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절대부등식 Inequalities |
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코시-슈바르츠 부등식 | 산술·기하 평균 부등식 |
| [math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))] | [math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})] | |
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| 합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다. | }}}}}}}}} | |
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1. 개요
산술·기하 평균 부등식( 算 術· 幾 何 平 均 不 等 式, arithmetic mean-geometric mean inequality) 또는 AM-GM 부등식은 절대부등식의 하나로, 관찰값들의 산술 평균이 항상 기하 평균보다 크거나 같음을 의미한다. 산술 평균과 기하 평균이 같은 경우는 모든 실수항인 관찰값이 동일한 경우이다.코시-슈바르츠 부등식과 함께 고등학교 교육과정에 포함되어 있다. 까다로운 최대/최솟값 문제를 풀 때 심심치 않게 쓴다.
2. 산술 평균과 기하 평균의 특성
2.1. 산술 평균
의
산술 평균
부분을
참고하십시오.Arithmetic Mean
{{{#!wiki style="text-align:center"
가장 일반적으로 사람들이 생각하는 평균으로 다 합쳐서 개수만큼 나눠서 얻을 수 있다. 각각의 관찰값 a들의 총합을 n으로 나눈 값이라고 말하기도 한다. 어찌 보면 당연한 사실이겠지만 모든 관찰값들에 동일하게 임의의 x값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 뒤 다시 평균을 내면 평균에도 동일한 값이 계산된 결과가 나온다.
2.2. 기하 평균
의
기하 평균
부분을
참고하십시오.Geometric Mean
{{{#!wiki style="text-align:center"
수들을 모두 곱해서 n 제곱근을 취해서 얻는 평균.
기하 평균은 예를 들어 연간 경제성장률, 물가인상율, 연간 이자율, 감쇠/증폭율, 백분비, 크기 확대 비율 같이 표본들이 비율이나 배수이고 각 표본값이 연속성/연계성이 있어서 표본들을 곱한 값이 의미가 있는 경우에 주로 쓰인다. 예를 들어 한국의 2000년 부터 2010년까지 평균경제성장률 등.
3. 산술·기하 평균 부등식
산술·기하 평균 부등식
[math(n)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]가 모두 음 아닌 수라고 하자.[1] 그러면,{{{#!wiki style="margin:10px 0;text-align:center"
[math(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n})]}}}가 성립한다. 단, 등호는 [math(a_1=a_2=\cdots=a_n)]일 때만 성립.[math(n)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]가 모두 음 아닌 수라고 하자.[1] 그러면,{{{#!wiki style="margin:10px 0;text-align:center"
3.1. 증명
3.1.1. 수학적 귀납법을 이용한 증명
워낙 유명한 절대부등식이기 때문에 매우 많은 증명이 존재하는데 보통 수학적 귀납법을 사용한다. 아래의 증명은 오귀스탱루이 코시가 1821년에 쓴 Cours d'Analyse에 나오는 증명으로 흔히 아는 'n=1에서 성립하고, n에서 성립하면 n+1에서 성립한다' 보다 조금 더 복잡하다. 물론 그냥 귀납법으로 증명하는 것도 가능하다. 위키백과만 뒤져봐도 4가지 서로 다른 증명이 나온다.|
① [math(n=1)]일 때는 당연하고, 자주 이용할 [math(n=2)]일 때를 보자. 이 때 증명하고자 하는 것은 [math(\dfrac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2})], 즉 이는 [math(\dfrac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}\right)^2\geq0)] 이므로 성립한다. ② [math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때 성립함을 보이자. [math(2n)]개의 양수를 [math(a_1,a_2,\dots,a_{2n})]라 하자. 가정에 의해, [math(m_1=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq g_1=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n)] [math(m_2=\dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}}{n}\geq g_2=\left(a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\right)^\frac1n)] 의 두 부등식이 성립한다. 두개씩 끊어서 비교하면 쉽게 구할 수 있다. 또한, 우리는 [math(n=2)]일 때의 산술·기하 평균 부등식을 사용 가능하다. [math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n}=\dfrac{m_1+m_2}{2}\geq\dfrac{g_1+g_2}{2}\geq\left(g_1g_2\right)^{1/2}=\left(a_1a_2\cdots a_{2n}\right)^{1/2n})] 따라서, [math(n)]일 때 성립하면 [math(2n)]일 때도 성립한다. ③ [math(n)]일 때 성립하면 [math(n-1)]일 때 성립함을 보이자. 임의의 [math(n-1)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_{n-1})]에 대해, [math(a_n)]을 저 [math(n-1)]개의 수의 산술평균으로 두자. 그리고 전체 [math(n)]개의 수의 산술평균을 계산하면 [math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\,\left(=a_n\right))] 이 되어, 원래 [math(n-1)]개 수의 산술평균과 같은 값임을 알 수 있다. 또한, [math(n-1)]개 수의 기하평균을 [math(g)]로 두자. 이제 보이고자 하는 것은 [math(a_n\ge g)]인데, 가정에 의해 n개의 수에 대해 산술·기하 평균 부등식이 성립하므로 [math(a_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n={a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})] 즉 [math(a_n\ge {a_n}^{1/n}g^{(n-1)/n})]이고, [math({a_n}^{(n-1)/n}\ge g^{(n-1)/n})], [math(a_n\ge g)]이다. 따라서 [math(n)]에서 성립하면 [math(n-1)]일 때도 성립한다. ①②③에 의해 모든 자연수 [math(n)]에 대해 성립한다. 왜냐하면, ②에 의해 [math(2^m)]꼴의 모든 자연수에 대해서 성립하며, ③에 의해 [math(2^m)]보다 작은 모든 자연수에 대해서 성립하게 되는데, 모든 자연수는 자신보다 큰 [math(2^m)]꼴의 자연수를 당연히 가지기 때문이다. |
3.1.2. 자연로그의 밑을 이용한 증명
자연로그의 밑 [math(e)]를 이용한 증명도 존재한다. [math(e^{x-1}\ge x)]를 이용하는데, 이는 [math(f(x)=e^{x-1}-x)]로 놓고 [math(f'(x))]를 통하여 증명 가능하다.|
{{{#!wiki style="" [math(X=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n})]라 하면 다음이 성립한다. |
<tablealign=center>[math(\begin{aligned}e^{(a_1/X)-1}&\ge\dfrac{a_1}{X}\\e^{(a_2/X)-1}&\ge\dfrac{a_2}{X}\\ &\vdots\\e^{(a_n/X)-1}&\ge\dfrac{a_n}{X}\end{aligned})] |
[math(e^{(a_1+a_2+\cdots+a_n)/X-n}\ge\dfrac{a_1}{X}\dfrac{a_2}{X}\cdots\dfrac{a_n}{X})]
이때 [math(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n=n-n=0)], 따라서
| [math(\begin{aligned}e^0=1&\ge\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{X^n}\\X^n&\ge a_1a_2\cdots a_n\\ \therefore\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}&\ge\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac1n\end{aligned})] | }}} |
4. 주의사항
이 부등식을 이용하여 최댓값 혹은 최솟값을 구하는 경우는, 다음과 같은 경우이다.- 두 수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구한다.
- 두 수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구한다.
5. 기타
역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업 논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다.
[math(\dfrac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\dfrac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)^\frac1n)]
양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어 있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.
6. 관련 문서
[1]
즉 모든 변량이 음 아닌 실수 전제하에