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物 理 量 | physical quantity
1. 정의
어떤 현상이나 속성을 정량적으로 나타낸 것을 물리량이라 한다. 수학적으로는 수치와 단위의 곱으로 이루어져 있다.[1] 국제표준화기구에서 발행하는 지침 ISO:80000-1에 따르면 물리량 [math(Q)]의 수치 성분은 중괄호로 감싼 [math(\{Q\})], 단위 성분은 대괄호로 감싼 [math([Q])]로 나타내며, 수치 성분과 단위 성분 사이에는 줄바꿈이 없는 띄어쓰기( NBSP)를 넣어야 한다. 따라서 물리량의 성분은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.| [math(Q = \{Q\}\,[Q])] |
2. 기호와 단위
기호란 물리량을 나타내는 문자로, 주로 아랫첨자가 있거나 없는 로마자 혹은 그리스 문자를 쓴다. 국제단위계의 지침상 물리량을 나타낼 때 대소문자 구분은 사용자가 정의하기 나름이나 서체는 반드시 바탕체(Serif) 기반의 이탤릭체로 나타내게 되어있다. 예시에 관해선 과학/기호문서를 참고하자.단위는 해당 물리량이 어떤 방법 혹은 기준에 따라 측정된 것인지 그 정보를 제공하는 개념[2]으로, 물리 법칙에 따라 수학적으로 정의된다. 국제단위계의 지침상 사람 이름에서 유래한 단위가 아니면 기본적으로 소문자로 나타내며, 사람 이름에서 유래한 단위는 대문자로 나타낸다.[3] 서체는 바탕체 기반의 직립체(로만체)로 나타내는 것이 원칙이며[4], 수기로 나타낼 때에는 서체를 지켜가며 쓰기가 어렵기 때문에 물리량과의 구분이 필요한 경우 괄호([], () 등)로 감싸서 나타내기도 한다.
| 예) 전압의 기호 [math(V)], 단위 [math({rm V})](혹은 [math([{\rm V}])]) |
보통 물리량을 나타내는 문자는 단위를 나타내는 문자와 다른 경우가 많은데, 특이하게도 전압은 기호 [math(V)]의 유래가 된 영단어 voltage와 단위인 볼트(volt, [math(\rm V)])가 모두 알레산드로 볼타의 이름에서 유래했기 때문에 기호와 단위 모두 V를 쓴다.
3. 차원
물리량을 구성하는 기본량이다. 정의 문단에서 논한 바와 같이 물리량은 수치 성분과 단위 성분의 곱인데, 수치는 물리량의 구체적인 값만 제시할뿐 양의 물리학적인 정보를 갖지 않으므로 물리량이 갖는 차원은 단위 성분에 있다고 할 수 있다.
4. 물리량의 종류
4.1. 스칼라
수치만을 가지며 좌표계의 변환에 의해 크기가 변하지 않는 물리량을 스칼라라고 한다.
4.2. 벡터
수치와 방향을 모두 가지며 좌표계의 변환에 의해 변하는 물리량을 벡터라고 한다. 일반적으로 과학에서 벡터라 함은 유클리드 기하학에서의 벡터를 의미한다.[5]
4.2.1. 변환에 의한 스칼라와 벡터의 변화
상기한 벡터의 변환에 대해 자세하게 살펴보자.|
|
| 2차원 좌표계 위의 위치벡터[math(\bold v)] |
좌표계가 달라지면
* 벡터는 방향이 달라진다.
*벡터의 크기(스칼라)는 달라지지 않는다.
로 볼 수 있다.* 벡터는 방향이 달라진다.
*벡터의 크기(스칼라)는 달라지지 않는다.
이를 수학적으로 증명해 보자.
위 그림의 벡터는
[math(\bold{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix})]
로 나타내어진다.벡터의 크기 [math(v)]는
[math(v=\sqrt{a^2+b^2})]
이며, 회전한 좌표계에선
[math(v'=\sqrt{a'^2+b'^2})]
이다. 이때 좌표계의 회전은 벡터를 반대 방향으로 회전하는 것과 같으므로 그림의 변환을 나타내는 행렬은[6]
[math(\begin{bmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix})]
이므로 회전한 좌표계에서의 벡터 [math(\bold v)]는
[math(\begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos \theta+b\sin \theta \\ -a\sin \theta+b\cos \theta \end{bmatrix})]
이다. 따라서
[math(a'= a\cos \theta+b\sin \theta, b'=-a\sin \theta+b\cos \theta)]
이며, 회전한 좌표계에서 벡터의 크기는
[math(v'=\sqrt{(a\cos \theta+b\sin \theta)^2+(-a\sin \theta+b\cos \theta)^2})]
으로, 전개해서 정리하면
[math(v'=\sqrt{(a^2\cos^2 \theta+ab\cos \theta \sin \theta +b^2\sin^2 \theta)+(a^2\sin^2 \theta-ab\sin \theta \cos \theta +b^2\cos^2 \theta)})]
[math(\quad=\sqrt{(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)a^2+\cancel{ab\cos \theta \sin \theta} + (\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)b^2 - \cancel{ab\sin \theta \cos \theta}})]
이때 [math(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1)]이므로[math(\quad=\sqrt{(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)a^2+\cancel{ab\cos \theta \sin \theta} + (\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)b^2 - \cancel{ab\sin \theta \cos \theta}})]
[math(v'=\sqrt{a^2+b^2}=v)]
이다.따라서, 아래 사실을 알 수 있다.
* 벡터는 좌표계의 회전(변환)에 의해 변하며, 이는 변환법칙을 따른다.
* 스칼라(벡터의 크기)는 회전(변환)에 관계없이 변하지 않는다.
이는 백터의 크기가 아닌 스칼라량인 내적에도 그대로 적용된다.* 스칼라(벡터의 크기)는 회전(변환)에 관계없이 변하지 않는다.
4.3. 텐서
벡터를 이루는 여러 쌍의 기저가 결합하여 좌표계의 변환에 대해 특정한 변환법칙을 따르는 물리량을 텐서라고 한다. 일반적으로 3차원 공간상에서 역학적인 요소를 기술하거나 곡률을 표현하는 그 기능에 따라 상대성 이론에 응용된다.
4.3.1. 스칼라, 벡터를 포함하는 개념으로서의 텐서
텐서에 대해 접하다 보면 흥미로운 내용을 볼 수 있는데, 텐서의 차수에 따라 0차 텐서는 스칼라, 1차 텐서는 벡터라는 것이다. 이것은 몇 쌍의 기저로 구성되어 있느냐에 관한 것으로, 스칼라는 기저가 없으며, 벡터는 1쌍의 기저를 가진다.이를 통해 2차 텐서를 기저쌍으로 이루어진 양을 입력받아 다른 양을 출력하는 함수로 이해하면 물리학에서 텐서의 기능을 알 수 있다.
가령 응력 텐서의 경우 응력이 가해지는 면의 법선벡터와 응력이 가해지는 방향의 벡터를 입력받아 그 방향의 힘의 크기를 출력한다.
4.4. 스피너
로런츠 변환에 대해 텐서와 다른 형태의 변환을 보이는 물리량으로, 입자의 스핀을 나타낸다.
5. 방정식
물리량을 이용하여 수학적인 방법으로 방정식을 기술할 때에는 차원 동차성(dimensional homogeneity)의 원리에 따라 차원이 일관되도록 써야 하며, 차원 문서에 나와있듯 어떤 한 방정식의 모든 항은 같은 차원을 공유해야한다. 앞서 물리량의 차원 속성은 단위에 있다고 했으므로, 방정식이 제차 방정식의 꼴, 즉 어느 한쪽 변의 수치가 0이 된다 하더라도 0은 무차원량의 수치이기 때문에 단순히 [math(0)]만으로 기술해서는 안 되며 단위가 포함된 물리량의 형태로 기술해야 한다.가령 맥스웰 방정식의 미분형에서 자속밀도 [math(\bf B)]의 미분에 관한 식은 일반적으로 다음과 같이
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf B} = 0)] |
| [math(\bm{\nabla\cdot\bf B} = 0{\rm\,Wb/m^3})] |
| [math(\begin{aligned} \sum{\bf F} &= \bm0{\rm\,N} \\ \sum\bm\tau &= \bm0{\rm\,J/rad}\end{aligned})] |
5.1. 양 방정식과 수치 방정식
방정식이 물리량만으로 구성되어있을 경우 양 방정식(quantity equation) 혹은 물리량 방정식이라고 하며, 물리량을 단위로 나눈 수치가 방정식에 포함될 경우 수치 방정식(numerical-value equation)이라고 한다.[10] 양 방정식은 단위의 선택 여부에 상관없이 식의 꼴이 불변[11]이지만 물리량을 단위로 나눈 수치 방정식은 단위환산 관계식이 방정식에 포함되기 때문에 무슨 단위를 썼느냐에 따라 식의 형태가 변한다. 예를 들어 등속직선운동에서 속력 [math(v)]와 시간 [math(t)]로 거리 [math(d)]를 기술하는 방정식| [math(d = vt)] |
| [math(\begin{aligned} \frac d{\rm m} &= \frac{vt}{\rm m} \\ &= \frac{vt}{\rm (m/s){\cdot}s} \\ &= {\left(\frac v{\rm m/s}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac d{\rm m} &= {\left(\frac v{\rm m/s}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)} \\ &= {\left(\frac v{3.6\rm\,km/h}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)} \\ &= \frac1{3.6}{\left(\frac v{\rm km/h}\right)}{\left(\frac t{\rm s}\right)}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac P{\rm kW} &= \frac1{\left(\dfrac{30000}\pi\right)}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \fallingdotseq \frac1{9550}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \\ \frac P{\rm hp} &= \frac1{\left(\dfrac{33000}{2\pi}\right)}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)} \fallingdotseq \frac1{5252}{\left(\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\right)}\bm\cdot{\left(\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\right)}\end{aligned})] |
| [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}\underline\theta}\sin\underline\theta = \cos\underline\theta)] |
| [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}\underline{\theta_\degree}}\sin{\left(\dfrac\pi{180}\underline{\theta_\degree}\right)} = \dfrac\pi{180}\cos{\left(\dfrac\pi{180}\underline{\theta_\degree}\right)})] |
6. 측정
현상에 따라 물리량의 수치를 결정하는 것을 측정이라 한다.
6.1. 도량형
측정의 기준이다.
7. 단위 변환
특정 도량형으로 표현된 물리량을 선형사상을 이용해 다른 도량형으로 바꾸는 것이다.
8. 같이 보기
[1]
미세구조상수처럼 수치만 남아있는 게 반례처럼 보일 수 있는데,
무차원량은 차원이 [math(\sf1)]인 단위 [math(1)]이 곱해진 것으로 본다.
[2]
도량형학 관점에서 보면 물리량의
차원 정보를 담고 있는 셈이다.
[3]
단,
리터는 [math(\rm l)]로 나타내면 인쇄 환경에 따라 대문자
I, 숫자
1과 헷갈릴 여지가 많기 때문에 대문자 표기 [math(\rm L)]이 표준이다.
[4]
바탕체가 아닌
돋움체(Sans-serif)인 경우,
차원 기호가 된다.
[5]
단,
상대성 이론이나
양자역학에서는
선형대수학에서 말하는 '일반화된
벡터'를 다룬다.
[6]
이에 관한 내용은
선형 변환,
행렬표현 문서를 참조하라.
[7]
[math(\bm\nabla = \cfrac\partial{\partial x} + \cfrac\partial{\partial y} + \cfrac\partial{\partial z})]로 차원이 [math(\sf L^{-1})]인 연산자이므로 SI 기본 단위로 나타내면 [math(\rm m^{-1})]이 곱해지는 것과 동일하다.
[8]
여담으로 자속밀도의 단위 [math(\rm Wb/m^2)]은 [math({\rm d}{\bf F} = I{\rm\,d}{\bf l\bm\times B})]로부터 전류와 길이가 곱해져서 힘이 되는 물리량의 차원과 같으므로 SI 기본 단위로 나타내면 [math({\rm Wb/m^2} = {\rm N/(A{\cdot}m)} = {\rm kg/(s{\cdot}C)})]이고, 최종적으로 [math({\rm Wb/m^3} = {\rm kg/(m{\cdot}s{\cdot}C)})]가 된다.
[9]
즉 첫 번째 식의 양변에 변위를 곱하고 [math(\rm rad)]을 나누는 등.
[10]
즉 후술할 수치만으로 구성된 방정식뿐만 아니라 반지름 [math(r)]과 중심각 [math(\theta)]로부터 호의 길이 [math(l)]을 구하는 공식 [math(l=r\theta/{\rm rad})]같은 것도 수치 방정식이다.
[11]
단,
CGS 단위계의 전자기학 분야처럼
국제단위계와 차원 관계가 호환하지 않는 경우는 해당되지 않으며,
맥스웰 방정식이 단위계에 따라 식의 형태가 바뀌는 근본적인 이유이기도 하다. 이를테면 CGS 단위계에서
쿨롱 법칙은 [math(F = \cfrac{q_1q_2}{r^2})]로 정의되어 쿨롱 상수 [math(k_{\rm e} = \cfrac1{4\pi\varepsilon_0})]을 도입하지 않기 때문에, 전하의 차원이 [math(\sf IT)]가 아닌 [math(\sf M^{1/2}L^{3/2}T^{-1})]이다. 물론 도량형학 관점에서 전하는 오로지 (전류)[math(\times)](시간) 차원이며 다른 차원으로 환산될 수 없기 때문에 CGS 단위계의 이러한 약속은
자연 단위계처럼 특정 물리 상수를 규격화한(즉 앞선 예시에선 [math(4\pi\varepsilon_0 \to 1)]) 단위계의 일종으로 해석된다.
[12]
물론, 가령 [math([d] = {\rm m})], [math([v] = {\rm ft/s})]이고 계산 결과값에서 두 단위를 [math(\rm m)]로 통일하고 싶은 경우에는 두 단위 간의 환산식 [math(1{\rm\,ft} = 0.3048{\rm\,m} \Leftrightarrow 1 = \cfrac{0.3048\rm\,m}{1\rm\,ft} = 0.3048{\rm\,m/ft})]가 포함되어야 하며 단위 환산식은 수치 방정식이기 때문에 양 방정식이 아니게 된다. 이를 적용하면 [math(d = 1{\cdot}vt = (0.3048{\rm\,m/ft})vt)]가 되어 기존 양 방정식 [math(d=vt)]의 우변에 수치 0.3048이 곱해지면서 식의 형태가 달라진다. 후술할 예도 참고. 물론
허블 상수의 단위 [math(\rm km/(s{\cdot}Mpc))]에 포함된 [math(\rm km)]와 [math(\rm M)]
[math(rm pc)]처럼 분야에 따라서는 구태여 환산하지 않는 경우도 있으며 이 경우 차원만 같은 두 단위가 공존하는 상태가 되고 양 방정식의 형태를 유지할 수 있다.