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최근 수정 시각 : 2024-11-21 20:14:15

셈 측도

차원
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측도 셈 측도 길이 넓이 부피 초부피
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유클리드 공간 · 측도론( 힐베르트 공간 · Lp 공간) · 민코프스키 시공간 · 차원 조절 }}}}}}}}}


1. 개요2. 상세3. 예시4. 관련 문서

1. 개요

counting measure

[math(0)]차원에서 정의되는 측도. 도량형학에서 셈 측도는 무차원(無次元)이며 차원 기호로는 [math(\sf 1)][1]로 나타낸다. 무차원의 물리량이 완벽하게 셈 측도에 대응되는 것은 아니므로 주의.[2]

2. 상세

' 개수'로 대표되는 측도로, 말 그대로 ' 셈'을 통해서 구할 수 있는 양을 뜻한다. 길이나 길이로부터 유도되는 측도는 연속임에 비해, 이 녀석은 이산적이다.[3] 각, 입체각 등은 무차원(無次元; dimensionless)이지 [math(\bf0)]차원이 아니며 측도론으로 논할 수 있는 개념이 아님[4]에 주의하자.

위의 개수 이외에도 한자문화권에서 마리, 필, 명, 장 등의 단위가 많이 쓰이며, 서양에서는 딱히 특별한 단위를 붙이지 않고[5][6] 그냥 수를 붙이며[7], 우리말에서도 가끔씩 이렇게 쓴다.

예외로 각종 화폐들은 분명 이산량이긴 하지만 ₩, $, € 같은 단위가 부여된다.

또한 몰이라고 아보가드로 상수를 단위로 하는 셈 측도가 있는데, 도량형학에서는 이를 무차원량이 아닌 차원 [math(\sf N)]을 갖는 연속량으로 간주한다. 아보가드로 수의 규모가 워낙 크기 때문에[8] 편의상 차원을 부여한 것이라곤 하나, 아무래도 명백히 셈 측도 단위인 만큼 멀쩡히 있는 허용 단위 자리는 내버려두고 굳이 이걸 기본 단위로까지 끌고 와야 하냐는 비판도 만만지 않다. 아무튼 전술한 것처럼 서양 문화권에서도 무차원의 물리량이 셈 측도에 완벽하게 대응되지 않는다는 것을 보여주는 전형적인 예로 볼 수 있다.

측도론에서는 유한 집합의 크기로 정의한다.[9]

참고로 셈 측도가 취할 수 있는 값은 자연수밖에 없으므로 pi나 루트 2는 셈 측도의 값으로 취할 수 없다. 비교나 평균 등의 의미로는 -2개, 0.5개 등으로 자연수가 아닌 수에 셈 측도의 단위를 쓰는 경우가 있다. 셈 측도는 흔히 말하는 이산측도, 이산량이다.

3. 예시


언어학에서는 이런 것들을 수분류사(數分類詞)라고 부른다. 셈 측도에 후행하는 명사의 특성을 불어넣는 어휘로 보는 것.

4. 관련 문서


[1] [math(1)]차원이라는 뜻이 아니고 곱셈·나눗셈의 항등원이라는 의미이다. 도량형학에서는 숫자가 아닌 고유한 차원 기호를 이용해서 나타내며, 이를테면 부피는 차원이 [math({\sf L}^3)]이고, 가속도는 [math({\sf LT}^{-2})]의 차원을 갖는다. 이는 숫자로 나타낼 수 있는 개념이 아니지만 정의상 차원이 약분되어 없어지는 물리량( 평면각, 입체각 등)이 존재하기 때문에 이들을 곱셈·나눗셈의 항등원인 [math(\sf1)]로 나타내는 것이다. [2] 대표적으로 평면각과 입체각은 차원분석을 해보면 단위([math(\degree)], [math(\rm rad)], [math(\deg^2)], [math(\rm sr)] 등)에 관계 없이 무차원 물리량의 성질을 나타내지만 셈 측도는 아니다. 셈 측도가 되기 위해서는 가측 집합(정확히는 시그마 대수)이라는 전제가 필요한데 두 물리량은 그러하지 못하기 때문이다. 평면각과 입체각 외에도 차원이 없는 수많은 물리량(반발 계수, 레이놀즈수, 양력 계수 등등)이 있지만 대부분 이들은 셈 측도가 될 수 없다. 애초에 측도론과 도량형학은 맥락 자체가 다르고 그 예시의 일부에서 교집합이 존재할 뿐이다. [3] '반 개', ' ½ ħ' 같은 표현이 있기는 하지만, 이는 원래 개수를 세는 최소 단위의 절반이라는 뜻이 내포되어 있으므로 명백한 이산 측도이다. [4] 도량형학에서의 '차원'은 수학이나 물리학에서 말하는 [math(n)]차원의 개념과 매우 이질적이며, '단위의 유무'에 관한 개념에 가깝다. [5] 대신 1개일 경우 부정관사가 있는 언어에선 부정관사를 붙인다. [6] 후술할 몰을 제외하면 SI 단위에서 셈 측도에 대응하는 단위가 없는 이유이기도 하다. [7] 물론 길이 질량 등 연속적인 단위 자체는 많이 있다. [8] [math(6.022\ 140\ 76 \times 10^{23})](약 6022 해) [9] 무한 집합의 크기는 초한기수를 사용하며, 셈 측도가 아니다. [10] 예외적으로 사람과 식물은 다른 단위를 쓴다. [11] 그냥 '사람'을 단위 삼아 쓰기도 한다. [12] 일본에서는 전차의 수를 세는 단위로도 쓴다. [13] 일본에서는 위 대신 주(柱)를 세는 단위로 쓴다. [14] 곳간( 庫 間), 셋방( 貰 房), 숫자( 數 字), 찻간( 車 間), 툇간( 退 間), 횟수( 回 數)

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