 '효용'을 뜻하는 utility의 머리글자를 따서 [math(U(\cdot))] 또는 [math(u(\cdot))]로 표시한다. 예를 들어 [math(x)]를 선택했을 때 소비자가 얻는 효용은 [math(U(x))] 또는 [math(u(x))]로 표시한다.
2. 의미
효용함수는 소비자의 선호관계를 표시한다. 이때, 효용함수에서 더 큰 숫자가 부여된 선택지가 선호되는 선택이 된다. 곧, [math(U(x)>U(y))]이면 [math(x)]가 [math(y)]보다 효용을 더 많이 가져다주므로 선호되는 선택이 된다. 소비자 [math(\rm A)]의 다음 예를 보자.| [math((x_1,\,x_2))] | [math((5,5))] | [math((4,6))] | [math((3,\,7))] | [math((2,\,8))] | [math((1,\,9))] | [math((0,\,10))] |
| [math(U_{\rm A}=x_1x_2)] | [math(25)] | [math(24)] | [math(21)] | [math(16)] | [math(9)] | [math(0)] |
| [math(\rm A)]의 선호 | 1위 | 2위 | 3위 | 4위 | 5위 | 6위 |
위와 같이 [math(25>24>21>16>9>0)]이고 [math(\rm A)]의 선호가 이에 맞춰 1위, 2위, 3위, 4위, 5위, 6위로 나타난다고 하자. 이와 같이 효용함수가 선호관계와 동일한 순서를 부여하는 경우, '효용함수가 선호관계를 대표한다(represent)'고 한다. 곧, 다음을 만족시켜야 한다.
[math(x≳y\;⇔\;U(x)\geq U(y))]
한편, 효용함수가 먼저 주어지면 그 효용함수가 대표하는 선호관계를 찾는 일은 쉽다. 효용함수의 값을 일일이 구한 뒤 대소를 비교하기만 하면 되기 때문이다. 그러나 반대로 먼저 주어진 선호관계를 대표하는 효용함수를 찾는 일은 일반적으로 쉽지 않다. 사전편찬식 선호와 같이 일부 특수한 경우, 선호관계를 효용함수로 대표할 수 없을 수도 있다.
3. 기수적·서수적 효용함수
1, 2, 3, 10처럼 순서와 크기를 동시에 나타내는 수를 기수( 期 數, cardinal number)라고 하며, 첫째, 둘째, 셋째, 열째처럼 순서만을 나타내는 수를 서수( 序 數, ordinal number)라고 한다. 이에 따라, 함숫값을 기수로서 활용하는 효용함수를 기수적 효용함수(cardinal utility function)라고 하며, 서수로서 활용하는 효용함수를 서수적 효용함수(ordinal utility function)라고 한다.[math(U(x)=6,\,U(y)=2,\,U(z)=1)]일 때, [math(U)]가 기수적 효용함수이면 [math(x)]를 선택하면 [math(y)]를 선택할 때보다 효용이 3배 크다고 할 수 있으며, [math(y)]를 선택하면 [math(z)]를 선택할 때보다 효용이 2배 크다고 할 수 있다. 반면 [math(U)]가 서수적 효용함수이면 반드시 그렇다고 할 수 없다. 서수적 효용함수는 함숫값들의 순서, 곧 대소 관계로만 의미를 갖는 함수이기 때문이다. 따라서 [math(U(x)-U(y)=4)]이고 [math(U(y)-U(z)=1)]이라는 이유로 [math(x)]를 [math(y)]보다 꽤 많이 선호하는데 [math(y)]는 [math(z)]에 비해 그다지 크게 선호되지 않는다는 식으로 해석해서는 안 된다. 요컨대 서수적 효용함수는 '순서'만을 알려주기 때문에 어느 것을 더 좋아하는지는 알려줄 수 있어도, 얼마나 더 좋아하는지는 알려주지 못한다. 얼마나 더 좋아하는지까지 표시하고 싶다면 기수적 효용함수를 사용해야 한다.
나아가, 서수적 효용함수는 함숫값의 절대치를 전혀 고려하지 않으므로, [math(x)]를 선택할 때 효용함수의 함숫값 [math(U(x))]가 양이면 효용이 발생하는 것도 아니며, 0이면 효용도 불쾌감도 없는 것도 아니며, 음이면 불쾌감이 생겨나는 것도 아니다. 다만 기수적 효용함수의 경우는 절대치를 통해 이와 같이 해석할 수 있다. 그러나 서수적 효용함수의 경우 극단적으로는 [math(U(x)=-10000)]이라고 해도 실제 소비자의 주관으로는 굉장한 효용과 쾌락을 가져다줄 수 있는 것이다.
한편, 위 문단에서 살펴본 '효용함수가 선호관계를 대표한다'라는 표현의 정의에 따르면, 이 정의는 효용함수와 선호관계의 순서가 서로 동일한지에만 주목하므로 이러한 효용함수는 함숫값에서 서수적 성질만을 취하여 활용함을 확인할 수 있다. 이러한 정의를 사용하는 이유는, 소비자이론에서의 모든 결론은 서수적 효용함수만을 가지고도 충분히 도출해 낼 수 있기 때문이며, 기수적 효용함수와는 달리 크기를 고려하지 않고 순서만을 고려해도 된다는 점에서 효용함수를 도출하기가 보다 쉽기 때문이다. 요컨대, 어떤 것을 다른 것보다 얼마나 더 좋아하는지는 소비자의 선택에 아무런 영향을 미치지 못한다는 것이다. 단지 더 좋아하는 순서에 따라서 소비자의 선택이 결정된다는 맥락에 따라, 소비자이론에서는 일반적으로 서수적 효용함수를 활용한다.
3.1. 강단조증가변환
효용함수와 선호관계의 관계를 정확히 이해하기 위해서는 먼저 강단조증가변환의 개념을 알아야 한다.
강단조증가변환(
強
單
調
增
加
變
換, strictly positive monotone transformation)
|
일반적으로, 도함수가 항상 0보다 크면 원시함수는 강단조증가변환이며, 강단조증가변환의 개수는 무수히 많다. 예를 들어 대수함수 [math(f(x)=ax+b\;(a>0))]나 지수함수인 [math(f(x)=a^x\;(a>0))], [math(f(x)=\log_ax\;(a>1))] 등은 모두 강단조증가변환이다.
강단조증가변환인 함수는 [math(a)]와 [math(b)]의 순서가 [math(f(a))]와 [math(f(b))]의 순서와 동일하다. 곧, 절대적인 크기에 구애받지 않고 순서만을 고려하는 서수적 효용함수의 관점에서는 이 성질을 다음과 같이 활용할 수 있다.
강단조증가변환 [math(f(z))]와 효용함수 [math(U(x))]를 합성한 함수 [math(V(x)=f(U(x)))]를 생각하자. [math(f(z))]가 강단조증가변환이므로 그 성질에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}U(x)\geq U(y)&⇔f(U(x))\geq f(U(y))\\&⇔V(x)\geq V(y)\end{aligned})]
[math(f(z))]와 [math(V(x))]는 일반적으로 서로 다른 함수이므로 함숫값은 다르게 갖지만, 순서만큼은 완벽히 동일하게 결정한다. 다시 말해서, 효용함수 [math(U(x))]가 어떤 선호관계를 대표하면, 모든 강단조증가변환 [math(f(z))]에 대하여 [math(V(x)=f(U(x)))] 역시 동일한 선호관계를 대표한다. 곧, [math(U(x))]와 [math(V(x))]는 서수적 관점에서 동일한 효용함수이다. 나아가, 서수적 효용함수를 활용하는 소비자이론에서는, 강단조증가변환을 사용하면 무수히 많은 효용함수들이 동일한 선호관계를 대표할 수 있다는 점에서 효용함수는 선호관계의 본질이 아니다. 이를 이해하기 위해 위에서 살펴본 표를 다시 보자.
| [math((x_1,\,x_2))] | [math((5,5))] | [math((4,6))] | [math((3,\,7))] | [math((2,\,8))] | [math((1,\,9))] | [math((0,\,10))] |
| [math(U_{\rm A}=x_1x_2)] | [math(25)] | [math(24)] | [math(21)] | [math(16)] | [math(9)] | [math(0)] |
|
[math(f_1(z)=z-1)] [math(V_1(x)=f_1(U_{\rm A})=x_1x_2-1)] |
[math(24)] | [math(23)] | [math(20)] | [math(15)] | [math(8)] | [math(-1)] |
|
[math(f_2(z)=2^z)] [math(V_2(x)=f_2(U_{\rm A})=2^{x_1x_2})] |
[math(2^{25})] | [math(2^{24})] | [math(2^{21})] | [math(2^{16})] | [math(2^9)] | [math(2^0)] |
| [math(\rm A)]의 선호 | 1위 | 2위 | 3위 | 4위 | 5위 | 6위 |
[math(V_1(x))]는 강단조증가변환 [math(f_1(z)=z-1)]을, [math(V_2(x))]는 강단조증가변환 [math(f_2(z)=2^z)]을 거쳤다. 이렇게 도출된 세 효용함수 [math(U_{\rm A})], [math(V_1(x))], [math(V_2(x))]는 서로 동일한 순서를 부여하므로 소비자 [math(\rm A)]의 선호를 모두 훌륭하게 대표할 수 있다. 곧, 어느 한 효용함수만이 특정한 선호관계를 대표할 수 있도록 정해진 것이 아니다. 실제로, 소비자의 선택을 분석할 때는 서수적으로 동일한 기능을 하는 수많은 효용함수 중에서 어느 것을 사용해도 무방하다.
4. 무차별곡선
무차별한 선호관계에 있는 소비묶음의 집합을 나타내는 그래프를 무차별곡선( 無 差 別 曲 線, indifference curve)이라고 한다. 다시 말해서 효용이 같은 선택들을 하나의 곡선으로 이은 것이다. 예를 들어 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2)=x_1x_2)]에 대하여 효용이 [math(12)]인 선택을 모아놓은 무차별곡선은 관계식 [math(x_1x_2=12)]를 세워서 다음과 같이 그리면 된다.위 그림과 같이, [math((1.5,\,8))], [math((2,\,6))], [math((3,\,4))], [math((4,\,3))], [math((6,\,2))], [math((8,\,1.5))]는 모두 [math(12)]만큼의 효용을 가져다주는 소비묶음을 나타내는 점들로서, 모두 하나의 무차별곡선 [math(x_1x_2=12\;(x_1,\,x_2>0))] 위에 있다.
효용함수 그 자체로는 독립변수 사이에 아무런 관계가 성립하지 않는다. 함수란 본디 독립변수와 종속변수 사이의 관계를 나타내는 모델이기 때문이다. 그러나 효용함수의 종속변수인 효용을 고정하면 위의 예시 [math(x_1x_2=12)]처럼 독립변수 사이에 모종의 관계가 성립하게 된다. 이렇게 효용을 고정할 때 나타내는 독립변수 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이 무차별곡선이라고 할 수 있다. 다시 말해 무차별곡선은 효용함수의 등위선(level curve)이다.[1]
무차별곡선의 정의에 따라 다음과 같은 두 가지 성질이 나타난다.
- 효용수준이 다른 무차별곡선은 교차하지 않는다
- 특정 소비묶음을 지나는 무차별곡선은 항상 유일하게 존재한다
5. 한계효용
MU은(는) 여기로 연결됩니다.
IATA 코드가 MU인 항공사에 대한 내용은
중국동방항공 문서 참고하십시오.재화의 소비를 한 단위 변화시킬 때 발생하는 효용의 변화분을 한계효용( 限 界 效 用, marginal utility)이라고 한다. 이 한계효용은 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2))]와 같이 독립변수가 둘 이상인 경우 편미분을 사용하여 구한다. 곧, 세테리스 파리부스의 가정에 따라 여러 독립변수에서 다른 변수들은 고정해 놓고 특정한 한 변수에 대해 미분하여 그 변화분을 보는 것으로서, 한계효용은 효용함수의 편미분이다. 먼저 다음과 같이 표기할 수 있다.
[math(MU_1=\dfrac{\Delta U}{\Delta x_1}=\dfrac{u(x_1+\Delta x_1,\,x_2)-u(x_1,\,x_2)}{\Delta x_1})]
[math(MU_2=\dfrac{\Delta U}{\Delta x_2}=\dfrac{u(x_1,\,x_2+\Delta x_2)-u(x_1,\,x_2)}{\Delta x_2})]
[math(MU_2=\dfrac{\Delta U}{\Delta x_2}=\dfrac{u(x_1,\,x_2+\Delta x_2)-u(x_1,\,x_2)}{\Delta x_2})]
기호 [math(MU)]는 한계효용을 뜻하는 영단어 marginal utility의 머리글자를 딴 것이다. [math(MU_1)]은 재화1의 한계효용을, [math(MU_2)]는 재화2의 한계효용을 나타낸다. 한계효용이란 [math(x_1)] 또는 [math(x_2)]의 작은 변화 [math(\Delta x_1)] 또는 [math(\Delta x_2)]에 따른 총효용의 변화 [math(\Delta U)]를 측정하는 개념이다. 이는 다시 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\Delta U=MU_1\Delta x_1)]
[math(\Delta U=MU_2\Delta x_2)]
[math(\Delta U=MU_2\Delta x_2)]
여기에서, 한계효용의 크기는 순전히 효용의 크기에 의존한다는 사실을 잘 이해해야 한다. 가령 효용이 두 배가 되면 위 식에 따라 한계효용 역시 두 배가 된다. 또한, 위에서 강단조증가변환의 개념을 이해했다면, 효용과 한계효용이 두 배로 측정된다고 해서 해당 효용함수의 서수적 본질인 선호관계가 변하는 것은 아님도 이해할 것이다. 다만 그 측정되는 '규모'가 자의적으로 조정될 뿐이며, 앞서 밝혔듯이 이는 효용함수의 본질이 아니다. 이는 한계효용 그 자체로는 소비자의 행동을 설명하지 못함을 암시한다. 다시 말해서 소비자의 행동만을 보고 특정 한계효용의 절대적 규모를 필연적으로 정할 수는 없다는 뜻이다. 효용함수는 재화들 간의 선호되는 '정도'가 아닌 '순서'만을 알려주기 때문이다. 그러나 또 하나 기묘한 점은 이 한계효용의 개념을 통해서 한계효용과는 달리 소비자의 행동과 본질적으로 연계되는 개념을 도출할 수 있다는 사실인데, 그것은 아래 '한계대체율' 문단 전반에서 소개한다.
한편, 재화의 소비의 변화분을 한없이 작게 하면 다음과 같이 극한으로 표기되는데, 이는 각 재화의 소비량에 대한 효용함수의 편미분으로서 한계효용의 정의가 된다.
[math(\begin{aligned}MU_1(x_1,\,x_2)&=\displaystyle\lim_{\Delta x_1\to0}\dfrac{u(x_1+\Delta x_1,\,x_2)-u(x_1,\,x_2)}{\Delta x_1}\\&=\dfrac{\partial U(x_1,\,x_2)}{\partial x_1}\\MU_2(x_1,\,x_2)&=\displaystyle\lim_{\Delta x_2\to0}\dfrac{u(x_1,\,x_2+\Delta x_2)-u(x_1,\,x_2)}{\Delta x_2}\\&=\dfrac{\partial U(x_1,\,x_2)}{\partial x_2}\end{aligned})]
한계효용은 편미분으로 도출하므로, 위와 같이 효용함수의 모든 독립변수를 표시해 주어야 엄밀한 표기이다. 그러나 문맥에 따라 의미가 확실하면 간단하게 [math(MU_1)], [math(MU_2)]로 표기하기도 한다.
일반화하면 아래처럼 벡터 함수의 기울기(gradient)로 나타낼 수 있다.
[math(MU({\bold x})=\nabla U({\bold x}))][2]
수학적으로 한계효용을 제외한 나머지 효용함수는 크기 인자에 따라서 음수인지 양수인지 결정되나, 한계효용은 항상 양수로 나타난다. 자세한 건 다음 '단조성' 문단 참고.
5.1. 단조성
두 재화 가운데 한 재화라도 소비가 증가하면 전체 효용이 증가한다는 가정을 단조성( 單 調 性, monotonicity)이라고 한다. 이는 다다익선( 多 多 益 善, the more, the better)이라는 표현과도 일맥상통한다. 이를 수학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.|
[math(\color{red}(x_1,\,x_2)>(y_1,\,y_2)\;\rightarrow\;U(x_1,\,x_2)>U(y_1,\,y_2))] [math(\Leftrightarrow\color{blue} MU_1,\,MU_2>0)] |
|
[math(x_1\geq y_1,\,x_2\geq y_2)]이고 둘 중 적어도 하나는 강부등호이면 [math((x_1,\,x_2)>(y_1,\,y_2))] |
현실에서는 한계 효용 체감의 법칙에 따라, 한계효용이 갈수록 줄어들다가 나중에는 0이 되고, 심지어 음이 될 수도 있다. 그러나 합리적인 소비자는 본인에게 괴로움을 가져다줄 행위를 하지 않으므로 합리적인 선택은 반드시 한계효용이 0보다 큰 영역에서만 실행된다고 할 수 있다. 곧, 한계효용이 0보다 크지 않은 영역은 소비자이론의 주요 관심사가 아니다. 또한, 위에서 한계효용을 정의할 때 '재화(goods)'라는 표현을 사용했는데 '재화'라는 명칭 자체가 한계효용이 0보다 큼을 전제하는 것이기도 하다. 한계효용이 0보다 작아서 소비할수록 괴로움만 가져다주는 것은 따로 '비재화(bads)'라고 일컫는다.
이러한 단조성의 가정하에서는 다음 두 가지 사실이 성립한다.
- 무차별곡선은 우하향한다
- 무차별곡선은 원점에서 멀수록 효용수준이 높다
단조성의 가정이 충족되지 않으면 무차별곡선은 수평선 혹은 수직선이 되거나 우상향할 수도 있으며, 원점에 가까워질수록 효용수준이 높아지는 등 다양한 변화가 발생한다. 단조성의 가정이 널리 사용되는 것은 맞으나, 비재화(bads)를 도입하면 단조성이 깨져 무차별곡선의 양상이 실로 다양해진다. 실제로 단조성이 충족되지 않는 경제학 모형도 수없이 많다.
5.2. 한계효용체증·불변·체감
한계효용은 갈수록 증가할 수도 있고, 변하지 않을 수도 있고, 갈수록 감소할 수도 있다. 이를 각각 한계효용체증( 限 界 效 用 遞 增, increasing marginal utility), 한계효용불변( 限 界 效 用 不 變, constant marginal utility), 한계효용체감( 限 界 效 用 遞 減, diminishing marginal utility)이라고 한다. 예를 들어, 재화1과 재화2의 효용함수에 대하여 재화1의 한계효용의 그래프를 보면 재화1의 한계효용의 체증·불변·체감을 판단할 수 있다. 다음 그래프를 보자.[math(\rm (a))]처럼 접선의 기울기가 증가하는 경우가 한계효용체증이다. [math(\rm (b))]처럼 접선의 기울기가 일정하면 한계효용불변이며, 그래프는 직선으로 나타난다. [math(\rm (c))]처럼 접선의 기울기가 감소하는 경우가 한계효용체감이다. 접선의 기울기는 곧 도함수이므로, 접선의 기울기의 변화 양상은 이 도함수를 다시 미분한 이계도함수를 조사하여 알 수 있다. 곧, 각 재화의 한계효용의 체증·불변·체감은 효용함수의 이계도함수의 부호로 나타난다. 이를 수학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.
- 한계효용체증: [math(\dfrac{\partial^2U}{\partial x_i^2}=\dfrac{\partial MU_i}{\partial x_i}>0)]
- 한계효용불변: [math(\dfrac{\partial^2U}{\partial x_i^2}=\dfrac{\partial MU_i}{\partial x_i}=0)]
- 한계효용체감: [math(\dfrac{\partial^2U}{\partial x_i^2}=\dfrac{\partial MU_i}{\partial x_i}<0)]
6. 한계대체율
단조성의 가정하에서 무차별곡선은 우하향함을 알아 보았다. 그런데 우하향하는 곡선이라고 해서 다 같은 것이 아니다. 다음 그림을 보자.오른쪽으로 갈수록 [math(\rm(a))]는 접선의 기울기가 완만해지고, [math(\rm(b))]는 일정하며, [math(\rm(c))]는 급해진다. 따라서 [math(\rm(a))]는 원점을 향해 볼록하고, [math(\rm(b))]는 볼록하지도 오목하지도 않으며, [math(\rm(c))]는 원점을 향해 오목하다. 무차별곡선의 접선의 기울기의 절댓값을 한계대체율( 限 界 代 替 率, marginal rate of substitution; MRS)이라고 하는데, 이 표현에 따르면 [math(\rm(a))]는 한계대체율체감( 限 界 代 替 率 遞 減, diminishing marginal rate of substitution), [math(\rm(b))]는 한계대체율불변( 限 界 代 替 率 不 變, constant marginal rate of substitution), [math(\rm(c))]는 한계대체율체증( 限 界 代 替 率 遞 增, increasing marginal rate of substitution)이 된다.
따라서 한계대체율이 체감하면 무차별곡선은 원점에 대해 볼록하다. 이 때문에 한계대체율체감을 소비자가 볼록 선호(convex preference)를 갖는다고 표현하기도 한다. 또한, 이는 효용함수가 강준오목함수(strictly quasiconcave function)라는 뜻이기도 하다.
한계대체율의 정확한 정의는 다음과 같다.
한계대체율(
限
界
代
替
率, marginal rate of substitution; MRS)
|
단조성의 가정하에서 무차별곡선은 우하향하므로, 접선의 기울기는 항상 음일 수밖에 없다. 그러나 한계대체율의 정확한 정의에 따르면 한계대체율은 결국 '재화2의 양'으로서 양의 값이 되어야 한결 다루기 쉽다. 이 문제점을 보완하기 위해 무차별곡선의 접선의 기울기에 -1을 곱하거나 절댓값을 취하여 음수를 양수로 바꾸어 사용하는 것이다. 또한, 엄밀히 말하면 이 한계대체율은 '재화2로 표시한 재화1의 한계대체율'로, 보통은 무차별곡선을 그릴 때 재화1을 횡축에, 재화2를 종축에 두기 때문에 대부분 특별한 언급이 없는 한 이 정의를 기준으로 하여 한계대체율의 개념을 사용한다. 그래야 한계대체율을 무차별곡선의 접선의 기울기로 해석할 수 있기 때문이다. 참고로, '재화1로 표시한 재화2의 한계대체율'은 그의 역수가 된다. 재화1을 한 단위 얻기 위해 재화2 [math(k)]단위를 포기한다면, 재화2 한 단위당 재화1 [math(1/k)]단위를 포기하는 셈이 되기 때문이다.
한계대체율의 정의가 어떻게 무차별곡선의 접선의 기울기로 해석되는지 알아보자.
위 그림에는 소비묶음 [math((2,\,6))]을 지나는 두 소비자 [math(A)]와 [math(B)]의 무차별곡선이 나타나 있다. 두 소비자에게 재화1 두 개를 주겠으니 재화2 한 개를 달라는 제안을 한다고 하자. 이 제안을 받아들이면 소비묶음은 [math((2,\,6))]에서 [math((4,\,5))]로 변할 것이다. 따라서 두 소비자는 이 두 소비묶음의 효용을 비교하여 더 큰 쪽을 선택하게 된다. 무차별곡선 [math(\bar U_A)]는 점 [math((2,\,6))]과 [math((4,\,3.6))]을 지나므로, 소비자 [math(A)]에게는 이 두 소비묶음이 무차별하다. 그런데 단조성의 가정 때문에 [math(A)]는 [math((4,\,3.6))]보다 [math((4,\,5))]를 선호할 것이다. 마찬가지의 논리를 소비자 [math(B)]에게도 적용할 수 있다. 곧, 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}A:&\;(4,5)≻(4,\,3.6)\sim(2,\,6)\\B:&\;(4,5)≻(4,\,2)\sim(2,\,6)\end{aligned})]
따라서 [math(A)]와 [math(B)] 모두 [math((4,\,5))]를 [math((2,\,6))]보다 강선호하므로 이 제안을 받아들인다. 재화1 두 개를 주겠으니 재화2 두 개를 달라는 제안은 어떨까? 이 경우 [math((2,\,6))]과 [math((4,\,4))]를 비교하면 된다.
[math(\begin{aligned}A:&\;(4,4)≻(4,\,3.6)\sim(2,\,6)\\B:&\;(4,4)≻(4,\,2)\sim(2,\,6)\end{aligned})]
이번에도 [math(A)]와 [math(B)] 모두 [math((4,\,4))]를 [math((2,\,6))]보다 강선호하므로 이 제안을 받아들인다. 이런 식의 제안을 계속하다 보면, 두 소비자의 선택이 바뀌는 지점이 나타난다. 만약 [math(A)]에게 재화1 두 개를 주겠으니 재화2 2.4개를 달라고 하면 어떨까? 이 경우 [math(A)]는 [math((2,\,6))]과 [math((4,\,3.6))]을 비교하게 되는데, 이 두 점은 모두 무차별곡선 [math(\bar U_A)] 위에 있으므로 [math(A)]에게는 이 둘이 무차별하다. 따라서 이 제안을 받아들이나 마나 다를 것이 없다. 그런데 재화2를 2.4개보다 더 많이 요구한다면 [math(A)]는 단조성의 가정에 따라 제안을 거절하여 [math((2,\,6))]을 고수하는 편을 선호할 것이다. [math(B)]도 마찬가지의 논리를 적용하면, 재화1 두 개를 주겠으니 재화2 네 개를 달라고 하면 [math(B)]로서는 이 제안을 받아들이나 마나 다를 것이 없다. 그런데 재화2를 네 개보다 더 많이 요구한다면 [math(B)]도 제안을 거절할 것이다.
이와 같이 논리를 전개하면, 재화1 두 개를 얻기 위해 포기할 수 있는 재화2의 최대한의 양은 [math(A)]는 2.4개, [math(B)]는 4개가 된다. 이를 재화1 한 단위로 환산하면, [math(A)]는 재화1 한 개당 재화2를 1.2개를, [math(B)]는 2개를 포기할 수 있는 셈이다. 이 1.2 그리고 2라는 수치는 어디에서 나왔는가? 바로 위 그림에 나타난 두 소비묶음을 이은 직선의 기울기로 해석할 수 있는 것이다. 다음 식에서 분자를 분모로 나누는 계산은 바로 앞에서 설명한, 재화1 '한 단위'당 포기할 수 있는 양을 환산하는 과정과 같다. 이때, 무차별곡선이 우하향하는 관계로 직선의 기울기는 항상 음이기 때문에 앞서 밝혔듯이 절댓값을 취하게 된다.
[math(\begin{aligned}A:&\;\left|\dfrac{3.6-6}{4-2}\right|=\left|\dfrac{-2.4}2\right|=1.2\\B:&\;\left|\dfrac{2-6}{4-2}\right|=\left|\dfrac{-4}2\right|=2\end{aligned})]
이제 거래의 단위를 한 개보다 한없이 작게 하여 해석해 보자.
위 그림에서 소비자 [math(A)]의 무차별곡선만을 따와 그렸다. 여기에서 [math(A)]에게는 [math((2,\,6))]과 [math((2+h,\,6-k))]가 무차별하다. 따라서 앞서 전개한 논리에 따라 [math(A)]는 재화1 [math(h)]단위를 얻기 위해 재화2를 최대 [math(k)]단위 포기할 용의가 있다. 이를 재화1 한 단위로 환산하면, 재화1 한 단위를 얻기 위해 재화2를 최대 [math(k/h)]단위 포기할 용의가 있다고 할 수 있다. 이때, [math(h)]가 0으로 수렴하면 [math(k/h)]는 [math((2,\,6))]에서의 무차별곡선의 접선의 기울기와 같다. 이는 할선의 극한으로 유도하는 접선의 정의와 일맥상통한다.
따라서 무차별곡선상의 한 점에서의 접선의 기울기는, 동일한 효용을 유지할 때 재화1 한 단위를 더 얻기 위해 포기할 용의가 있는 최대한의 재화2의 양을 의미하며, 재화1 한 단위의 한계편익을 재화2의 양으로 표시한 것이기도 하다. 곧, 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(M\!RS=\left|\dfrac{{\rm d}x_2}{{\rm d}x_1}\right|)]
나아가, 재화1 한 단위와 재화2를 교환할 때 재화2 몇 단위를 포기할 것인지는 일반적으로 소비자의 성향에 따라 천차만별일 것이다. 이러한 의미에서 한계대체율을 주관적 교환비율( 主 觀 的 交 換 比 率, subjective exchange ratio)이라고도 한다. 예산선에서 나타나는 상대가격을 객관적 교환비율이라고 하는 것과 함께 기억하는 편이 좋다. 예산선 문서 참고.
6.1. 한계대체율체감의 가정
과거의 소비자이론에서는 흔히 한계효용체감을 가정했었으나, 서수적 효용함수만을 이용하는 상황에서 한계효용의 절대치는 중요하지 않다는 이유로 이러한 가정은 사라졌다. 그래서 현재는 한계효용체감 대신 다음의 한계대체율체감의 가정을 사용한다.
한계대체율체감의 가정(assumption of diminishing marginal rate of substitution)
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한계대체율이 체감한다고 전제하기 위해 흔히 제시되는 직관적인 이유는 다음과 같다. 이 논리에서 주요하게 사용되는 설득력 높은 전제는 '사람들은 자신이 많이 가진 재화보다는 적게 가진 재화를 얻기 위해 다른 재화를 포기하려고 한다'는 것이다.
[math((1,\,10))]과 [math((10,\,1))]이 동일한 무차별곡선상에 있다고 하자. 이 둘을 비교해 보면, [math((1,\,10))]에서 재화1을 재화2보다 덜 갖고 있다. 다시 말하면, 재화1이 재화2보다 '귀하다'. 반면에 [math((10,\,1))]에서는 재화2를 재화1보다 덜 갖고 있으므로 재화2가 더 '귀하다'. 사람들은 더 귀한 재화를 얻기 위해 다른 재화를 기꺼이 포기하는 경향이 있다고 했다. 따라서 [math((1,\,10))]에서는 재화1이 귀하므로 재화1을 얻기 위해 다른 재화를 많이 포기한다. 따라서 재화1의 한계대체율이 클 것이다. 반면 [math((10,\,1))]에서는 재화1이 그다지 귀하지 않아서 재화1을 얻고자 하는 경향이 현저히 떨어진다. 따라서 재화1의 한계대체율이 크지 않을 것이다. 이와 같은 논리로, 갖고 있는 재화1의 양이 많아질수록 재화1을 얻고자 하는 경향이 떨어진다. 다시 말해서, 한계대체율은 체감한다.[4]
예산선과 무차별곡선을 참조하여 소비자의 최적 선택이 변화하는 양상을 고찰할 수도 있는데, 이를 효용극대화 문제라고 하며 이와 같은 방식으로도 한계대체율체감을 가정하는 편이 합리적임을 논증할 수 있다. 효용극대화 문제의 5.1 문단 참고.
6.2. 한계효용과 한계대체율의 관계
두 재화에 대한 한계대체율은 다음과 같이 각 재화에 대한 한계효용들의 비율과 같다.[math(MRS(x_1,\,x_2)=\dfrac{MU_1(x_1,\,x_2)}{MU_2(x_1,\,x_2)})]
이는 재화2로 표시한 재화1의 한계대체율이고, 재화1로 표시한 재화2의 한계대체율은 그의 역수라는 것을 위 문단에서 밝혔다. 곧 다음이 성립한다.
[math(MRS(x_1,\,x_2)=\dfrac{MU_2(x_1,\,x_2)}{MU_1(x_1,\,x_2)})]
한계대체율 역시 한계효용처럼 두 재화의 소비량에 의존하므로 각 독립변수를 모두 밝혀 표기하는 것이 정확하다. 그러나 문맥에 따라 의미가 확실하면 간단하게 [math(MRS=MU_1/MU_2)]로 표기하기도 한다. 이제 한계대체율을 두 한계효용의 비율로 계산할 수 있는 이유를 알아보자.
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소비묶음 [math((5,\,5))]에 대하여 [math(U(5,\,5)=10)], [math(MU_1=2)], [math(MU_2=1)]이라 하자. [math(MU_1=2)]라는 것은, 재화1의 소비를 한 단위 늘릴 때 효용이 2 증가한다는 뜻이므로, [math(U(6,\,5)=12)]이다. 효용을 원래대로 10으로 줄이기 위해 이번에는 재화2의 소비를 변화시켜 보자. [math(MU_2=1)]이라는 것은, 재화2의 소비를 한 단위 줄일 때 효용이 1 감소한다는 뜻이므로, 효용을 2 줄이기 위해서는 재화2의 소비를 두 단위 줄여야 한다. 곧, [math(U(6,\,3)=10)]이다. 따라서 [math(U(5,\,5)=U(6,\,3)=10)]으로서, 재화1 한 단위를 얻기 위해 포기할 수 있는 최대한의 재화2의 양은 2가 된다. 이것은 곧 한계대체율의 정의와 같으므로 한계대체율은 2인데, [math((5,\,5))]에서의 한계대체율은 [math(MU_1/MU_2=2/1=2)]인 것으로 해석할 수 있다. |
더욱 수리적으로는, 다음과 같이 분석할 수 있다.
효용함수 [math(u=U(x_1,\,x_2))]를 전미분하면 다음과 같다. 이때, 한계대체율의 정의상 '동일한 효용'을 유지해야 하므로 총효용의 변화분인 [math({\rm d}u)]는 0이 된다.
[math({\rm d}u=\dfrac{\partial U(x_1,\,x_2)}{\partial x_1}{\rm d}x_1+\dfrac{\partial U(x_1,\,x_2)}{\partial x_2}{\rm d}x_2=0)]
이 전미분의 첫째 항은 [math(x_1)]의 변화에 따른, 둘째 항은 [math(x_2)]의 변화에 따른 총효용 [math(u)]의 변화분을 나타내며, 이 둘의 합이 0이 되어 동일한 효용이 유지되는 것이다.
이를 [math({\rm d}x_2/{\rm d}x_1)]에 대하여 정리하면 다름 아닌 다음 식이 나온다.
[math(\dfrac{{\rm d}x_2}{{\rm d}x_1}=-\dfrac{\partial u(x_1,\,x_2)/\partial x_1}{\partial u(x_1,\,x_2)/\partial x_2})]
한계대체율의 정의에 따라 절댓값을 취하면 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}MRS=\left|\dfrac{{\rm d}x_2}{{\rm d}x_1}\right|=\left|-\dfrac{\partial u(x_1,\,x_2)/\partial x_1}{\partial u(x_1,\,x_2)/\partial x_2}\right|&=\left|\dfrac{MU_1}{MU_2}\right|\\&=\dfrac{MU_1}{MU_2}\end{aligned})]
단조성의 가정에 따라 모든 재화의 한계효용은 양이므로 마지막에 절댓값을 제거할 수 있는 것이다.
재화의 개수가 셋 이상인 경우로 일반화하면 한계대체율은 다음과 같이 계산된다. 재화의 개수가 아무리 많더라도 한계대체율은 두 재화 간의 교환비율임을 유념하자. 즉 두 재화 이외의 재화는 수량을 고정시킨 채 한계대체율을 계산하는 것이다.
[math(MRS(x_i,\,x_j)=\dfrac{MU_i}{MU_j}\;(i\neq j))]
한계대체율은 이와 같이 두 개의 한계효용의 몫으로 표현되기 때문에 일반화는 한계효용보다 훨씬 복잡한데, 역수[5]과 항등원[6]도 고려해야 해서 주대각성분이 1인 행렬 꼴로 표현해야 한다. 이 행렬의 전치행렬은 각 성분에 대해서 원 행렬의 역수가 된다.
[math(\displaystyle MRS = \begin{bmatrix} 1 & MU_1/MU_2 & \cdots & MU_1/MU_n \\ MU_2/MU_1 & 1 & \cdots & MU_2/MU_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ MU_n/MU_1 & MU_n/MU_2 & \cdots & 1 \end{bmatrix})]
6.3. 강단조증가변환과 한계대체율
한 가지 중요한 점은, 강단조증가변환은 한계대체율에 아무런 영향을 주지 않는다는 사실이다. 다시 말해서, 서수적으로 동일한 효용함수끼리는 모두 한계대체율이 같다. 위 문단에서 한계효용은 그 자체로 소비자의 행동을 설명하지 못한다고 했는데, 그런 한계효용에서 도출된 한계대체율의 개념은 그와 다르게 소비자의 행동을 본질적으로 설명한다는 점이 일견 기묘하게 느껴질 것이다. 강단조증가변환을 시행하면 일반적으로 각 한계효용도 모두 변하게 되는데, 그 가운데에서도 한계대체율은 절대 변하지 않는다는 사실 역시 이를 방증한다. 이를 수학적으로 증명하여 보자.합성함수의 미분법( 연쇄 법칙)을 사용한다. [math(f'(z)>0)]인 함수 [math(f(z))]가 강단조증가변환이면, 임의의 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2))]와 이에 강단조증가변환을 적용한 [math(V(x_1,\,x_2)=f(U(x_1,\,x_2)))]는 서수적으로 동일한 효용함수이다. [math(U)]의 한계효용을 [math(MU_1)] 및 [math(MU_2)]로, [math(V)]의 한계효용을 [math(MV_1)] 및 [math(MV_2)]로 표기하면 다음이 성립한다.
[math(MV_1(x_1,\,x_2)=f'(U(x_1,\,x_2))MU_1(x_1,\,x_2)\\MV_2(x_1,\,x_2)=f'(U(x_1,\,x_2))MU_2(x_1,\,x_2))]
따라서 다음과 같이 [math(f'(U(x_1,\,x_2)))]가 약분되므로 서수적으로 동일한 효용함수의 한계대체율은 동일하다.
[math(\dfrac{MV_1(x_1,\,x_2)}{MV_2(x_1,\,x_2)}=\dfrac{f'(U(x_1,\,x_2))MU_1(x_1,\,x_2)}{f'(U(x_1,\,x_2))MU_2(x_1,\,x_2)}=\dfrac{MU_1(x_1,\,x_2)}{MU_2(x_1,\,x_2)})]
6.4. 오개념: 한계효용체감과 한계대체율체감
한계효용과 한계대체율에는 모두 '한계'라는 말이 포함되어 있고, 한계대체율이 한계효용의 비율로 계산되기 때문에 한계효용체감과 한계대체율체감 사이에도 모종의 관계가 있을 것으로 짐작하기 쉬우나 그렇지 않다. 직감과는 달리, 한계효용체감과 한계대체율체감 사이에는 아무런 관계도 성립하지 않는다. 다음과 같이 한계효용이 체감하더라도 한계대체율은 체감하지 않을 수 있으며, 한계대체율이 체감하더라도 한계효용이 체감하지 않을 수 있다.- [math(U(x_1,\,x_2)=x_1^2x_2^2)]: 한계효용체증, 한계대체율체감
- [math(MU_1=2x_1x_2^2,\,MU_2=x_1^22x_2)]이고 [math(\dfrac{\partial MU_1}{\partial x_1}=2x_2^2>0,\,\dfrac{\partial MU_2}{\partial x_1}=2x_1^2>0)]이므로 한계효용체증
- [math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{2x_1x_2^2}{x_1^22x_2}=\dfrac{x_2}{x_1})]이므로 한계대체율체감
- [math(U(x_1,\,x_2)=\ln(x_1+x_2))]: 한계효용체감, 한계대체율불변
- [math(MU_1=MU_2=\dfrac1{x_1+x_2})]이고 [math(\dfrac{\partial MU_1}{\partial x_1}=\dfrac{\partial MU_2}{\partial x_2}=-\dfrac1{(x_1+x_2)^2}<0)]이므로 한계효용체감
- [math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=1)]이므로 한계대체율불변
그런데 보통 다음과 같은 논리를 통해 오개념이 생기곤 한다.
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한계효용체감이 한계대체율체감의 충분조건이 되는 특수한 경우가 있는데, 이는 효용함수의 교차편도함수가 [math(0)]이어서 각 재화의 한계효용이 다른 재화의 수량의 영향을 받지 않는 경우뿐이다. 이 경우 위 논리처럼 여러 재화의 수량을 동시에 변화시키더라도 한 재화의 수량만을 변화시키는 것과 아무런 차이가 없게 되므로 논리적 오류가 발생하지 않는다. 이때는 같은 논법으로 한계효용불변이 한계대체율불변의, 한계효용체증이 한계대체율체증의 충분조건이라는 사실도 쉽게 유도할 수 있다. [math(u(x_1,\,x_2)=f(x_1)+g(x_2))]와 같은 형태의 효용함수가 대표적인 예로, 기대효용이론에서 중대하게 활용된다.
7. 여러 가지 효용함수
7.1. 동조적 효용함수
한계대체율이 두 재화의 소비비율에만 의존하는 효용함수를 동조적 효용함수( 同 調 的 效 用 函 數, homothetic utility function)라고 한다. 일반적으로 소비묶음 [math((1,\,2))], [math((2,\,4))], [math((3,\,6))]에서의 한계대체율이 같아야 할 이유는 아예 없다. 그런데 이 소비묶음들은 하나같이 [math(x_2/x_1=2)]라는 관계에 있다. 이렇게 두 재화의 소비비율이 같을 때 한계대체율도 같은 특수한 경우를 동조적 효용함수라고 하는 것이다. 다시 말해서, 원점을 지나는 직선 [math(x_2=kx_1)] 위에 있는 모든 소비묶음에서 동조적 효용함수의 한계대체율은 동일하다고도 할 수 있다. 다음은 동조적 효용함수의 예이다.|
[math(U(x_1,\,x_2)=x_1x_2)]가 동조적 효용함수임을 증명해 보자. [math(MU_1=x_2,\,MU_2=x_1)]이므로 [math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{x_2}{x_1})]이다. 한계대체율이 두 재화 [math(x_1)]과 [math(x_2)]의 비율에만 의존하므로 [math(U)]는 동조적 효용함수이다. |
콥-더글러스 효용함수, 완전대체재의 효용함수 등은 대표적인 동조적 효용함수이며, 완전보완재의 효용함수는 완벽한 동조적 효용함수는 아니지만 넓은 의미에서 동조적 효용함수로 간주한다. 반면, 준선형 효용함수 등은 동조적 효용함수가 아니다.
7.2. 완전보완재의 효용함수
보완재란 실과 바늘처럼 서로가 밀접하게 연관되어 항상 짝을 이루듯이 소비되는 재화라고 할 수 있는데, 그중에서도 완전보완재라는 개념을 생각할 수 있다. 소비자가 두 재화를 완전히 일정한 비율로만 소비하면, 그 소비자에게 두 재화는 완전보완재( 完 全 補 完 財, perfect complements)가 되는 것이다. 완전 보완재의 경우, 두 재화를 소비할 때 얻는 효용은 양이 부족한 재화에 의해 제약을 받는다. 다시 말해서, 한 재화의 양이 아무리 많아도 다른 재화의 양이 부족하다면 그만큼 효용은 늘어나지 못한다는 것이다. 왼쪽 신발과 오른쪽 신발이 대표적인 예이다. 신발은 짝이 맞아야 비로소 신고 다닐 수 있기 때문에, 왼쪽 신발이 10개밖에 없을 때 오른쪽 신발을 한 개씩 산다고 하면 10개까지는 효용이 늘어나지만 그 뒤로는 오른쪽 신발을 100개, 200개씩 계속 사 봐야 효용은 늘어나지 못한다는 것이다.이에 따라 완전 보완재의 효용함수는 두 숫자 가운데 크지 않은 수를 나타내는 [math(\min)] 기호로 나타낼 수 있다. 곧, [math(a\leq b)]이면 [math(\min\{a,\,b\}=a)]이다. 예를 들어 왼쪽 신발([math(x_1)])과 오른쪽 신발([math(x_2)])을 [math(1:1)]의 비율로 소비하는 소비자의 효용함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(U(x_1,\,x_2)=\min\{x_1,\,x_2\})]
[math(x_1\geq x_2)]이면 왼쪽 신발이 오른쪽 신발보다 개수가 적지 않으며, 짝을 이루지 못해 남게 된 [math((x_1-x_2))]개의 왼쪽 신발은 효용을 증가시키지 못한다. 반대로 [math(x_1\leq x_2)]이면 [math((x_2-x_1))]개의 오른쪽 신발은 효용을 증가시키지 못한다.
[math(U(x_1,\,x_2)=\min\{x_1,\,x_2\})]의 무차별곡선을 그려 보자. 효용이 1인 무차별곡선은 [math(\min\{x_1,\,x_2\}=1)]이며, 이를 분석하면 다음과 같다.
[math(\begin{cases}x_2&\quad(x_1\geq x_2)\\x_1&\quad(x_1\leq x_2)\end{cases})]
로부터, [math(x_1=1)]이거나 [math(x_2=1)]이어야 효용이 1이 될 수 있다.
[math(\min\{x_1,\,x_2\}=\begin{cases}1&\quad(x_1\geq1=x_2)\\1&\quad(x_2\geq1=x_1)\end{cases})]
곧, 효용이 1이 되려면 [math(x_1)]과 [math(x_2)] 중 적어도 하나가 1이어야 하며, 나머지 하나는 1 이상이어야 한다는 것이다. 이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.
곧, 완전보완재의 무차별곡선은 직각으로 꺾이는 L자 모양이다. 마찬가지 방식으로 효용이 다른 무차별곡선도 다음과 같이 그릴 수 있다.
이 경우 효용이 [math(\bar U)]인 무차별곡선은 점 [math((\bar U,\,\bar U))]를 지나며, 이 점에서 직각으로 꺾인다. 직각으로 꺾이는 점들은 모두 직선 [math(x_2=x_1)] 위에 있으며, 이를 다시 쓰면 [math(x_2/x_1=1)]로서 다름 아닌 두 재화의 소비비율이 된다.
한편, 무차별곡선이 L자 모양이므로, 직각으로 꺾이기 전에는 접선의 기울기가 발산하므로 한계대체율은 [math(\infty)]이며 직각으로 꺾인 후에는 접선의 기울기가 0이므로 한계대체율도 0이다. 직각으로 꺾이는 점에서는 미분가능하지 않으므로 한계대체율이 정의되지 않는다.
이를 일반화하여, 완전보완재의 효용함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(U(x_1,\,x_2)=\min\{ax_1,\,bx_2\}\;(a,\,b>0))]
이 역시 무차별곡선은 L자 모양인데, 꺾이는 점은 직선 [math(ax_1=bx_2)] 위에 있게 되며 이 점에서는 한계대체율이 정의되지 않는다. 또한 이를 다시 풀면
[math(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{a}{b})]
이고 이 [math(\dfrac{a}{b})] 역시 두 재화의 소비비율을 뜻한다. 다음 그림을 참고하자.
완전보완재의 무차별곡선은 이와 같이 직선 [math(bx_2=ax_1)]을 따라서 일련의 L자 형태를 띠므로 [math(x_2/x_1)]의 값만 일정하다면 한계대체율 역시 일정하다고 할 수 있다. 그래서 '넓은 의미에서' 완전보완재의 효용함수를 동조적 효용함수로 취급한다.
7.3. 완전대체재의 효용함수
소고기와 돼지고기처럼 두 재화의 기능이 매우 유사하여 소비자들이 두 재화 중 하나를 선택하여 소비하는 경향이 있을 때, 두 재화를 대체재라고 한다. 따라서 대체재는 경쟁 관계에 있다고도 할 수 있는데, 이 경향이 극도로 강해지면 소비자에게 두 재화가 이름이나 형태가 다를 뿐 실질적인 기능이 동일하게 느껴져 무엇을 선택하여도 차이가 없게 된다. 1000원짜리 지폐 한 장과 500원짜리 동전 두 개가 그 예이다. 겉으로는 이름이 다르고 형태가 다르지만, 실질적으로는 완전히 같은 기능을 하므로 소비자는 무엇을 선택하여도 효용에 변화가 없다. 이 경우 두 재화의 소비량의 총합만이 중요하지, 두 재화의 구체적인 조합이 어떤지는 아무런 상관이 없다. 이런 두 재화를 완전대체재( 完 全 代 替 財, perfect substitutes)라고 한다.이러한 특성을 반영하여, 완전대체재의 효용함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(U(x_1,\,x_2)=ax_1+bx_2\;(a,\,b>0))]
그러면 한계효용과 한계대체율은 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(MU_1=a,\,MU_2=b)]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{a}b)]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{a}b)]
[math(a)]와 [math(b)]가 상수이므로 한계대체율 또한 상수가 되어 일정하다. [math(a)]와 [math(b)]는 두 재화의 소비량인 만큼 한계대체율은 두 재화의 소비비율에 의존하는 셈이며, 완전대체재의 효용함수는 동조적 효용함수이다.
일반적으로, 무차별곡선의 접선의 기울기는 접점에 따라 달라지므로 어떤 소비묶음을 선택하느냐에 따라 한계대체율은 천차만별이다. 그런데 두 재화 사이의 한계대체율이 소비묶음과 무관하게 일정한 경우가 바로 완전대체재이다. 위에서 예를 든 1000원짜리 지폐([math(x_1)]) 한 장과 500원짜리 동전([math(x_2)]) 두 개를 보자. 소비자는 항상 지폐 한 장과 동전 두 개를 교환하려 할 것이다. 따라서 한계대체율은 항상 2이고, 효용함수는 [math(U(x_1,\,x_2)=2x_1+x_2)]로 쓸 수 있다.
효용함수 [math(U(x_1,\,x_2)=ax_1+bx_2\;(a,\,b>0))]의 무차별곡선을 그려 보자. 앞서 밝혔듯이 한계대체율이 [math(a/b)]로 일정하므로 완전대체재의 무차별곡선은 직선이다. 다음 그림을 참고하자.
7.4. 준선형 효용함수
[math(\begin{aligned}U(x_1,\,x_2)&=ax_1+g(x_2)\;(a>0)\\\textsf{or}\\U(x_1,\,x_2)&=g(x_1)+ax_2\;(a>0)\end{aligned})]
의 형태인 효용함수를 준선형 효용함수( 準 線 形 效 用 函 數, quasi-linear utility function)라고 한다. 한마디로 선형함수에 준하는 함수식과 특징을 갖는다는 뜻이다.
전자는 [math(x_1)]에 대해서는 선형이지만 [math(x_2)]에 대해서는 일반적으로 선형이 아니다. 그래서 이를 두고 '재화1에 대해서 준선형'이라고 한다. 후자는 그 반대이므로 '재화2에 대해서 준선형'이라고 한다. 이와 같이 준선형 효용함수는 한 독립 변수에 대해서만 선형이다.[7]
이제 준선형 효용함수의 한계효용과 한계대체율을 알아보자. 먼저 재화1에 대한 준선형 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2)=ax_1+g(x_2))]의 한계효용과 한계대체율을 계산하면 다음과 같다.
[math(MU_1=a,\,MU_2=g'(x_2))]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{a}{g'(x_2)})]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{a}{g'(x_2)})]
[math(a)]는 상수이므로, 한계대체율이 체감하려면 무차별곡선을 따라 [math(x_1)]이 증가하고 [math(x_2)]가 감소하는 방향으로 이행할 때 [math(g'(x_2))]는 증가해야 한다. 다시 말하면 [math(x_2)]가 감소할수록 [math(g'(x_2))]가 증가해야 한다. 결국 [math(g'(x_2))]는 감소해야 한다. 다시 말해서 재화2의 한계효용이 체감하면([math(g''(x_2)<0)]) 한계대체율은 체감한다.
[math(MRS)]가 [math(x_2)]에 관한 식이므로, 재화1에 대한 준선형 효용함수는 한계대체율이 [math(x_2)]에만 의존한다. 따라서 재화2의 소비가 동일하면 재화1의 소비에는 관계없이 한계대체율이 동일하다.
이번에는 재화1에 대한 준선형 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2)=g(x_1)+ax_2)]를 살펴 보자.
[math(MU_1=g'(x_1),\,MU_2=a)]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{g'(x_1)}a)]
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{g'(x_1)}a)]
먼저, 단조성의 가정을 만족시키기 위해서 [math(g'(x_1)>0)]을 가정해야 한다. 위의 경우와 마찬가지로, 무차별곡선을 따라 [math(x_1)]이 증가하고 [math(x_2)]가 감소하는 방향으로 이행할 때, 재화1의 한계효용이 체감하면([math(g''(x_1)<0)]) 한계대체율은 체감한다.
[math(MRS)]가 [math(x_1)]에 관한 식이므로, 재화2에 대한 준선형 효용함수는 한계대체율이 [math(x_1)]에만 의존한다. 따라서 재화1의 소비가 동일하면 재화2의 소비에는 관계없이 한계대체율이 동일하다.
이상의 내용을 그래프로 나타내면 다음과 같다.
[math(\rm(a))]는 횡축([math(x_1)]축)에, [math(\rm(b))]는 종축([math(x_2)]축)에 평행한 직선상에 있는 모든 점에서 동일한 한계대체율을 갖는다. 곧, [math(\rm(a))]는 [math(x_2)]의 값이 같으면, [math(\rm(b))]는 [math(x_1)]의 값이 같으면 한계대체율도 같다.
7.5. 콥-더글러스 효용함수
두 양수 [math(c)]와 [math(d)]에 대하여[math(\begin{aligned}u(x_1,\,x_2)&=x_1^cx_2^d\\v(x_1,\,x_2)&=c\ln x_1+d\ln x_2\end{aligned})]
의 꼴로 표현되는 두 효용함수를 콥-더글러스 효용함수(Cobb-Douglas utility function)라고 한다. [math(v(x))]는 [math(u(x))]에 자연로그를 취하여 강단조증가변환을 한 것이므로 두 효용함수는 서수적 본질이 같다.
여기에서, [math(c+d=1,\,c=a)]라 하면 [math(0<a<1)]인 가운데
[math(\begin{aligned}u(x_1,\,x_2)&=x_1^ax_2^{1-a}\\v(x_1,\,x_2)&=a\ln x_1+(1-a)\ln x_2\end{aligned})]
와 같은 꼴이 되는데, 이 역시 콥-더글러스 효용함수라고 하며 경우에 따라 계산의 단순화를 위해 사용된다.
콥-더글러스 효용함수 [math(u(x_1,\,x_2)=x_1^cx_2^d)]의 한계대체율은 다음과 같다.
[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{cx_2}{dx_1})]
따라서 콥-더글러스 효용함수는 동조적 효용함수이다. 또한, [math(x_1)]이 증가할수록 값이 작아지므로 한계대체율은 체감한다.
이번에는 콥-더글러스 효용함수의 수요함수를 고찰해 보자. 한계대체율이 체감하므로, 소비자 균형을 구하려면 소비자의 선택 원리에 따른 [math(x_1)]과 [math(x_2)]에 관한 다음 연립방정식을 풀면 된다.
[math(\begin{aligned}MRS=\dfrac{cx_2}{dx_1}&=\dfrac{p_1}{p_2}\\p_1x_1+p_2x_2&=m\end{aligned})]
둘째 식을 [math(x_2)]에 대하여 풀면
[math(x_2=\dfrac{m-x_1p_1}{p_2})]
이고 이를 첫째 식에 대입하면
[math(\cfrac{c\cdot\dfrac{m-x_1p_1}{p_2}}{dx_1}=\dfrac{p_1}{p_2})]
cross multiplying을 시행하면
[math(c(m-x_1p_1)=dx_1p_1)]
이고 이를 [math(x_1)]에 대하여 정리하면 다음과 같다.
[math(x_1=\dfrac{c}{c+d}\dfrac{m}{p_1})]
이를 통해 [math(x_2)]를 계산하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}x_2&=\dfrac{m-x_1p_1}{p_2}\\&=\dfrac{m}{p_2}-\dfrac{p_1}{p_2}\dfrac{c}{c+d}\dfrac{m}{p_1}\\&=\dfrac{d}{c+d}\dfrac{m}{p_2}\end{aligned})]
이때, 이렇게 구한 두 수요함수의 양변에 각각 [math(p_1)], [math(p_2)]를 곱하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}p_1x_1&=\dfrac{c}{c+d}m\\p_2x_2&=\dfrac{d}{c+d}m\\\\\therefore p_1x_1:p_2x_2&=c:d\end{aligned})]
이때, [math(p_1x_1)]과 [math(p_2x_2)]는 각각 재화1과 재화2를 소비하기 위한 총지출액이다. 곧, 콥-더글러스 효용함수의 소비자 균형에서 두 재화의 총지출액의 비는 [math(\boldsymbol{c:d})]이다.
앞서 소개한 대로 [math(c+d=1,\,c=a)]로 둔다면 식은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}p_1x_1&=\dfrac{c}1m=am\\p_2x_2&=\dfrac{d}1m=(1-a)m\\\\\therefore p_1x_1:p_2x_2&=a:(1-a)\end{aligned})]
여기에서 [math(c+d=1,\,c=a)]로 두어 형태를 변환하는 이유가 나온다. 이렇게 식을 변환하면 [math(a)]가 곧 재화1의 총지출액이 소득에서 차지하는 비율이 되는 것이다.
7.6. 폰 노이만-모겐스턴 효용 함수
[math((u_1, … ,u_n))]라는 수들이 [math(N)]개의 결과인 [math((x_1, … , x_n))]를 가지고, 결과가 나올 확률 p가 [math(p \in P)]이라고 가정할 때,
[math(\displaystyle U(p)=\sum_{i=1}^{n} p_i u_i = \left<p,\, u\right>)]
즉 게임이론은 선형적으로 설명이 가능하다. 맨 마지막 항은 [math(p,\,u)]에 대한 연산이 내적과 동치임을 뜻한다. 위와 같이 정의되는 함수 [math(U(p))]가 폰 노이만-모겐스턴 효용함수이다. 게임이론의 확률적 효용 가설을 설명하기 위해 존 폰 노이만과 오스카 모겐스턴이 구상했다.
[1]
물론 모든 독립변수가 음이 아니라는 제약조건이 있으므로 완전한 등위선이라고 할 수는 없겠다.
[2]
좀 더 설명하자면, [math(MU({\bold x}))]는 임의의 개수의 독립변수를 벡터로 보고 아래처럼 대응시킨 것이다. 즉, 위에서 설명한 [math(MU_1,\,MU_2,\,\cdots,\,MU_n)]을 단 하나의 식으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle MU({\bold x}) : \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_1 \\ \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_2 \\ \vdots \\ \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_n \end{bmatrix})] [3] 사실 한계대체율이 반드시 체감해야 하는 것은 아니며, 불변할 수도 체증할 수도 있다. 예를 들어 재화1이 마약처럼 중독성이 심한 재화이면, 마약을 소비하면 할수록 강하게 빠져들어 마약 한 단위를 얻기 위해 더 많은 것을 기꺼이 포기하게 된다. 마약 중독자가 마약을 투여하지 못하는 괴로움에 못 이겨 각종 범죄를 저지르는 모습을 생각해 보자. 그러나 이와 같은 경우는 전혀 일반적이지 않으며, 역시 '한계대체율은 체감하는 것'으로 정해놓는 편이 현실의 소비자들의 행동을 반영하기에 수월하기 때문에 한계대체율체감을 가정하는 것이다. 인간의 본성을 갖는 소비자들이 선천적으로든 후천적으로든 한계대체율이 체감하는 성향을 갖게 된다고 믿을 만한 선험적인 이유는 지금껏 설명된 적이 없기 때문에, 전제와 논증을 통해 '증명'될 수 있다는 뜻의 '법칙(law)'이라는 표현은 적절하지 않다. 이 때문에 한계대체율체감의 가정(assumption of diminishing marginal utility)으로 칭해야 한다. [4] 특별한 언급이 없으면 '한계대체율'이란 '재화2로 표시한 재화1의 한계대체율'이라는 뜻임을 다시 한 번 상기하자. [5] [math(\dfrac{MU_2}{MU_1})]꼴 [6] [math(\dfrac{MU_1}{MU_1} = 1)]꼴 [7] 두 독립변수에 대해서 모두 선형이면 효용함수는 [math(U(x_1,\,x_2)=ax_1+bx_2)]가 되는데 이는 다름이 아니라 앞서 설명한 완전대체재의 효용함수이다.
[math(\displaystyle MU({\bold x}) : \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_1 \\ \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_2 \\ \vdots \\ \partial U(x_1,\,x_2,\,\cdots\,x_n)/\partial x_n \end{bmatrix})] [3] 사실 한계대체율이 반드시 체감해야 하는 것은 아니며, 불변할 수도 체증할 수도 있다. 예를 들어 재화1이 마약처럼 중독성이 심한 재화이면, 마약을 소비하면 할수록 강하게 빠져들어 마약 한 단위를 얻기 위해 더 많은 것을 기꺼이 포기하게 된다. 마약 중독자가 마약을 투여하지 못하는 괴로움에 못 이겨 각종 범죄를 저지르는 모습을 생각해 보자. 그러나 이와 같은 경우는 전혀 일반적이지 않으며, 역시 '한계대체율은 체감하는 것'으로 정해놓는 편이 현실의 소비자들의 행동을 반영하기에 수월하기 때문에 한계대체율체감을 가정하는 것이다. 인간의 본성을 갖는 소비자들이 선천적으로든 후천적으로든 한계대체율이 체감하는 성향을 갖게 된다고 믿을 만한 선험적인 이유는 지금껏 설명된 적이 없기 때문에, 전제와 논증을 통해 '증명'될 수 있다는 뜻의 '법칙(law)'이라는 표현은 적절하지 않다. 이 때문에 한계대체율체감의 가정(assumption of diminishing marginal utility)으로 칭해야 한다. [4] 특별한 언급이 없으면 '한계대체율'이란 '재화2로 표시한 재화1의 한계대체율'이라는 뜻임을 다시 한 번 상기하자. [5] [math(\dfrac{MU_2}{MU_1})]꼴 [6] [math(\dfrac{MU_1}{MU_1} = 1)]꼴 [7] 두 독립변수에 대해서 모두 선형이면 효용함수는 [math(U(x_1,\,x_2)=ax_1+bx_2)]가 되는데 이는 다름이 아니라 앞서 설명한 완전대체재의 효용함수이다.