사영 정리

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 증명3. 따름정리4. 명칭에 대하여5. 기타

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1. 개요

geometric mean theorem[1] · 射影定理

[math(\angle {\rm A}=90 \degree)]인 직각삼각형 [math(\rm ABC)]에서 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm A)]에서 선분 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발이다.

이 때 다음 네 등식이 성립한다.[2]

[math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}^{2}&= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm BC} \\ \overline{\rm AC}^{2}&= \overline{\rm CH} \cdot \overline{\rm CB} \\ \overline{\rm AH}^{2}&= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm HC} \\ \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}&= \overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH}\end{aligned})]

2. 증명

첫 번째 식부터 세 번째 식까지는 내외로 중첩된 직각삼각형의 닮음을 이용해서 증명할 수 있다. 문제 상황은 아래의 그림과 같다.

[math(\triangle \rm ABC)]와 [math(\triangle \rm HBA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC} = \overline{\rm HB}:\overline{\rm BA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AB}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm BC})]가 성립한다.
[math(\triangle \rm ACH)]와 [math(\triangle \rm BCA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CH} = \overline{\rm BC}:\overline{\rm CA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AC}^{2}= \overline{\rm CH} \cdot \overline{\rm CB})]가 성립한다.
[math(\triangle \rm BAH)]와 [math(\triangle \rm ACH)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm BH}:\overline{\rm AH} = \overline{\rm AH}:\overline{\rm CH})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AH}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm HC})]가 성립한다.

네 번째 식은 삼각형의 넓이를 이용하여 증명할 수 있다. 즉,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}= \frac{1}{2}\overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH} \quad \to \quad \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm AC}= \overline{\rm BC} \cdot \overline{\rm AH} \end{aligned} )]

3. 따름정리

사영 정리를 이용해서 피타고라스 정리가 성립함을 보일 수 있다.

위 그림과 같은 상황을 고려하자. 사영 정리에 의하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=xa \\ b^{2}&=ya \end{aligned} )]

두 식을 더함으로써 [math(b^{2}+c^{2}=a(x+y))]을 얻는데, [math(x+y=a)]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}+c^{2}=a^{2} \end{aligned} )]

의 피타고라스 정리를 얻는다.

4. 명칭에 대하여

사영 정리라는 이름은 정사영에서 유래된 것으로 추정되며, 정사영에서 한 평면에 수선의 발을 내리듯 직각을 낀 꼭짓점에서 빗변에 수선의 발을 내린 것에서 유사점을 찾을 수 있다.

"사영 정리"라는 이름은 중국에서 유래되었으며, 영어 위키백과에서는 위 "개요"에서 위에서 3번째 식만이 "Geometric Mean Theorem"[3], "Right Triangle Altitude Theorem"[4]으로 등재되었다. 따라서 정사영의 "사영"을 직접적으로 번역한 "Projection Theorem"은 잘못된 명칭이다. 다만 중국에서는 정사영에서의 사영은 "투영(投影)", 사영 정리는 "사영(射影)"으로 표기하므로 유의하자.

5. 기타

사영 정리는 대한민국의 수학 교육과정에 직접적으로 포함되어 있지 않으나, 참고서에서는 중학교 2학년 2학기 도형의 닮음 단원에서 이 정리를 다루는 경우가 많다. 교과서에 직접적으로 있지 않으니 고난이도 기하 문제의 풀이를 쓸 때 "사영 정리"라는 말을 쓰면 억울하게 감점당할 수 있으므로 주의하자.
이 성질을 사용해 길이가 [math(a)], [math(b)]인 두 선분이 주어질 때, 길이가 [math(\sqrt{ab})]인 선분을 작도할 수 있다. 방법은 다음과 같다.

한 직선 위에 길이가 [math(a)], [math(b)]인 선분을 옮겨 길이가 [math(a+b)]인 선분을 작도한다. 길이가 [math(a)], [math(b)]인 선분이 만나는 점을 P라 하자.
길이가 [math(a+b)]인 선분을 지름으로 하는 반원을 그린다.
점 [math(\rm P)]에서 길이가 [math(a+b)]인 선분에 대한 수선과 반원의 교점을 [math(\rm Q)]라 할 때, [math(\overline{\rm PQ}=\sqrt{ab})]

[1] 아래 "명칭에 대하여" 참고 [2] 단, 엄밀히 말하면 네 번째 등식은 사영 정리가 아니다. 그럼에도 같이 쓴 이유는 이것이 같이 다뤄지는 경우가 많기 때문이다. [3] 직역시 "기하 평균 정리" [4] 직역시 "직각삼각형의 높이 정리"