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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스(Μενέλαος, Menelaos : 서기 70년경~140년)가 증명한 정리. 메넬라오스의 라틴어화된 이름을 따라서 메넬라우스(Menelaus)의 정리라고도 한다.2. 정리
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주어진 [math(\rm \triangle ABC)]에서 꼭짓점이 아닌 점 [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]가 각각 [math(\rm \overline{BC})], [math(\rm \overline{CA})], [math(\rm \overline{AB})] 위 혹은 각각의 연장선 위에 있다고 하자. 단, 세 점 모두 세 변 위에 있진 않다.[2] 이때, [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]가 한 직선 위의 점이면 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{EC}}{\overline{AE}}\times\frac{\overline{DB}}{\overline{CD}}\times\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}=1)] 이 성립한다. (단, 직선이 반드시 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관없다.) |
실전 기하 문제를 풀이할 때는 다음과 같이 기억하는 게 편리하다. [math(\rm E)]를 뚫고 들어가는 직선과 삼각형의 접점, [math(\rm D)]를 뚫고 나오는 직선과 삼각형의 접점으로 외운다. 이 때 '뚫고 들어가는'은 편의상으로 쓴 말이다. (이 때 직선이 뚫고 들어가서 분할된 삼각형 한 변 중 위쪽을 '분자', 아래쪽을 '분모'로 인식하면 편하다. 뚫고 나와서 분할된 변의 두 선분의 순서도 자동으로 분모·분자 순서가 반대로 정해지기 때문)
[math(\displaystyle \rm \frac{\overline{EC}}{\overline{AE}}\times\frac{\overline{DB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}})]
더 일반적인 형태를 소개하자면,
[math(\displaystyle \rm \frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{AE}} \times \frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{CD}} \times \frac{\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FB}} = -1,)]
에서 볼 수 있듯이, 선분 자체에 방향성을 부여해서 우변을 음수로 두는 꼴이다.
2.1. 증명
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[math(\displaystyle \rm \frac{\overline{BP}}{\overline{CP}}=\frac{\overline{BY}}{\overline{CZ}})]
또한 [math(\rm \triangle QCZ \sim \triangle QAX)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \rm \frac{\overline{CQ}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{CZ}}{\overline{AX}})]
[math(\rm \triangle RXA \sim \triangle RYB)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \rm \frac{\overline{AR}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{BY}})]
변변 곱하면 증명 끝.
또는 점 C에서 PR에 평행한 직선을 그어 증명해도 된다.(위와 같이 닮음을 이용함.)
여담이지만 PR을 x축으로 보면 닮음에 의해 y좌표로 한 방에 증명이 가능하다.(이를 일반화한 것이 '제자리 정리'다.)
제자리 정리에 대한 자세한 내용은 여기를 참고해라.
3. 역정리
이 정리의 역도 성립한다.|
[math({\displaystyle \rm \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1})]가 성립하면 [math(\rm P)], [math(\rm Q)], [math(\rm R)]는 한 직선 위의 점들이다.
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[math(\rm \overline{QR})]의 연장선의 교점과 [math(\rm \overline{BC})] 의 교점을 [math(\rm P')]이라 한 후, [math(\rm P)]와 [math(\rm P')]가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다.
일단 [math(\rm P',~Q,~R)]이 한 직선 위의 점들이므로, [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 )]이 성립한다.
한편, 원래 조건에서 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 )]도 성립하므로 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}} = \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}})]여야 한다.
이제, [math(\rm \overline{BC} = \it a)], [math(\rm \overline{\rm CP'} = \it b)], [math(\overline{\rm P'P} = \it x)]로 놓고 간단한 계산을 하면 [math(x=0)]임을 알 수 있다.
따라서 [math(\rm P)]와 [math(\rm P')]는 같은 점이므로, [math(\rm P,~Q,~R)]는 한 직선 위의 점들이다.
이 메넬라오스의 역정리가 세 점이 일직선 위에 있음을 증명하는 문제에서 자주 등장한다.
4. 일반화
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알아두면 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라오스 정리는 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} )]와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
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첫째, 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야 한다. 즉 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{QR}}{\overline{AQ}})] 같은 건 [math(\rm A,~Q,~R)]가 한 직선 위의 점들이 아니므로 안 되고 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}})] 같은 건 된다는 뜻. 둘째, 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[3] 즉 메넬라오스 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}} )] 같은 건 첫 항의 끝점이 [math(\rm B)]인데 다음 항의 시작점이 [math(\rm C)]이므로 안 된다. 셋째, 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{AQ}}{\overline{CA}} )] 같은 것은 [math(\rm A)]로 시작해서 [math(\rm Q)]로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다. |
즉, [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{CP}}{\overline{BC}}\times\frac{\overline{RQ}}{\overline{PR}}\times\frac{\overline{AC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{BR}} )] 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 [math(\rm R,~Q,~C)]같은 점이어도 상관 없다.
실제로 메넬라오스 정리의 [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} )] 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.
증명은 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다.
5. 여담
- 중학교 과정만으로 충분히 증명이 가능하고, 정리가 복잡해보이지만 의외로 쓰이는 경우가 상당하므로, 중첩된 삼각형에 관한 문제를 다룰 때 요긴하게 쓰인다. 주로 삼각형 중 '두 변에 대한 각 내분점끼리 연결한 선'과 교차하는 '다른 선분' 사이에서 나타나는 교점을 제시한 뒤, 새로운 관점에서 보일 수 있는 '내분 비'나 '넓이 비'를 묻는 문제에서 풀이 시간을 절약할 수 있다. 학력평가 등에서는 확실히 체바 정리보다 적용할 수 있는 문제가 많은 편에 속한다.
6. 관련 문서
[1]
사진 출처: 위키피디아
[2]
이 경우 체바 정리가 된다.
[3]
여기서 '시작점'과 '끝점'을 엄밀히 정의할 수는 있지만 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가기로 한다. [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}})]에서는 [math(\rm A)]가 '시작점'이고 [math(\rm C)]가 '끝점'이다.
[4]
Menelaus’ theorem 메카토(의) 정리, Mercator projection 메카토 사영, oblique Mercator projection 메카토의 비스듬한 사영도법으로 번역되어있는 것만 봐도, 뒤의 2개는 게라르두스 메르카토르의 이름을 딴 것으로 수학이라기 보다는 지리학 용어로, 메르카토르 도법으로 널리 쓰이니까 논외로 하고, oblique Mercator projection도 지리학계의 표기례에 맞추어야 한다. 앞의 것이 바로 문제가 되는 부분인데 이 정리와 메르카토르, 메카토로 적힐 수 있는 학자는 관계가 없기 때문에, 이것은 명백하게 착오로 잘못 들어간 것이다.