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최근 수정 시각 : 2024-07-22 03:53:38

격자(수학)



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1. 개요2. 정의
2.1. 순서를 이용한 정의
2.1.1. 부분순서집합2.1.2. 상한과 하한2.1.3. 반격자와 격자
2.2. 대수학적 정의2.3. 두 정의 사이의 관계
3. 종류
3.1. 유계격자3.2. 여원을 가지는 격자3.3. 분배격자3.4. 전순서집합3.5. 불 격자

1. 개요

lattice

격자는 임의의 원소쌍의 상한과 하한이 존재하는 부분순서집합을 뜻한다. 격자는 크게 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 둘 다 같은 대상을 나타낸다.

2. 정의

2.1. 순서를 이용한 정의

2.1.1. 부분순서집합

집합 [math(A)]에 대해 다음 조건을 만족하는 이항관계 [math({\preceq}\bigl(\subseteq A^2\bigr))]를 부분순서[partial order]라고 한다.
부분순서는 어떤 두 원소 사이에 순서 관계가 있음을 나타내지만, 꼭 모든 원소 사이에 순서 관계가 있을 필요는 없다. 예를 들어, 집합의 부분집합 관계 [math(\subseteq)]를 생각하자. 이 관계는 다음과 같이 반사성, 비대칭성, 추이성을 모두 만족하므로 부분순서이다.
부분순서 [math({\preceq})]가 주어진 집합 [math(A)]를 부분순서집합\[partially ordered set, poset\]이라고 하고, [math((A,{\preceq}))]로 표기한다. 앞에서 [math({\subseteq})]가 부분순서임을 알았으므로 원소가 집합인 임의의 집합은 부분순서집합임을 알 수 있다. 예를 들어, 집합 [math(P=\{\{1\},\{1,2\},\{2,3\}\})]이라고 정의된 집합 [math(P)]는 부분순서 [math({\subseteq})][1]를 가지므로 부분순서집합이고, [math((P,{\subseteq}))]로 표기한다. 같은 방식으로 [math(Q=\{\{1\},\{3\},\{1,2,3\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\})]라고 정의된 집합 [math(Q)]와 부분순서 [math({\subseteq})][2]로 구성된 [math((Q,{\subseteq}))]도 부분순서집합이다. 집합이 아닌 원소를 가지는 예시로는 [math(R=\{1,e,\pi\})]라고 정의된 집합 [math(R)]와 부분순서 [math({\le})][3]로 구성된 부분순서집합 [math((R,{\le}))]가 있다.

집합 [math(A)]에 대해 다음 조건을 만족하는 이항관계 [math({\prec}\bigl(\subseteq A^2\bigr))]를 순부분순서[strict partial order]라고 한다.
순부분순서의 예시로는 진부분집합 관계 [math({\subset})]가 있다. 사실 임의의 부분순서에 대해, 부분순서에서 반사적인 원소만 빼는 방식으로 순부분순서를 자연스럽게 정의할 수 있다. 예를 들어 앞의 [math((P,{\subseteq}))]에서 순부분순서 [math({\subset})]를 [math({\subset}=\{(\{1\},\{1,2\})\})]라고 정의할 수 있다. 이제부터는 임의의 부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]에 대해, 부분순서 [math({\preceq})]와 순부분순서 [math({\prec})], 그리고 이의 역관계 [math({\succeq})]와 [math({\succ})]를 자연스럽게 정의해 사용하기로 한다. 주의해야 할 것은, [math({\npreceq})]와 [math({\succ})]가 같을 이유가 없고, [math({\nprec})]와 [math({\succeq})]가 같을 이유가 없다는 점이다.

2.1.2. 상한과 하한

부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해 [math(g\nprec a)]를 만족하는 원소 [math(g(\in A))]를 [math(A)]의 극대원소\[maximal element\]라고 한다. 또, 임의의 원소 [math(a(\in A))]에 대해 [math(m\nsucc a)]를 만족하는 원소 [math(m(\in A))]을 [math(A)]의 극소원소\[minimal element\]라고 한다. 부분순서집합에서 극대원소와 극소원소는 하나만 존재할 수도, 여러 개가 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 앞에서 본 [math((P,{\subseteq}))]의 극대원소로는 [math(\{1,2\})], [math(\{2,3\})]이 있고, 극소원소로는 [math(\{1\})], [math(\{2,3\})]이 있다. [math((Q,{\subseteq}))]의 극대원소로는 [math(\{1,2,3,4\})]가 유일하며, 극소원소로는 [math(\{1\})], [math(\{3\})]이 있다. 또, [math((R,{\le}))]의 극대원소로는 [math(\pi)]가 유일하고, 극소원소로는 [math(1)]이 유일하다.

부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해 [math(g\succeq a)]를 만족하는 원소 [math(g(\in A))]를 [math(A)]의 최대원소\[greatest element\]라고 한다. 또, 임의의 원소 [math(a(\in A))]에 대해 [math(m\preceq a)]를 만족하는 원소 [math(m(\in A))]을 [math(A)]의 최소원소\[least element\]라고 한다. 부분순서집합에서 최대원소와 최소원소는 존재하지 않을 수도 있지만, 존재한다면 유일하다. 예를 들어, [math((P,{\subseteq}))]에서는 최대원소와 최소원소 모두 존재하지 않지만, [math((Q,{\subseteq}))]에서는 최대원소만 [math(\{1,2,3,4\})]로 유일하게 존재한다. [math((R,{\le}))]에서는 최대원소와 최소원소가 각각 [math(\pi)], [math(1)]로 둘 다 유일하게 존재한다.

부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]의 부분집합 [math(B)]를 생각하자. 임의의 원소 [math(b(\in B))]에 대해 [math(g\succeq b)]를 만족하는 원소 [math(g(\in A))]를 [math(B)]의 상계\[upper bound\]라고 한다. 또, 임의의 원소 [math(b(\in B))]에 대해 [math(m\preceq b)]를 만족하는 원소 [math(m(\in A))]을 [math(B)]의 하계\[lower bound\]라고 한다. 상계와 하계는 굳이 [math(B)]의 원소일 필요가 없으며, 하나만 존재할 수도, 여러 개가 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어, [math((P,{\subseteq}))]의 부분집합 [math(\{\{1,2\},\{2,3\}\})]은 상계와 하계를 가지지 않지만, 부분집합 [math(\{\{1,2\}\})]는 상계로는 [math(\{1,2\})]를, 하계로는 [math(\{1\})]과 [math(\{1,2\})]를 가진다.

부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]와 부분집합 [math(B)]에 대해, [math(B)]의 상계 중 최소인 원소를 [math(B)]의 상한\[supremum\] 또는 최소상계\[least upper bound\]라고 하고, [math(B)]의 하한 중 최대인 원소를 [math(B)]의 하한\[infimum\] 또는 최대하계\[greatest lower bound\]라고 한다. 상한과 하한은 존재하지 않을 수도 있지만, 존재하다면 유일하다. 예를 들어, [math((Q,{\subseteq}))]의 부분집합 [math(\{\{1,2,3\},\{1,3,4\}\})]는 상계로 [math(\{1,2,3,4\})]를 가지며 이 집합이 상한이다. 하지만, 하계로는 [math(\{1\})]과 [math(\{3\})]을 가짐에도 불구하고 최소원소가 없어 하한은 존재하지 않는다.

2.1.3. 반격자와 격자

이제 격자를 정의하자. 임의의 원소쌍의 상한이 존재하는 부분순서집합을 이음반격자\[join-semilattice\]라고 한다. 상한은 존재하면 유일하므로 이음반격자의 임의의 원소쌍의 상한은 유일하게 존재한다. 예를 들어, [math((P,{\subseteq}))]와 [math((Q,{\subseteq}))]는 각각 원소쌍 [math(\{\{1,2\},\{2,3\}\})], [math(\{\{1\},\{3\}\})]의 상한이 존재하지 않으므로 이음반격자가 아니다. 하지만, [math((R,{\le}))]는 각각 임의의 원소쌍의 상한이 존재하므로 이음반격자이다. 임의의 원소쌍의 하한이 존재하는 부분순서집합을 만남반격자\[meet-semilattice\]라고 한다. 하한은 존재하면 유일하므로 이음반격자의 임의의 원소쌍의 하한은 유일하게 존재한다. 예를 들어, [math((P,{\subseteq}))]와 [math((Q,{\subseteq}))]는 각각 원소쌍 [math(\{\{1,2\},\{2,3\}\})], [math(\{\{1\},\{3\}\})]의 하한이 존재하지 않으므로 만남반격자가 아니다. 하지만, [math((R,{\le}))]는 임의의 원소쌍의 하한이 존재하므로 만남반격자이다. 이음반격자와 만남반격자를 통틀어 반격자\[semilattice\]라고 한다.

이음반격자이면서 만남반격자인 부분순서집합, 즉, 임의의 원소쌍의 상한과 하한이 존재하는 부분순서집합을 격자\[lattice\]라고 한다. [math((R,{\le}))]는 이음반격자이면서 만남반격자이므로 격자이다.

다음은 순서를 이용해 정의한 격자의 예시이다.

2.2. 대수학적 정의

이번에는 대수학적으로 격자를 정의한다. 다음 조건을 만족하는 연산 [math({\land}:S^2\rightarrow S)]을 가지는 집합 [math(S)]를 반격자\[semilattice\]라고 하고, [math((S,{\land}))]로 표기한다.
다음 조건을 만족하는 연산 [math({\lor}:L^2\rightarrow L)]과 [math({\land}:L^2\rightarrow L)]을 가지는 집합 [math(L)]을 격자\[lattice\]라고 하고, [math((L,{\lor},{\land}))]로 표기한다. 이때 [math({\lor})]을 이음 연산, [math({\land})]을 만남 연산이라고 한다.
다음은 대수학적으로 정의한 격자의 예시이다.

2.3. 두 정의 사이의 관계

이제 두 정의가 같음을 보인다. 먼저 순서를 이용해 정의한 격자 [math((A,{\preceq}))]를 생각하자. [math(A)] 위의 이항연산 [math({\lor}:A^2\rightarrow A)]과 [math({\land}:A^2\rightarrow A)]을 각각 원소쌍의 상한과 하한으로 정의한다. 즉, 임의의 원소 [math(a,b(\in A))]에 대해 [math(a\lor b)]와 [math(a\land b)]는 각각 [math(\{a,b\})]의 상한과 하한을 나타낸다. 격자의 정의에서 원소쌍의 상한과 하한이 유일하게 존재하므로 두 연산이 잘 정의됨을 알 수 있다. 이제 이 두 연산이 대수학적 정의를 만족함을 보이자. 따라서 순서를 이용해 정의한 격자가 격자의 대수학적 정의를 만족함을 알 수 있다.

이번에는 대수학적으로 정의한 격자 [math((L,{\lor},{\land}))]을 생각하자. [math(L)] 위의 이항관계 [math({\preceq}\bigl(\subseteq L^2\bigr))]를 [math({\preceq}=\bigl\{(a,b)\in L^2\mathbin|a\lor b=b\bigr\})]이라고 정의한다. 먼저 이 관계가 부분순서임을 보이자. 따라서 [math({\preceq})]가 부분순서이고 [math((L,{\preceq}))]이 부분순서집합임을 알 수 있다. 이제 [math(L)]의 임의의 원소쌍 [math(\{a,b\})]의 상한과 하한이 존재함을 보이자.

[math(a\lor(a\lor b)=(a\lor a)\lor b=a\lor b)]에서 [math(a\preceq a\lor b)]이고, [math(b\lor(a\lor b)=(a\lor b)\lor b=a\lor(b\lor b)=a\lor b)]에서 [math(b\preceq a\lor b)]이므로, [math(a\lor b)]는 [math(\{a,b\})]의 상계이다. 또, [math(\{a,b\})]의 임의의 상계 [math(g(\in L))]에 대해, [math(a\lor g=g)], [math(b\lor g=g)]에서 [math((a\lor b)\lor g=a\lor(b\lor g)=a\lor g=g)]이므로 [math(a\lor b\preceq g)]이다. 따라서 [math(a\lor b)]는 [math(\{a,b\})]의 상한이다. 같은 방식으로 [math(a\land b)]가 [math(\{a,b\})]의 하한임도 보일 수 있다.[7]

따라서 대수학적으로 정의한 격자가 순서를 이용한 격자의 정의를 만족함을 알 수 있고, 두 정의가 같은 대상을 나타냄을 알 수 있다. 두 정의 문단에서 보인 격자 예시는 순서대로 같은 격자를 나타낸다. 즉, [math((\R,{\le})=(\R,\max,\min))]이고, [math((\mathcal P(A),{\subseteq})=(\mathcal P(A),{\cup},{\cap}))], [math((\Z^+,|)=(\Z^+,\mathrm{lcm},\gcd))]이다. 일반적으로 순서를 이용해 정의한 격자에서는 이음 연산과 만남 연산을 각각 원소쌍의 상한과 하한으로 자연스럽게 정의할 수 있고, 대수학적으로 정의한 격자에서는 부분순서를 [math(a\preceq b\Leftrightarrow a\lor b=b\Leftrightarrow a\land b=a)]이라고 자연스럽게 정의할 수 있다.

3. 종류

3.1. 유계격자

최대원소와 최소원소가 존재하는 격자를 유계격자\[bounded lattice\]라고 한다. 예를 들어, 격자 [math((\mathcal P(\{1,2,3\}),\subseteq))]은 최대원소 [math(\{1,2,3\})]과 최소원소 [math(\varnothing)]을 가지고, 격자 [math(([0,1],\le))]은 최대원소 [math(1)]과 최소원소 [math(0)]을 가지므로 모두 유계격자이지만, 격자 [math((\R,\le))]는 최대원소와 최소원소 모두 존재하지 않으므로 유계격자가 아니다. 일반적으로 최대원소는 [math(1)], 최소원소는 [math(0)]으로 표기한다.

3.2. 여원을 가지는 격자

유계격자 [math((A,\preceq))]의 어떤 원소 [math(a)]에 대해, [math(a\lor b=1)]과 [math(a\land b=0)]을 만족하는 원소 [math(b(\in A))]를 [math(a)]의 여원\[complement\]이라고 한다. 예를 들어, [math(0)]의 여원은 [math(1)]뿐이고, [math(1)]의 여원은 [math(0)]뿐이다. 여원은 원소에 따라 하나만 존재할 수도, 여러 개가 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있다. 모든 원소가 여원을 가지는 유계격자를 여원을 가지는 격자\[complemented lattice\]라고 한다. 예를 들어, 유계격자 [math((\mathcal P(\{1,2,3\}),\subseteq))]은 임의의 원소 [math(a(\in\mathcal P(\{1,2,3\})))]에 대해 여원 [math(\{1,2,3\}\setminus a(\in\mathcal P(\{1,2,3\})))]를 가지므로 여원을 가지는 격자이다. 하지만, 유계격자 [math(([0,1],\le))]은 원소 [math(\dfrac{1}{2})]의 여원이 존재하지 않으므로 여원을 가지는 격자가 아니다.

3.3. 분배격자

이음 연산 [math(\lor)]과 만남 연산 [math(\land)]이 다음 조건을 만족하는 격자 [math((L,\lor,\land))]을 분배격자\[distributive lattice\]라고 한다.
예를 들어, 격자 [math((\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2,3\}\},\subseteq))]은 [math(\{1\}\land(\{2\}\lor\{3\})=\{1\}\land\{1,2,3\}=\{1\})]이지만 [math((\{1\}\land\{2\})\lor(\{1\}\land\{3\})=\varnothing\lor\varnothing=\varnothing)]이므로 분배격자가 아니다. 하지만, 격자 [math((\R,\le))]는 이음 연산 [math(\max)]와 만남 연산 [math(\min)] 사이의 분배법칙이 성립하므로 분배격자이다.

3.4. 전순서집합

집합 [math(A)]에 대해 다음 조건을 만족하는 이항관계 [math({\preceq}\bigl(\subseteq A^2\bigr))]를 전순서[total order]라고 한다.
전순서는 임의의 두 원소 사이에 순서 관계가 있음을 나타낸다. 전순서가 주어진 집합을 전순서집합\[totally ordered set\]이라고 한다.

집합 [math(A)]에 대해 다음 조건을 만족하는 이항관계 [math({\prec}\bigl(\subseteq A^2\bigr))]를 순전순서\[strict total order\]라고 한다.
순전순서는 순부분순서와 비슷하게 전순서에서 반사적인 원소만 빼는 방식으로 자연스럽게 정의할 수 있다.

전순서는 부분순서이므로 전순서 [math({\preceq})]가 주어진 집합 [math(A)]를 부분순서집합 [math((A,{\preceq}))]로 생각할 수 있다. 이제 이 전순서집합이 격자임을 보이자. 임의의 원소 [math(a,b(\in A))]에 대해 일반성을 잃지 않고 [math(a\preceq b)]라고 가정하자. [math(b\succeq a)], [math(b\succeq b)]에서 [math(b)]는 [math(\{a,b\})]의 상계이고, [math(\{a,b\})]의 임의의 상계 [math(g(\in A))]에 대해 [math(b\preceq g)]이므로 [math(b)]는 [math(\{a,b\})]의 상한이다. 같은 방식으로 [math(a)]가 [math(\{a,b\})]의 하한임도 보일 수 있다. 따라서 [math((A,{\preceq}))]는 격자이다.

추가적으로 [math((A,{\preceq}))]의 이음 연산과 만남 연산이 분배법칙을 만족함을 보일 수 있다. 임의의 원소 [math(a,b,c(\in A))]에 대해, 가능한 순서 관계는 [math(a\preceq b\preceq c)], [math(a\preceq c\preceq b)], [math(b\preceq a\preceq c)], [math(b\preceq c\preceq a)], [math(c\preceq a\preceq b)], [math(c\preceq b\preceq a)]의 6가지뿐이다. [math(a\preceq b\preceq c)]인 경우, [math(a\land(b\lor c)=a\land c=a)], [math((a\land b)\lor(a\land c)=a\lor a=a)]에서 [math(a\land(b\lor c)=(a\land b)\lor(a\land c))]이다. 같은 방식으로 나머지 5가지 경우에 대해서 분배법칙이 성립함도 보일 수 있다. 따라서 이음 연산과 만남 연산이 분배법칙을 만족하므로 [math((A,{\preceq}))]는 분배격자이다.

3.5. 불 격자

여원을 가지는 격자이면서 분배격자인 격자를 불 격자\[Boolean lattice\] 또는 불 대수\[Boolean algebra\]라고 한다. 불 격자는 임의의 원소의 여원이 유일하게 존재한다는 성질이 있다. 불 격자 [math((A,{\preceq}))]의 어떤 원소 [math(a)]가 서로 다른 여원 [math(b,c(\in A))]를 가진다고 가정하자. 그러면 [math(b=b\land1=b\land(a\lor c)=(b\land a)\lor(b\land c)=0\lor(b\land c)=(a\land c)\lor(b\land c)=(a\lor b)\land c=1\land c=c)]에서 모순이 발생한다. 따라서 불 격자의 임의의 원소는 각각 유일한 여원을 가진다. 그래서 추가로 여원 연산 [math(\lnot)]을 정의할 수 있다.

임의의 유한 불 격자는 어떤 유한집합의 멱집합과 부분순서 [math({\subseteq})]로 구성된 격자와 동치이다. 유한멱집합의 원소의 개수는 [math(2)]의 거듭제곱수이므로 유한 불 격자의 원소의 개수도 [math(2)]의 거듭제곱수이다. 원소의 개수가 가장 작은 불 격자는 원소의 개수가 [math(1\bigl(=2^0\bigr))]인 불 격자이다. 이를 자명한 불 격자라고 하며, 여기서는 [math(0=1)]이 성립한다.

자명하지 않은 불 격자 중 원소의 개수가 최소인 격자는, 보통 불 대수라고 하면 떠올리는, 원소의 개수가 [math(2bigl(=2^1bigr))]인 불 격자이다. [math(0)]은 거짓, [math(1)]은 참, [math({\lor})]은 논리합 연산, [math({\land})]은 논리곱 연산, [math(\lnot)]은 부정 연산이라고 생각하면 모두 잘 작동함을 알 수 있다.
[1] 여기서는 [math({\subseteq}=\{(\{1\},\{1\}),(\{1\},\{1,2\}),(\{1,2\},\{1,2\}),(\{2,3\},\{2,3\})\})]이다. [2] 여기서는 [math({\subseteq}=\{(\{1\},\{1\}),(\{1\},\{1,2,3\}),{\cdots},(\{1,2,3,4\},\{1,2,3,4\})\})]이다. [3] 여기서는 [math({\le}=\{(1,1),(1,e),(1,\pi),(e,e),(e,\pi),(\pi,\pi)\})]이다. [4] 비대칭성은 비반사성과 추이성에서 유도할 수 있으므로 조건에서 빼기도 한다. 여기서는 부분순서와의 비교를 위해 명시했다. [5] [math(m\mathbin|n)]은 [math(n)]이 [math(m)]으로 나누어떨어짐을 나타낸다. 예를 들어, [math(2\mathbin|4)]이다. [6] 멱등법칙은 흡수법칙에서 유도할 수 있으므로 조건에서 빼기도 한다. 여기서는 반격자와의 비교를 위해 명시했다. [7] 참고로 [math(a\lor b=b)]이면 [math(a\land b=a\land(a\lor b)=a)]이고, [math(a\land b=a)]이면 [math(a\lor b=(a\land b)\lor b=b\lor(a\land b)=b\lor(b\land a)=b)]이다. 따라서 [math({\preceq}=\bigl\{(a,b)\in L^2\mathbin|a\land b=a\bigr\})]라고 생각할 수 있다. [8] 이것만 만족하면 임의의 원소 [math(a,b,c(\in L))]에 대해 [math(a\lor(b\land c)=(a\lor b)\land(a\lor c))]이기도 하다. [9] 비대칭성은 비반사성과 추이성에서 유도할 수 있으므로 조건에서 빼기도 한다. 여기서는 전순서와의 비교를 위해 명시했다.

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