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1. 개요
單 位 變 換단위를 바꾸는 것. 단위 환산(換算)이라고도 한다.
물리량의 단위는 다양하다. 길이만 보더라도 미터([math(\rm m)])에 SI 접두어가 붙어 파생된 다양한 단위들([math(\rm mm)], [math(\rm cm)], [math(\rm m)], [math(\rm km)] 등)이 있는가 하면, 나라에 따라서는 인치([math(\rm in)]), 피트([math(\rm ft)])를 표준 단위로 지정하는 등 세계적으로 여러 단위가 같이 쓰이고 있는 상황이다. 차원 문서에도 나와있듯이 차원이 같은 물리량이라 하더라도 수학적인 연산을 하기 위해서는 같은 단위로 맞출 필요가 있고[1], 굳이 연산이 목적이 아니더라도 나라마다 쓰는 국가 표준 단위에 맞추기 위해 단위를 바꾸어야 할 일은 많다.[2]
2. 원리
기본적으로 선형사상(linear map)을 따른다. 차원분석 시 나오는 기저에 적절한 사칙연산을 한다고 생각하면 된다.
차원이 같고 단위(unit)만 [math(\rm u_1)], [math(\rm u_2)]로 다른[3] 물리량(quantity) [math(Q_{\rm u_1})], [math(Q_{\rm u_2})]가 있다고 하자. 각 단위로 나타낸 값(value)을 [math(\rm v_1)], [math(\rm v_2)]라고 할 때, 이를테면 속도([math(v)])를 나타낸 식 [math(v = 20{\rm\,km/h})]이나 시간([math(t)])을 나타낸 식 [math(t = 30{\rm\,s})]처럼 물리량은 수치와 단위가 곱셈으로 연결된 관계식과 같으므로[4]
| [math(\begin{aligned} Q_{\rm u_1} &= {\rm v_1\,u_1} \\ Q_{\rm u_2} &= {\rm v_2\,u_2}\end{aligned})] |
| [math(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2} = f{\left(\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\right)})] |
| [math(Q_{\rm u_2} = f{\left(\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\right)}\,{\rm u_2})] |
[math(f)]가 선형사상임에 따라 전단사이므로[6], 역변환 역시 가능하다.
| [math(Q_{\rm u_1} = f^{-1}{\left(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2}\right)}\,{\rm u_1})] |
2.1. 약식 변환식
기본 변환식은 물리량과 단위를 모두 포함하므로 웬만하면 계산 과정에 실수가 없다는 장점이 있으나 그 형태가 기본적으로 분수를 포함하고, 후술하겠지만 적분식이 포함되기도 하는 등 복잡하기 때문에 실생활에서 빠르게 이용하기엔 적절하지 않다.이때 온도를 제외한 대부분의 단위들은 그 관계가 [math(f({\rm v}) = k{\rm v}\ (k\neq 0))]꼴의 비례관계라는 사실을 이용하면 기본 변환식에서 물리량을 생략한, 좀 더 실용적인 약식 변환식을 유도할 수 있다. 차원이 같고 단위가 다른 두 물리량의 각 수치 사이에 비례관계가 성립할 때 기본 변환식은
| [math(Q_{\rm u_2} = k\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}\,{\rm u_2})] |
| [math({\rm u_2} = \dfrac1k\dfrac{Q_{\rm u_2}}{Q_{\rm u_1}}\,{\rm u_1})] |
| [math({\rm u_2} = \dfrac1k\,{\rm u_1})] |
다만 양변의 차원이 일치하는 지를 염두에 둬야 하는 주의점이 있다. 이를 간과한 사례 중 하나가 우주의 팽창에 관하여이다.
2.2. 변화량 관계식의 경우
주로 온도 등에서 많이 볼 수 있는 표현인데, '[math(Q_{\rm u_2})]가 [math(1{\rm\,u_2})]만큼 변한 것([math(\Delta Q_{\rm u_2} = 1{\rm\,u_2})])은 [math(Q_{\rm u_1})]으로 얼마나 변한 것([math(\Delta Q_{\rm u_1})])과 같은가'와 같은 관계에서, 앞서 썼던 [math(\rm u_2)] 체계의 수치는 [math(\rm u_1)] 체계의 수치에 [math(k)]를 곱하는 관계식| [math(\dfrac{Q_{\rm u_2}}{\rm u_2} = k\dfrac{Q_{\rm u_1}}{\rm u_1} + l)] |
| [math(\Delta Q_{\rm u_2} = 1{\rm\,u_2} \Rightarrow \Delta Q_{\rm u_1} = \dfrac1k{\rm\,u_1})] |
| [math({\rm u_2} = \dfrac1k{\rm\,u_1})] |
| [math(\Delta{\rm u_2} = \dfrac1k\,\Delta{\rm u_1})] |
| [math(\dfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} = \dfrac95\dfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C} + 32)] |
위 성질은 다음과 같이 보일 수 있다. [math(\Delta Q = (Q)_{\rm f} - (Q)_{\rm i})]로 나타내면
| [math(\begin{aligned}\Delta Q_{\rm u_2} &= {(Q_{\rm u_2})}_{\rm f} - {(Q_{\rm u_2})}_{\rm i} \\ &= {\left(k\frac{{(Q_{\rm u_1})}_{\rm f}}{\rm u_1} + l\right)}{\rm\,u_2} - {\left(k\frac{{(Q_{\rm u_1})}_{\rm i}}{\rm u_1} + l\right)}{\rm\,u_2} \\ &= k\frac{{(Q_{\rm u_1})}_{\rm f} - {(Q_{\rm u_1})}_{\rm i}}{\rm u_1}{\rm\,u_2} \\ &= k\frac{\Delta Q_{\rm u_1}}{\rm u_1}{\rm\,u_2} \\ \therefore \frac{\Delta Q_{\rm u_2}}{\Delta Q_{\rm u_1}} &= 1 = k\frac{\rm u_2}{\rm u_1} = k\frac{\Delta\rm u_2}{\Delta\rm u_1} \\ \Delta{\rm u_2} &= \frac1k\,\Delta{\rm u_1}\end{aligned})] |
3. 방법
아래에 제시된 방법은 모두 서로 다른 단위 체계가 비례관계에 있을 때에만 사용 가능하다.후술하겠지만 비례 관계임이 확실하지만 대수적으로[11]는 구할 수 없거나, 대수적인 수이지만 환원 불능[12]인 경우도 있기는 하다. 구체적으론 원주율 [math(\pi)] 혹은 로그의 밑 변환 과정에 튀어나오는 [math(\log_{10}e)] 혹은 [math(\ln10)] 따위의 초월수를 비롯한 무리수를 포함하는 경우로, 구체적인 값으로서 근삿값을 쓰는 수 밖에 없는 사소한 경우에 지나지 않는다.[13][14] 즉, 기본적으로 비례관계라면 아래 방법들은 모두 통용된다.
또한 실험 등 연구활동 도중 단위 변환을 위한 계산을 한다면 유효숫자의 연산 규칙을 따라야 한다.
3.1. 항등원 이용
같은 관측 대상이 단지 다른 단위로 나타내어진 상황, 즉 [math(Q_{\rm u_1} = Q_{\rm u_2})]가 된 상황을 가정하자. 앞서 [math(Q_{\rm u_1} = {\rm v_1\,u_1})], [math(Q_{\rm u_2} = {\rm v_2\,u_2})]였으므로| [math({\rm v_1\,u_1} = {\rm v_2\,u_2})] |
| [math(\dfrac{\rm v_2\,u_2}{\rm v_1\,u_1} = 1)] |
3.1.1. 예시
| [예제1] 영수는 표준 사용 면적이 [math(26.4{\rm\,m^2})]인 공기 청정기를 자신의 [math(7)]평 원룸에 설치하려 한다. 공기청정기의 성능이 충분한지 판단하여라.(단, 면적 외 다른 변수는 고려하지 아니한다.) |
|
[math(1)]평 [math(=3.3{\rm\,m^2})]이므로 [math((1)]평[math(/{\rm3.3\,m^2}) = 1)]이며 공기 청정기의 표준 사용 면적을 평 단위로 환산하면 [math(26.4{\rm\,\cancel{m^2}}\times(1)]평[math(/{\rm3.3\cancel{m^2}}) = 8.0)]평 이고 이는 영수의 원룸 [math(7)]평보다 크므로 공기청정기의 성능은 충분하다. |
직접 해 보자.
| [예제2] 영수는 모종의 실험으로부터 [math(v = 45{\rm\,m/s})]라는 결과를 얻었다. 이를 [math(\rm\,km/h)] 단위로 나타내어라. |
|
3.2. 직접 대입법
약식 변환식 [math({\rm u_2} = \dfrac1k{\rm\,u_1})]을 가만히 살펴보면 단위를 변수처럼 이용할 수 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 비례상수 [math(k\biggl()]혹은 [math(\left.\dfrac1k\right))]값만 알고 있다면 단위 자체에 변환식을 직접 대입해서 구하고자 하는 단위로 훨씬 빠르게 환산을 할 수 있다.3.2.1. 예시
| [예제] [math(0{\rm\,\degree\!C})]에서 수은의 밀도는 [math(13.5951{\rm\,g/cm^3})]이다. 이 온도에서 표준 [math(1{\rm\,atm})]([math(1)]기압)은 [math(760{\rm\,mmHg})]라고 할 때 [math(1{\rm\,atm})]의 값을 파스칼([math(\rm Pa)]) 단위로 나타내어라. (단, 표준 중력가속도 [math(g_{\rm n} = 9.806\,65{\rm\,m/s^2})]이다.) |
|
압력은 단위 면적당 힘이므로 (대기압)[math(=)](수은의 무게)[math(\div)](수은주의 단면적) 관계에 있다. (무게)[math(=)](질량)[math(\times)](중력가속도)인데 (질량)[math(=)](밀도)[math(\times)](부피)이며 수은주(수은 기둥)에서는 (부피)[math(=)](단면적)[math(\times)](높이)이므로 (대기압)[math(=)](밀도)[math(\times)](단면적)[math(\times)](높이)[math(\times)](중력가속도)[math(\div)](단면적)이고 정리하면 (대기압)[math(=)](밀도)[math(\times)](높이)[math(\times)](중력가속도)가 된다. [math(760{\rm\,mmHg})]란 곧 수은주의 높이가 [math(760{\rm\,mm})]라는 것이며 [math(\rm Pa = N/m^2 = (kg{\cdot}m/s^2)/m^2 = kg/(m{\cdot}s^2))]이므로 변환해야할 단위는 [math(\rm\color{red}g)], [math(\rm\color{blue}cm^3)], [math(\rm\color{green}mm)]이다. [math(\begin{aligned} \rm\color{red}g &= \rm\dfrac1{1000}\,kg = \color{red}10^{-3}\,kg \\ \rm\color{blue}cm^3 &= \rm{\left(\dfrac1{100}\,m\right)}^3 = \rm\dfrac1{10^6}\,m^3 = \color{blue}10^{-6}\,m^3 \\ \rm\color{green}mm &= \rm\dfrac1{1000}\,m = \color{green}10^{-3}\,m \end{aligned})] 이므로 주어진 값을 이용하여 한꺼번에 계산하면 [math(\begin{aligned} \rm1\,atm &= \rm(13.5951\,{\color{red}g}/{\color{blue}cm^3})\times(760\,{\color{green}mm})\times(9.806\,65\,m/s^2) \\ &= \rm{\left(13.5951\,\dfrac{\color{red}\cancel{10^{-3}}\,kg}{\color{blue}\cancel{10^{-6}}\,m^3}\right)}\times(760\times{\color{green}\cancel{10^{-3}}\,m})\times(9.806\,65\,m/s^2) \\ &\approx \rm101\,325\,kg/(m{\cdot}s^2) = 101\,325\,Pa \end{aligned})] |
4. 위 방법을 이용할 수 없는 경우
크게 두 가지 경우로 나눌 수 있다.-
비례 관계임이 확실하지만 대수적으로는 구할 수 없거나, 대수적인 수이지만
환원 불능(casus irreducibilis)인 경우
비례상수가 작도 불능인 경우로 항상 근삿값으로밖에 나타낼 수 없다. 원주율 [math(\pi)] 혹은 로그의 밑 변환 과정에 튀어나오는 [math(\log_{10}e)] 혹은 [math(\ln10)] 따위의 초월수를 비롯한 무리수를 포함하는 케이스로, 디랙 상수 [math(\hbar)]가 대표적이다. [math(\hbar)]는 엄밀하게는 플랑크 상수 [math(h)]에 대한 아래의 적분식
[math(\begin{aligned} h &= 2\hbar \cdot \int^1_{-1} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2 \int^1_0\frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\hbar \cdot 2\int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \\ &= 2\hbar \cdot 4\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} \end{aligned})]
을 이용해야 하지만, 수렴이 매우 느리기[15] 때문에 보통은 미리 구해 둔 수렴값을 일정 자리수 이하로 근사해서 이용한다.[16]
또 하나의 예로 파섹이 있는데, 파섹은 본디 아래와 같이
[math(\begin{aligned}1\,{\rm pc} &= \cot {\left( \frac{\pi}{648000} \right)}{\rm\,au} \\&= i + \frac{2i}{\operatorname{cis}(\pi/324000)-1}\,{\rm au} \end{aligned})][17]
와 같이 정의되나, 마찬가지로 식이 닫힌 꼴이 되지 않는다. 이 문제 때문에 2015년부터는 국제천문연맹에서 파섹의 정의를 위의 디랙 상수와 비슷한 방식으로 바꾸었다.결론적으로는 옆그레이드퍼센트/ 퍼밀로 표시된 경사도를 각도로 환산하는 과정 역시 이런 식이다.
그러나 기본적으로 수학 상수들은 유효숫자의 자릿수가 무한개인 것으로 간주하기 때문에, 유효숫자의 개수가 적은 다른 측정값이나 물리 상수들이 구체적인 결과값을 결정한다고 보면 된다. 즉, 공학용 계산기를 쓸 수 있는 상황이라면 좀 더 정밀도가 높은 값을 얻기 위해 구태여 적은 자릿수로 근사하지 말고 메모리에 저장된 각 값을 그대로 쓰는 게 낫다.물론 시험에서 쓰라고 값을 준다면 써야겠지만
-
0의 기준이 다른 경우
대표적인 예로 온도가 있는데 절대온도와 랭킨온도를 제외한 나머지 온도 체계는 특정 두 기준점을 [math(n)]등분한 것을 단위로 삼았기 때문에 대부분의 체계가 다른 물리량처럼 비례 관계식으로 딱 떨어지지 않는다. 이를테면 물의 어는점을 화씨온도에서는 [math(32{\rm\,\degree\!F})]로 정의하고 섭씨온도에서는 [math(0{\rm\,\degree\!C})]로 정의하므로 둘 사이에는 눈금의 간격에 관한 비례 계수 외에도 [math(32)]만큼의 차이가 있으며 다음과 같이 기본 변환식의 꼴로밖에 나타낼 수 없다. 이때 (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위)이므로 물리량에는 수치뿐만 아니라 단위까지 같이 넣어서 계산한다.
[math(T_{\rm\degree\!C} = \dfrac59{\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} - 32\right)}{\rm\degree\!C})]
섭씨온도를 절대온도로 환산하는 경우에도 마찬가지이다.
[math(T_{\rm K} = {\left(\dfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C} + 273.15\right)}{\rm\,K})]
단, 열씨온도와 섭씨온도, 절대온도와 랭킨온도 등, 정의에 따라서는 비례관계가 성립해서 약식 변환식을 이용할 수 있는 경우도 있기는 하다.
| 영수는 미국 일기예보에서 워싱턴 D.C의 기온이 [math(45{\rm\,\degree\!F})][18]라는 정보를 얻었다. 이를 섭씨 온도로 나타내어라. |
온도 이외에도
기년법이 이런 경우에 속한다.
5. 기타
- 자연 단위계는 순수하게 차원 분석에 기반하여 각종 물리 상수들의 연산을 통해 단위 물리량이 각각 기본 차원 하나만을 갖도록 재조정된 단위계이다. 주요 쓰임새는 단위 물리량으로 각 물리량을 무차원화하는 규격화를 통해 표적으로 삼은 물리 상수들을 [math(1)]로 만들어서 수식을 간단하게 하는 것이다. 대표적으로 플랑크 단위계가 있다.
- 초등학교 수학 3학년 과정에서 처음 등장한다. 당연히 저걸 다 가르치면 아이들이 이해하지 못하기에, 직접 대입법 정도만 가르쳐서 중고등학생 때까지 계속 써먹는 편이다.
- 환율도 단위 변환의 한 예이다.
[1]
국제단위계는
접두어가 10의 제곱수라 접두어 간 환산이 쉽지만, 전통 단위계(
제국 단위계,
미국 단위계,
척관법 등)는 단위 간 차이가
개판 5분 전이라 두 단계만 차이나도
노가다를 피할 수 없다. 숫자가 깔끔하지 않기는 해도 일단 계산기를 준비하고본 문서에서 설명할 방법만 잘 따르면 무리없이 환산할 수 있다.
[2]
이걸 안 해서 생긴 문제로
에어 캐나다 143편 불시착 사건,
대한항공 6316편 추락 사고,
화성 기후 궤도선 폭발 사건 등이 일어났다.
[3]
바꿔 말하면, [math(\rm u_1)], [math(\rm u_2)]가 다른 차원일 경우 성립하지 않는다.
[4]
길이를 떠올리면 이를 직관적으로 이해할 수 있는데 [math(l = 5{\rm\,cm})]라는 것은 어떤 것의 길이([math(l)])를 [math(\rm1\,cm)] 길이의 자로 쟀을 때 그 자가 [math(5)]개 필요함([math(5{\rm\,cm} = 5\times1{\rm\,cm})])을 의미한다. 즉, [math(l = 5{\rm\,cm})]란 [math(l = 5\times{\rm cm})]이며 [math(\rm cm)] 앞에 [math(1)]이 생략된 것으로 이해하면 된다.
[5]
물리량이 아닌 수치임에 주의. 물리량의 관계식을 나타낼 때에는 차원과 단위를 일치시켜야하는데, 물리량과 단위는 각각 저마다의 차원과 단위를 포함하므로 단위 변환의 관계식에 쓰일 수 있는 것은
차원이 [math(\sf1)](
무차원량)로 같은 수치 뿐이다. 많은 교과서에서 쓰이는 물리량으로 나타낸 관계식은 엄밀하게는 틀린 표기이다.
[6]
선형대수학의 기본정리 참고.
[7]
후술하겠지만 '변화량'을 다루기 때문에 [math(l)]이 임의의
상수여도(
절편이 원점을 지나지 않아도) 된다. 즉
모든 단위 환산식에서 성립하는 성질이다.
[8]
이를테면 화씨온도에서 [math(\Delta T_{\rm\degree\!F} = 180{\rm\,\degree\!F})]의 차이는 섭씨온도의 [math(\Delta T_{\rm\degree\!C} = 100{\rm\,\degree\!C})] 차이와 같으므로 [math(\Delta T_{\rm\degree\!F} = \Delta T_{\rm\degree\!C})]이다.
[9]
거꾸로 이게 1이 아니라는 것은 처음부터 [math(\rm u_1)]인 단위 체계로 관측했을 때와 [math(\rm u_2)] 단위 체계로 관측 후 [math(\rm u_1)] 단위 체계로 환산했을 때 서로 다른 값이 나온다는 것을 의미하기 때문에 [math(\dfrac{\Delta Q_{\rm u_2}}{\Delta Q_{\rm u_1}} = 1)]은 반드시 성립해야한다. 물론
[math(Delta to0)], 즉 [math(Delta)]가 [math(rm d)]로 바뀐 경우라도 1이다. 이게 1이 아닌 사례의 대표적인 케이스로
제임스 웹 우주 망원경과
허블 우주 망원경으로 관측해서 계산한
우주 팽창률의 값에 큰 오차를 보이고 있는 '허블 텐션 미스터리' 같은 경우를 들 수 있다.
[10]
정의상 화씨온도의 눈금은 물의 어는점과 끓는점의 차이를 180등분한 것이므로 [math(\Delta T_{\rm\degree\!F} = 180{\rm\,\degree\!F} \Leftrightarrow \Delta T_{\rm\degree\!C} = 100{\rm\,\degree\!C})]로부터도 유도할 수 있다.
[11]
즉, 사칙연산과
근호를 유한 번 사용해서
[12]
환원 불능이 나오는 대표적인 경우로
삼차방정식이 있다.
인수분해가 되지 않는 유리계수 삼차방정식의 근이 모두 실근이고 무리수일 경우, 해당 근들은 모두 환원 불능이 된다. 애당초 환원 불능이라는 말을
지롤라모 카르다노가 삼차방정식의 해법을 찾는 과정에서 만들었다.
[13]
이런 경우를 수학적으로는 '
작도 가능한 수(constructible number)가 아니다'라고 한다.
[14]
수학과는 달리 과학 쪽은 계산에 들어가는 값이
참값이 아님이 전제되는 경우가 많아서 근삿값 사용에 너그러운 편이다.
[15]
가령 세번째, 네번째 식은
아크탄젠트의 테일러 전개를 이용하는데, 무려 십만 개의 항까지 계산해야 적분항의 값이 [math(3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots)]이 된다.
[16]
실제로
제트추진연구소에서는 원주율의 근삿값으로서
로켓 및 인공위성을 만들 때에는 소수점 아래 15자리, 우주 둘레 계산 시 소수점 아래 40자리를 이용한다고 한다.
[17]
[math(\operatorname{cis})]는
허수지수함수이다.
[18]
22/04/18 07:25(동부 시간),
NOAA