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1. 개요
Black-Scholes Model[1]
피셔 블랙과 마이런 숄즈가 알베르트 아인슈타인의 브라운 운동 방정식으로부터 1973년에 고안[2]해낸, 유럽형 옵션의 가격을 산출하는 방정식이다. 이후 로버트 머튼이 참여하여, '블랙 숄즈 방정식'이란 이름을 붙인다. 숄즈와 머튼은 이후 1997년에 노벨경제학상을 받게 되는데, 피셔 블랙은 1995년에 사망하여 받지 못했다.[3]
이 방정식의 발견으로 인하여 옵션시장은 급속히 성장하고, CBOE같은 옵션 상품 거래소가 활성화되었다. 주식같은 경우에는 고든의 배당할인모형 등 여러 가치평가 모형이 있었지만 블랙과 숄즈의 발견 이전에는 옵션의 가치를 정확히 평가하는 모형이 없었기 때문이다. 특히 가격도(moneyness)가 ITM에서 OTM으로 바뀌는 순간 급격히 변하는 비선형적 가격변동은 공정한 옵션의 가격을 평가하는데 큰 어려움을 더했었다.
블랙과 숄즈의 학문적 공헌은, 어떤 옵션이 가진 위험을 기초자산을 정확한 비율로 사고 파는 것을 통해서 완벽히 헤지할 수 있다는 것을 발견한 것이다. 더 정확히 말하면 옵션의 가격 변화가 기초자산의 가격 변화와 어떤 관계가 있는지 비율을 계산해낸 것이다.
2. 기본원리
주식의 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하자. 그러면 현재 가격 100원짜리 주식이 한달 후 110원이 될 확률을 계산할 수 있다. 콜옵션의 가격은 (만기의 주식 가격 - 행사 가격, 0 이하일때는 버림)이 되므로 110원일때 행사가격 100원짜리 콜옵션의 가치는 10원이다. 옵션의 기대값을 구하려면, (10원×주식이 110원이 될 확률) 이렇게 곱하면 된다. 정규분포를 쓰기 때문에 주식이 만기에 어떤 가격이 될지 모든 가격마다 확률 계산이 가능한데, 각 경우 마다 (콜옵션 값어치×각각의 확률) 한다음 모든 경우를 더하면 (적분하면) 끝.요새는 무한급수의 식으로도 간단히 도출이 가능하지만, 블랙과 숄즈가 이걸 개발할 때만 해도 체계가 덜 잡혔을 때라, 좀 복잡한 방식으로 유도한 감이 있다. 블랙 숄즈 방정식을 한마디로 말하면 옵션 가격의 기대값을 구하는 식이다. 그래서 평균값을 구하는 공식이지 물리 법칙마냥 매번 맞는게 아니다. 이 방정식을 처음 배우는 학생들이 흔히 하는 착각.
오리지널 블랙 숄츠 모델은 다음과 같은 가정들이 필요하다. 그러나 몇몇은 조금 변형시켜서 적용이 가능하다.
자산(asset)에 대한 가정
- 무위험자산: 변화 없이 일정한 수익을 주는 채권이 존재한다. '무위험 수익률'이라고 부르며 보통 미국 국채(T-Bill)의 수익률을 쓴다.
- 랜덤워크(random walk): 주식의 수익률은 정규분포 ( 브라운 운동)을 따른다. 더 자세히 서술하면 가격이 로그 정규분포를 따른다. 왜 수익률은 정규분포고 가격은 로그 정규분포냐 하면, 가격에 로그를 붙여서 수익률을 구할 수 있기 때문이다. 로그 수익률이라는 것은 전 날 종가와 오늘 종가의 로그의 차이를 말한다. 즉, [math(r_t)]가 로그 수익률 [math(P_t)]가 t 날의 종가라고 하면, [math(r_t = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1})=\ln(P_t/P_{t-1}))] 이다.
시장(market)에 대한 가정
- 동일한 자산은 같은 시장 가격을 지닌다. 그게 아니라면 차익거래가 생겨서 다시 가격이 같아진다. 금 1g 은 1000원인데 황금 1g은 2000원 이런거 없다.
- 무위험 이자율로 원하는 만큼의 금액을 빌리거나 빌려줄 수 있다.
- 공매도를 포함하여, 원하는 만큼의 주식을 사거나 팔 수 있다.
- 거래할때 거래 비용이 거의 없다.
3. 공식
블랙과 숄즈가 유도한 방법은 다음과 같다.옵션 가격은 주가에 기반하므로 주가가 1원 오르면 콜옵션도 일정 비율만큼 오른다. (이 비율을 델타라고 부르며 아래에 설명이 있다.) 그러니 주식을 이 비율만큼만 사고 콜옵션을 하나 팔면 움직임이 정확히 상쇄되어서 변동이 없다. 변동이 없으면 위험이 없다는 말이니 이 조합의 수익률은 무위험 채권과 같다. 여기에 주식 가격이 로그 정규분포를 따른다는 가정을 집어 넣는다. 주가가 로그 정규분포를 따르면 주식의 수익률은 정규분포를 따르게 된다. 이제 수식을 정리하면 (이 과정에서 이토의 보조정리[4]같은 수학 테크닉이 몇개 들어간다) 주가와 옵션, 무위험 채권에 대한 미분방정식을 얻는다.
[math(rV=rS\dfrac{\partial V}{\partial S}+\dfrac{\partial V}{\partial T}+ \dfrac{1}{2}σ^2S^2\dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2})]
여기서, [math(V)]는 옵션의 가격. [math(S)]는 주가, [math(r)]은 무위험 이자율(risk-free interest rate)이다.
위 미분방정식은 통계역학에서의 브라운 운동, 열 방정식과 동일한 공리로 전개된다! 그러므로 자연상태를 설명하는 브라운 운동의 해법을 구하면 위 미분방정식에 대한 해법도 구할수 있다. 해법은 이미 알베르트 아인슈타인이 만들어 두었다. 브라운 운동 항목을 참조.
방정식의 해법으로 콜옵션의 가격을 구할 수 있는데, 주식 가격, 행사 가격, 변동성, 만기까지 남은 시간, 무위험 채권 이자율 5가지를 집어넣으면 옵션 가격이 숫자로 짠 하고 나온다. 이렇게 도출된 블랙-숄즈 방정식은 숫자만 집어넣으면 답이 나오는 매우 편리한 계산기가 된다. 풋옵션의 가격은 풋-콜 패리티를 쓰면 구할 수 있다. [5]
블랙-숄즈 모형의 형태는 다음과 같다.
콜옵션의 가격을 [math(c)], 풋옵션의 가격을 [math(p)]라고 한다면, 이들의 가격은
[math(\displaystyle
\begin{aligned}c &= S \Phi(d_1) - K e^{-rT} \Phi(d_2),\\p &= K e^{-rT} \Phi(-d_2) - S \Phi(-d_1)\end{aligned} )]
인데, 여기서
[math(\displaystyle
d_2 &= \frac{\ln(S/K) + (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}
\begin{aligned}
d_1 &= \frac{\ln(S/K) + (r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \\d_2 &= \frac{\ln(S/K) + (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}
\end{aligned}
)]
)]
이고,
- [math(S)]는 0시점의 주식(혹은 기초자산)의 가격,
- [math(\Phi(x))]는 표준 정규분포의 누적 분포 함수,
- [math(K)]는 행사가격,
- [math(r)]은 무위험 이자율[6],
- [math(T)]는 옵션만기까지 남은 기간,
- [math(\sigma)]는 주가의 변동성[7]이다.
복잡해 보이지만 차근차근 따라하면 엑셀로도 간단히 옵션 가격 계산기를 만들 수 있다. 월스트리트의 옵션 거래인들이 환호한 것은 덤.
블랙 숄즈 방정식에서 파생되는 수많은 옵션 가격 지표들이 있다. 전부 그리스 문자로 표기되다보니 'Greek'라고 부른다.
- [math(\delta)] : 기초자산 가격의 변동에 따른 옵션가치 변동
- [math(\theta)] : 시간에 따른 옵션가치 변동
- [math(\gamma)] : 기초자산 가격의 변동에 따른 델타의 변동
- 베가[8]: 기초자산 가격 변동성의 변화에 따른 옵션가치 변동
- [math(\rho)] : 금리의 변동에 따른 옵션가치 변동
블랙 숄즈 방정식으로 도출되는 옵션 가격은 현실의 옵션 가격 변동을 상당히 비슷하게 따라간다고 한다. 이에 대해 일각에서는 모형 자체가 엄밀해서 예측이 나름 정확한 것도 있지만 대부분의 금융, 재무전문가 및 기타 투자자들이 블랙숄즈 모형을 통해 도출된 값을 기준으로 투자의사결정을 하기 때문에 모형이 현실을 잘 설명한다기보다 반대로 현실의 의사결정자들이 이론에 따라 행동하는 게 아닌가? 라고 주장한다.
그러나 위 문단의 서술은 한가지 간과하는 점이 있는데, 블랙 숄즈 방정식은 태생상 잘 맞을 수밖에 없다. 집어넣는 변수 중에 주식의 변동성이 있는데 이게 현재의 변동성이 아니라 지금부터 주식 만기까지 변동성이다. 즉, 현재의 가격을 제대로 구하려면, 미래에 변동성이 어떨지 정확히 예측해야 한다는 골때리는 문제가 있다.[9] 그래서 요샌 아예 거꾸로 현재 시장 가격에 블랙 숄즈 공식의 가격을 맞춰놓고 미래 변동성을 구하는 도구로 쓴다. 즉, 답을 미리 시장 가격에 맞춰놓고 쓰고 있다.
4. 한계
상기 식의 시그마, 즉 기초자산 가격 변동성은 만기 시점의 것이므로 현재 시점에 계산할 수 있는 것이 아니다. 그러므로 내재 변동성 대신 과거의 변동성을 대입하게 되므로 정확한 가격 예측은 힘들다. 과거의 변동성과 내재된 변동성은 관련이 없다고는 할 수 없지만 명백히 둘은 별개의 값이다.역으로 현재 옵션의 가격을 대입하여 이 시그마를 도출해내기도 한다. 참고로 이렇게 구한 시그마 값을 내재적 변동성이라고 한다. 또한, 이자율 r 역시 시간에 따라 변한다.
또한 변동성 스마일 등, 현실과 블랙숄즈모형이 일치하지 않는 현상 또한 관찰되고 있다.
4.1. 변동성 스마일
공식에 따르면 동일한 기초자산의 옵션이라면 행사가격 등의 조건이 다르더라도 같은 내재변동성을 가져야 한다.하지만 위에서 언급한 방식[10]으로 옵션의 내재변동성을 계산해 보면, 같은 기초자산의 옵션이더라도 행사가격, 만기까지 남은 기간 등 다른 조건에 따라 다른 내재변동성을 가진다는 것이다!!
이 그래프는 행사가격에 따라 옵션의 내재변동성이 다르다는 것을 나타낸 그래프이다. 그래프의 모양을 보면 왜 이것이 변동성 스마일이라고 불리는지 알 수 있다.[11]
이러한 점은 블랙-숄즈 모형이 명백히 한계가 있는 모델이라는 점을 보여준다. 내재변동성을 현재 시점에 정확하게 계산할 수 없을 뿐더러, 계산이 가능하다 하더라도 실제로 시장에서는 다른 값을 가질 수 있다는 것이다!
그리고 이러한 한계를 극복하기 위해 금융 공학, 수학 등의 분야에서 활발하게 연구가 이루어지고 있다.
다음의 예시를 보면 쉽게 이해할 수 있다. 삼성전자 콜옵션 하나의 가격을 블랙-숄즈 모형에 넣고 내재 변동성을 구했을때 30%가 나온다면, 이것은 삼성전자 주식이 옵션 만기일까지 30%의 연간 변동성을 보인다는 뜻이다. 그런데 만기도 똑같은 삼성전자 콜옵션 중에서 행사가격만 다른 넘을 가지고 계산하면 35%가 나오는 경우가 있다. 같은 주식에서 나온 옵션들인데, 한 녀석은 30%, 한 녀석은 35%라고 다른 숫자를 부른다는 것.
대부분의 학자들은 이런 불협화음의 주범이 정규분포라고 보고 있다. 주식 수익률은 사람이 매매하는 결과이기 때문에 정규분포를 따를 이유가 애초에 없는데, 물리학, 수학 등에서 멋지게 계산해 놓은 해를 가져다 쓰느라 옵션 가격 계산에 어쩔수 없이 들어간 가정이다. 실제로 각국 주식시장 중에 정규분포에 맞게 수익률이 나오는 경우가 없다시피 하다. 해결방법은 정규분포를 포기하고 보다 복잡한, 경험에 의존한 분포로 바꾸는 것인데, 이렇게 하면 블랙-숄즈 방정식처럼 해가 딱 떨어지게 나오기가 어렵다. 변형된 편미분방정식의 해를 구하는 일은 수학의 밀레니엄 문제 수준까지 난이도가 올라갈 수 있으므로 포기하고, 시뮬레이션을 돌려서 근사치를 뽑아내는 것이 주된 방법이다.
과거 헤지펀드들은 이런 쪽을 들입다 파서 조금이라도 수익률을 높여보고자 하는 경우가 있었다. 한동안 월스트리트에서 물리학과, 수학과 박사급들을 데려가던 데에는 이런 배경도 있었으나... 좀더 정확한 내재변동성을 구해봤자 실제 수익률이 확실히 높아진다는 보장이 없어서 시들해졌다.(위에서 언급한대로 블랙-숄즈는 여러번 시행했을때의 평균값을 내주기 때문에 내가 지금 베팅하는 옵션 가격에 딱 맞는다는 보장이 없다.)
요새는 단순무식한 해법을 쓴다. 그것은 옵션마다 내재변동성이 다 다르면 뭐가 더 정확한지 골치 썩이지 말고 그냥 평균 때리자! 하는 방법이다. 그래서 미국 주식시장의 변동성도 VIX를 쓰는데, VIX는 다름 아닌 변동성 인덱스의 약자이다. 인덱스란 결국 평균값이란 말인데, S&P500 지수의 옵션들을 가지고 내재변동성을 각각 계산한 다음, 가중 평균해서 숫자를 구하는 것이다.
5. 기타
숄즈 박사는 노벨경제학상 기자회견에서 상금을 어디에 쓸 거냐는 질문에 대해 "주식투자를 하겠다"고 대답해 센세이션을 일으켰다. 당시 그는 LTCM이라는 헤지펀드를 운용하고 있었는데, 노벨상 수상 후 약 1년 뒤에 1998년 러시아의 채무불이행으로 막대한 부채와 함께 파산한다. 비록 이 도산이 러시아 통화위기 때문에 발생한 것이기는 하지만, 길게 보면 시장은 항상 정상적 상태로 되돌아온다는 굳건한 믿음과 수리적 모형에 대한 지나친 신뢰감, 그리고 이를 바탕으로 한 과도한 레버리지의 사용이 이러한 비극적리처드 파인만이 최초로 고안한 경로적분에서 Kernel을 변형하여 위너 분포 범함수로 적용시킨 카츠 공식으로 이토 적분 과정을 통하면 블랙-숄즈 모형의 해를 구할수 있다.
6. 대중매체에서
- 일본 만화 Q.E.D. 증명종료 34권에서 주식시장에 대해 설명하면서[13] 블랙 숄즈 방정식으로 설명한다. 다만 약간 일본 대단해 뉘앙스인게 이토의 정리와 랜덤 워크를 같이 알려주면서 브라운 운동과 이항모형을 빼버렸다. 분명 이토의 정리도 블랙 숄즈 모형에 들어간 수식이긴 한데 만화의 묘사의 보면 이토의 정리가 블랙-숄즈 모형의 근간으로 보일지경.
7. 관련 문서
[1]
블랙 숄즈 방정식(Black Scholes Equation)이 핵심이다.
[2]
F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, 81(3), (1973), 637-654.
[3]
노벨상은 살아 있는 사람에게만 수여하기 때문이다. 즉 추서는 안된다.
[4]
간단히 말하자면 이토 적분을 테일러 전개한 정리. 이토 적분은 확률 가측 함수를 측도론적으로 나타낸 적분이다.
[5]
풋-콜 패리티에 대해서는
옵션(금융)참조.
[6]
보통 국채 금리나 CD 금리를 많이 사용한다.
[7]
volatility. 보통 과거 수익률의 표준편차를 사용.
[8]
이름이 자연스러워서 인지하지 못하지만
그리스 문자 목록에 베가는 없다
[9]
명백히 이는 불가능한 것이다.
[10]
현재 옵션의 가격을 대입하여 시그마를 도출하는 방식
[11]
사실 그래프의 모양은 주식 시장마다, 시기마다 다르다. 이 현상을 발견할 즈음 미국 주식시장이 스마일 형태였기 때문에 이 이름이 붙은 것 뿐이고, 한쪽만 올라가거나 구불거리거나 제멋대로다.
[12]
막판에 LTCM 펀드 혼자서 베팅규모가 $100 billion (100조원이 넘는다!)이었다. 1990년대 우리나라 1년 GDP의 1/3 가량... 아무리 노벨상 받아서 자신감이 충만했어도 너무 시장을 얕봤다고밖에 볼 수 없다. 이거 수습한다고 Fed 가 각 대형은행들을 소집해서 돈을 걷는 삥뜯는 사태가 났을 정도다.
LTCM참조.
[13]
선물 거래 옵션 등