입체각은
평면각을 3차원으로 확장한 개념이다. 평면각이 한 점을 기준으로 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼, 입체각은 한 점에서 바깥을 향해 공간상에서 벌어진 정도를 나타낸다. 직관적으로 평면각은 선분의 한쪽 끝을 고정하고 회전했을 때 '선분'이 휩쓰는 경우, 입체각은 평면의 한 선분을 고정축으로 놓고 '평면'이 휩쓰는 경우라고 이해하면 얼추 맞다. 일반적으로 그리스 문자
[math(Omega)](오메가)로 나타낸다.
스테라디안(steradian, [math(\rm sr)])을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; [math(\deg^2)] 혹은 [math(\degree^2)])를 단위로 하는 정의가 있다.
국제단위계의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다.
단위인
스테라디안([math(\rm sr)])은
라디안이 호도법의 각임을 명시하는 기능이 있는 것처럼 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(\pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(\rm\pi\,rad)])인지, 입체각([math(\rm\pi\,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다.
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 1이라면, 입체각의 수치는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다.
[math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0\underline\alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로
구면좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
천정각[1] [math(\theta)]가 [math(\theta=\alpha)]인 부채꼴에서 [math(z)]축을 중심으로 회전하는 방위각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\underline\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({\rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0\,{\rm d}\underline\theta)], [math(r_0\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({\rm d}A = {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다.
으로 구할 수 있다. [math(\underline\alpha=\pi)]인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 [math(\rm4\pi\,sr)]이 된다. [math(\Omega = 1\,\rm sr)]이 되게 하는 각 [math(\alpha)]의 값은 다음과 같다.
위 식에서 [math(\underline\alpha = \pi)]를 대입하면 구의 부피 [math(4 \pi r^3/3)]이 나온다.
단, 위에서 논한 [math(1{\rm\,sr})]을 형성하는 부채꼴 중심각 값은 어디까지나 원뿔면으로 방사될 경우에 해당하는 특수한 케이스로, 구면에 투사된 영역의 넓이가 [math(r^2)]과 같기만 하면 되기 때문에 [math(1{\rm\,sr})]을 특징 짓는 값은 하나로 정해지지 않는다.[4] 가장 간단하게는
후술하는 것처럼 [math({rm sr} = {rm rad^2})]이므로 각뿔면 형태로 방사되는 상황을 상정하면 천정각 [math(\theta)]와 방위각 [math(\phi)]에 대하여
이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(\rm O)]라고 하자.
우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 1인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.
그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.
이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({\rm d}\Omega)]를 고려하자.
즉, [math({\rm d}\underline\Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({\rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({\rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(\bf\hat n)]이라 하자. 면적소 [math({\rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(\bf\hat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({\rm d}a')]은 [math({\rm d}a)]의 정사영이므로
폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(\rm O)][8]의 위치를 주의해야 한다. (위 그림 참고.)
폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(\rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
[math(\underline\Omega=4\pi)]
이다. 그러나 [math(\rm O)]가 폐곡면 [math(S)]의 외부에 있다면 입체각은 [math(0{\rm\,sr})]이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다.
위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({\rm d}{\bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[9]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0{\rm\,sr})]이 된다.[10]
나아가 점 [math(\rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.
육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 곱해서 얻어진다.
엄밀하지는 않으나 이해하기 쉽게 말하자면 공간 상에서 직교하는 두 평면각이 각각 [math(x\degree)], [math(y\degree)]씩 벌어져서 만들어지는 영역의 입체각은 [math(xy\degree^2 = xy\,\deg^2)]이다.[11] 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1\degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 국제단위계에서는 평면각을
차원이 없는 물리량으로 약속하기 때문에(
각 문서 참조) 평방도 역시 차원이 없는 물리량으로 약속하고 있다.[주의]
예로부터
천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는
바다뱀자리로 약 [math(1303\,\deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는
남십자자리로 약 [math(68\,\deg^2)]이다.
초등적으로는 다음과 같이 비례관계식으로 구할 수 있다.
구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({z\pi r}/{180\degree})], [math({w\pi r}/{180\degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
[math( \begin{aligned} A &= r^2zw\left(\dfrac\pi{180\degree}\right)^2 \\&= r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \end{aligned})]
이 영역의 입체각은 [math(zw)]이고 구의 겉넓이가 [math(4\pi r^2)]이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 [math(\Omega_{\deg^2})]을 구할 수 있다.
즉 스테라디안은
라디안의 제곱으로 나타낼 수 있다.[13] 그러나 이것의 역, 즉 [math({\rm rad^2} = {\rm sr})]이 항상 물리학적으로 참은 아니다. 대표적으로 구심력의 가속도 크기는 [math(a = r(\omega/{\rm rad})^2 = r\omega^2/{\rm rad}^2)]인데, 여기서 [math(\rm rad^2)]은 각속도의 제곱을 풀어서 유도된 결과에 불과할 뿐 입체각의 의미를 내포하지는 않는다. 차원이 같은
베크렐과
헤르츠를 호환할 수 없다는 것과 같은 맥락이다.
앞서 라디안과 스테라디안의 관계식으로부터 각도에 대한 중요한 특성을 알 수 있는데, [math(\rm rad = 1)], [math(\rm sr = 1)], 즉 각도를
무차원량으로 약속하고 있는 국제단위계의 합의와는 다르게, 물리학적으로 각도는 무차원량일 수 없다는 것이다.[14] 입체각은 '한 점에서 공간을 향해 벌어진 정도', 평면각은 '한 점을 중심으로 평면상에서 벌어진 정도'를 의미하므로 둘은 같을 수 없으며, 국제단위계의 약속을 두 단위의 관계식에 대입하면 [math({\rm sr} = {\rm rad})], 즉 입체각과 평면각이 서로 같다는 모순에 빠진다.[15]
또한 각도가 무차원량이 아니라는 점은
차원분석의 근간이 되는 차원 동차성(dimensional homogeneity)의 원리에 따라 '회전량은 무차원량으로 다룬다'는
ISO의 합의[16] 역시 잘못되었음을 시사한다. 회전량이 곧 각도이기 때문이다. 이를테면 '회전'의 단위를 [math(\rm turn)]으로 나타낸다고 할 때, [math(1{\rm\,turn} = 2\pi{\rm\,rad})]이므로 [math(4\pi{\rm\,sr} = 4\pi{\rm\,rad^2} = \cfrac1\pi{\rm\,turn^2})] 이 되는데, ISO의 합의에 따르면 '1회전'은 그냥 '1'로만 나타내기로([math(\rm turn = 1)]) 되어 있으므로 이 관계식은 [math(4\pi{\rm\,sr} = \cfrac1\pi)]이 되지만, [math(4\pi{\rm\,sr})]은 '공간 전체로 퍼지는 입체각'이라는 의미가 있는 반면 [math(\cfrac1\pi)]는 '원주율의 역수'라는 의미밖에 없어 등호로 엮을 수 없다. 게다가 ISO의 저 합의는 국제단위계의 [math({\rm sr} = 1)]과도 상충[math(\biggl(4\pi{\rm\,sr} = 4\pi = \cfrac1\pi\biggr))]되며, 곧 각도를 무차원량으로 다뤄서는 안 된다는 점을 시사한다.
를 공간으로 퍼지는 입체각 [math(4\pi{\rm\,sr})]으로 나눠서 점광원으로 환산하고 광속 [math(c)]를 곱해서 단위 면적에 가해지는 일률(단위 [math({\rm W} = {\rm J/s})])로 나타낸 것이기 때문에 수식에 [math({\rm sr})]이 포함된다. 자세한 유도 과정은
흑체복사 문서 참고. [math(h)]는
플랑크 상수이다.
혹은 위 식으로부터 얻어지는 쿨롱 법칙 등의 상수 [math(1/4\pi\varepsilon_0)]의 [math(4\pi)]가 바로 한 점에서 공간으로 퍼지는 입체각의 수치 [math(\Omega/{\rm sr})]에서 유래된 것이다. 좀 더 정확하게는 공간으로 퍼지는 구 표면적 [math(A = \underline\Omega r^2 = 4\pi r^2)]당 작용하는 선속 [math(\varPhi = q/{\varepsilon_0})]이므로 구의 표면적에서 유래했다고 보는 게 정확할 것이다.
지구에서 위도 [math(\varphi_1)], [math(\varphi_2)], 경도 [math(\lambda_1)], [math(\lambda_2)](단, 단위는 모두 [math(\rm rad)])로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 [math(\phi = \lambda)]에 대응되며 위도는 적도, 즉 [math(xy)]평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면
로 주어지므로 입체각은 [math(|\sin\underline{\varphi_2} - \sin\underline{\varphi_1}||\underline{\lambda_2} - \underline{\lambda_1}|{\rm\,sr})]이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, [math(\varphi)], [math(\lambda)]가 육십분법 각이라고 하면 호도법의 수치로 환산했을 때 [math({\underline\varphi\pi}/{180})], [math({\underline\lambda\pi}/{180})]이므로 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다.
사람의 시야를 가늠해볼 수 있는
시야각 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다.
물리학에서
선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로,
가우스 법칙 문서를 보라.
광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다.
입체각을 이해했다면, 어떠한 물체를 단위 구면 상에 투사했을 때의 넓이라는 것도 알 수 있을 것이다. 지구 안의 관측자 입장에서
달과
태양은 거의 같은 크기로 관측되나, 지구로부터의 거리는 매우 다른데, 그렇게 관측되는 이유는
태양과
달의 입체각이 지구 안의 관측자에게 거의 같게 관측되기 때문이다.
입체각을 넘어 초입체각도 생각할 수 있다. 구를 기준으로 한 입체각의 정의를 임의의
초구로까지 확장한 것이다. 이를테면
4차원 위의 3차원 초구의 극좌표 표기로부터 얻어지는 초입체각은 평면각의 세제곱으로 나타나므로 등가 단위는 [math(\rm rad^3)]이 되고, 4차원 초공간을 메우는 초입체각의 크기는 [math(2\pi^2{\rm\,rad^3})]이다.
[1]
[math(z)]축 양의 방향을 기준으로 [math(xy)]평면을 향하여 벌어진 각
[2]
다시 말해,
실수임에도 이 수를 허수단위 [math(\boldsymbol i)] 없이 표현할 수 없다. 이 때문인지 스테라디안의 정의식에 잘 등장하지 않는다.
[3]
해당 값은
오일러 공식을 이용해
복소평면 위에서 재정의한 [math(arcsin)]에서 유도된다. 이렇게 재정의한 [math(\arcsin)]은
다가 함수이기 때문에 결괏값을 유일하게 하기 위해 분지 절단을 하는 것이다.
[4]
물론 자연에서 선속 등이 방사될 때는 원뿔면으로 퍼지는 게 가장 일반적이긴 하다.
[5]
그냥 [math(\theta)]가 아니고 [math(\cos\underline\theta)]인 이유는 구면상에서 [math(z)]축의 높이에 따라 방위각으로 인한 호의 길이가 달라지기 때문에 이를 보정하기 위해서이다. 수학적으로는 전술한 미소 입체각 [math({\rm d}\underline\Omega = \sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi)]를 [math(\underline\theta)], [math(\underline\phi)]에 대해 정적분한 것이라는 점을 떠올리면 된다.
응용 문단의 지구과학 부분도 참고.
[6]
이 입체각을 방위각 방향으로 [math(2\pi)]배하면 반구 범위로 벌어지는 입체각 [math(2\pi{\rm\,sr})]이 되고, 이는 공간 전체로 퍼지는 입체각 [math(4\pi{\rm\,sr})]의 딱 절반이다.
[7]
두 입체각의 천정각 폭이 [math(90\degree)], [math(60\degree)]로 다른 점에 주의. 위도 범위의 중심각을 바꾸면 그 각도의 폭도 바뀌어야 한다.
[8]
즉, 단위 구의 중점이 되는 점
[9]
사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.
[10]
이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0{\rm\,sr})]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.
[11]
정확하게는 후술하는
지구과학 분야의 공식처럼 가령 [math(x\degree)]가 천정각이라고 하고 [math(x\degree = x_2\degree-x_1\degree)]라고 할 때, 평방도 값은 [math(\cfrac{180}\pi{\biggl|\cos\cfrac{x_2\pi}{180} - \cos\cfrac{x_1\pi}{180}\biggr|y}\,\deg^2)]으로 구해야한다. 천정각 - 방위각 혹은 경도 - 위도 관계처럼 각 평면각을 포함하는 면이 직교하더라도 어느 한쪽의 각도가 다른 각의 성분을 포함하기 때문이다. 즉, 평면에 완전하게 수직한 것이 법선인 것처럼 방위각의 평면에 대하여 천정각의 [math(\cos)]값, 혹은 위도각의 [math(\sin)]값을 이용해서 구하는 게 정확한 방식이다.
[주의]
물리학적으로 이는 잘못된 약속이다.
후술할 차원에 대한 고찰 항목 참고
[13]
사실 호도법 각도로 적분했을 때에도 이 결과를 간단하게 유도할 수 있다. 앞서 입체각 수치의 미소량 [math({\rm d}\underline\Omega)]에 관하여 [math({\rm d}\underline\Omega = \cfrac{{\rm d}\Omega}{\rm sr} = \sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi = \sin\underline\theta\,\cfrac{{\rm d}\theta}{\rm rad}\,\cfrac{{\rm d}\phi}{\rm rad})]였으므로 양변의 단위를 비교하면 삼각함수의 값은 단위가 없으므로 결과적으로 [math({\rm sr} = {\rm rad}^2)]이어야 한다.
[14]
사실 [math({\rm rad} = 1)], [math({\rm sr} = 1)]이라는 약속은 각 물리량의 수치를 물리량 그 자체로 잘못 해석한 것에서 기인한 것으로 추정된다. 즉 [math(\theta = \cfrac lr{\rm\,rad})]으로 나타내야할 것을 [math(\theta = \cfrac lr)]로서 단위를 생략하는 잘못된 표기가 널리 퍼지다보니 저런 약속이 나오게 되었다는 것.
[15]
사실 마냥 [math({\rm rad} = 1)], [math({\rm sr} = 1)]로 약속하고 있지는 않고, 어떤 물리량이 각도를 포함할 경우에만 저 관계식을 적용할 수 있다고 덧붙이고 있는데, 어떤 경우에는 [math(\rm rad)]을 명시하고 어떤 경우에는 [math({\rm rad} = 1)]을 적용한다는 것부터 일관성이 없다는 점에서 문제가 있다.
[16]
3-6의 회전 이동(rotational displacement) 및 3-16의 회전(rotation) 항목에서 확인할 수 있다. 각 차원을 무차원량의 기호인 [math(\sf1)]로 나타냈다.