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탄력성

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1. 개요2. 탄력성 이해하기
2.1. 평균·한계 먼저 이해2.2. 평균과 한계의 관계2.3. 탄력성의 정의
3. 탄력성의 종류
3.1. 가격탄력성3.2. 교차탄력성3.3. 소득탄력성3.4. 여담

1. 개요

경제학에서 탄력성( 彈 力 性, elasticity)이란, 독립변수가 1% 변했을 때 종속변수가 변하는 비율(%)을 나타내는 지표이다. 종속변수가 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내는 지표라고도 할 수 있다.

2. 탄력성 이해하기

2.1. 평균·한계 먼저 이해

탄력성의 개념을 제대로 이해하기 위해서는 먼저 평균( 平 均, average)과 한계( 限 界, marginal)를 이해해야 한다. 먼저 계산법을 알아보자.

[math(x)]의 함수 [math(y)]에 대하여, [math(\boldsymbol x)]의 평균 [math(\boldsymbol y)](average [math(y)] of [math(x)])는 [math(y/x)]로 정의된다. 문맥상 독립변수가 분명하면 그냥 '평균 [math(y)]'라고도 한다. 한편, [math(\boldsymbol x)]의 한계 [math(\boldsymbol y)](marginal [math(y)] of [math(x)])는 [math({\rm d}y/{\rm d}x)]로 정의된다. 문맥상 독립변수가 분명하면 그냥 '한계 [math(y)]'라고도 한다. 다음 그림을 보자.

파일:평균과 한계.png
이와 같이 평균은 한 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표의 비율, 곧 원점과 이 점을 잇는 직선의 기울기이다. 반면, 한계는 한 점에서의 접선의 기울기이다.

보다 정확한 '한계'의 정의는, [math(\boldsymbol x)] 한 단위가 변할 때 발생하는 [math(\boldsymbol y)]의 변화분이다. 그런데 이것이 왜 도함수로 계산되는지 의문이 생길 수 있다. 다음과 같이, 일견 한계의 정의는 접선의 기울기와 일치하지 않는 것 같기 때문이다.
[math(y=x^2)]인 경우, [math(x=2)]일 때 [math(x)]의 한계 [math(y)]는 [math({\rm d}y/{\rm d}x)]로 계산하면 [math(y'=2x)]이므로 [math(2\times2=4)]가 된다. 그러나 한계의 정의대로라면 [math(x=2)]일 때 [math(f(x)=4)]이고, [math(x)]가 한 단위 증가하여 [math(x=3)]이 되면 [math(f(x)=9)]이므로 변화분은 [math((9-4)/(3-2)=5)]이다. 이와 같이 값이 일치하지 않는다.

이와 같은 문제가 발생한 이유는 한계의 정의에 등장하는 표현 '한 단위'의 애매성 때문인데, 그러면 어느 쪽이 옳은 개념일까? 결론부터 말하면 한계의 정확한 개념은 미분 또는 도함수로, 위의 경우 한계 [math(y)]의 값은 5가 아니며 4가 옳다. '한 단위'라는 표현은, '아주 조금'의 의미에 가깝다. 미분의 정의에 따라서, [math(x)]의 변화분 [math(\Delta x)]가 0에 한없이 가까워질 정도여야 한다. 위의 예에서는 '한 단위'를 '1'로 생각하여 계산했는데, '1'이라는 값은 '아주 조금'과는 거리가 먼, '한 단위'가 되기에는 '너무 큰' 양이다. 따라서 이렇게 계산한 값은 [math(f'(2))]와는 일치하지 않는다. 그럼에도 불구하고 편의상 [math(x=2)]일 때 [math(x)]를 한 단위 증가시킬 때 [math(y)]는 4만큼 변한다고 표현한다.

혼란이 심할 수도 있으나, 함수 형태가 연속적이고 미분가능하도록 주어지면 한계는 무조건 도함수로 계산함을 기억하자. 다만 위와 같이 한계의 개념을 이해시키는 등의 목적으로 예시를 들 때는 다음과 같이 [math(x)]의 값이 '이산적으로' 주어질 수밖에 없다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(x)] [math(1)] [math(2)] [math(3)] [math(4)]
[math(y=f(x)=x^2)] [math(1)] [math(4)] [math(9)] [math(16)]
이 표의 경우에는 '한 단위'를 1로 놓을 수 있다. 그래서 [math(x=1)]에서의 한계 [math(y)]는

[math(\dfrac{f(2+1)-f(2)}{(2+1)-2}=f(3)-f(2)=5)]

로 계산된다. 이는 이렇게 계산한 한계의 값은 접선의 기울기([math(f'(2)=4)])와는 당연히 오차가 생긴다. 만약 '한 단위'를 더욱 작게 0.01로 설정하여 표를 만들었다면

[math(\dfrac{f(2+0.01)-f(2)}{(2+0.01)-2}=\dfrac{f(2.01)-f(2)}{0.01}=4.01)]

로 한계 [math(y)]를 계산해야 한다. 이 경우의 계산 결과는 접선의 기울기 4에 더욱 가까워지지만 오차는 엄연히 존재한다. 이 '한 단위'를 0에 가깝게 설정할수록 계산 결과는 4에 수렴함은 미분의 정의를 통해서 쉽게 이해할 수 있다.

요컨대, 경제학에서 모든 한계는 도함수로 계산한다. 그러나 편의상 '[math(x)] 한 단위'와 같은 표현을 쓸 뿐임을 명심하자.

2.2. 평균과 한계의 관계

[math((x,\,y))]에서 평균은 [math(x)]와 [math(y)]의 비율이지만 한계는 [math(\Delta x)]와 [math(\Delta y)]의 비율인 만큼, 직관적으로 수많은 '한계'들의 출현이 누적되어 평균이 산출됨을 이해할 수 있을 것이다. 다시 말해서, [math(x=0)]에서부터 시작할 때 수많은 시점에서의 순간적 변화 [math(\Delta x)]는 한계에 반영되고, 이 한계들이 모여 특정 [math(x)]의 값에 대응하는 [math(y)]의 값을 결정한다. 곧, 평균이 결정된다. 요컨대 평균과 한계 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

예를 들어 보자. 지금껏 여러 번의 시험을 보았는데 그 결과 평균이 90점이라고 하자. 여기에서 한 번 더 시험을 보았는데 또 다시 90점을 받는다면 평균은 그대로 90점일 것이다. 그런데 90점보다 높은 점수를 받으면 평균은 상승할 것이고, 낮은 점수를 받으면 평균은 하락할 것이다. '한 번 더 본 시험'이 다름 아닌 한계에 해당하며, 이것이 평균과 한계의 관계이다.

그래프로 생각해 보자. 원점과 한 점을 이은 직선의 기울기가 평균인데, 이 기울기보다 더 급하게 증가한다면(한계>평균) 새로운 평균은 기존 평균보다 클 것이며, 더 완만하게 증가한다면(한계<평균) 작을 것이다. 또한 이 기울기와 동일하게 증가한다면 기울기가 유지되어 평균에는 변화가 없을 것이다.

엄밀한 수리적 증명을 하자면 다음과 같다.

함수 [math(y=f(x))]에 대하여, average와 marginal의 머리글자를 따서 평균과 한계를 각각

[math(\begin{aligned}A(x)&=\dfrac{y}x=\dfrac{f(x)}x\\M(x)&=\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(x)\end{aligned})]

로 약속하자. 그러면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}A'(x)&=\left\{\dfrac{f(x)}x\right\}'\\&=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\\&=\dfrac1x\left\{f'(x)-\dfrac{f(x)}x\right\}\\&=\dfrac1x\left\{M(x)-A(x)\right\}\end{aligned})]

일반적으로 경제학에서 사용하는 독립변수는 모두 0보다 크다. 곧, [math(x>0,\,\frac1x>0)]이다. 그러면 [math(A'(x))]와 [math(M(x)-A(x))]는 부호가 같은 셈이다. 따라서 다음이 성립한다.

2.3. 탄력성의 정의

평균과 한계를 알아보았으므로 이제 탄력성을 본격적으로 알아보자. [math(y)]가 [math(x)]의 함수일 때, [math(x)]에 대한 [math(y)]의 탄력성은 다음과 같이 계산한다. 탄력성의 기호는 [math(\varepsilon)]( 엡실론)이다.
[math(\displaystyle \varepsilon = \frac{y \text{의 변화율} \left( \% \right)}{x \text{의 변화율} \left( \% \right)} = \frac{\frac{\Delta y}{y} \times 100}{\frac{\Delta x}{x} \times 100} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \times \frac{x}{y} = \frac{\frac{\Delta y}{\Delta x}}{\frac{y}{x}} = \frac{x\text{의 한계}\;y}{x\text{의 평균}\;y} )]

곧, 탄력성은 평균과 한계의 비율이다. 여기에서 [math(\Delta x)]와 [math(\Delta y)]가 한없이 작으면 [math(\Delta y/\Delta x)] 대신 미분 [math({\rm d}y/{\rm d}x)]를 사용한다. 곧, [math(y=f(x))]의 관계가 있을 때 [math(\varepsilon=\dfrac{x}yf'(x))]가 된다.

변하는 양이 아닌 비율로 계산하는 것은 단순 변화량으로는 정확한 반응 정도를 파악하기 어려우며,[1] 어떤 단위를 사용하냐에 따라 같은 양도 많게 또는 적게 보일 수 있기 때문이다.(1t=1,000kg처럼.)

탄력성은 그 값에 따라 다르게 분류되는데, 명칭과 그 기준은 아래와 같다

3. 탄력성의 종류

탄력성은 크게 수요의 탄력성과 공급의 탄력성이 있는데, 이는 각각 수요와 공급 항목을 참고

3.1. 가격탄력성

소비재의 가격이 변함에 따라 수요와 공급이 얼마나 변하는지 나타내는 지표. 이 지표가 탄력적일수록(1보다 클수록) 같은 가격변화에 수요와 공급이 크게 변한다. 반면에 비탄력적이면(1보다 작은 값이다) 수요량과 공급량의 변화율이 작다.

수요의 가격탄력성은 가격이 올라갔을 때, 소비자들이 소비량(수요)을 얼마나 줄이는지를 비교하는 지표이다.

수요의 가격탄력성이 상대적으로 작으면 필수재, 상대적으로 크면 사치재라고 부른다. 필수재는 가격에 변화에 관계없이 사람이 살아가는데 필수적으로 필요한 재화들이라 가격의 변화에 덜 민감하고(탄력성이 작다), 사치재는 꼭 필요한 것은 아니지만 경제적 여유가 있을 때에 구입을 고려하는 재화들이라 가격의 변화에 따라 수요가 민감하게 변한다(탄력성이 크다).

가격이 상승할 때 수요가 비탄력적이면 총수입[2]은 증가하고, 수요가 탄력적이면 총수입은 감소한다.[3] 수요가 비탄력적일 경우 가격을 아무리 올려도 수요는 거의 그대로일 것이므로 판매자의 총수입은 증가할 것이고, 반대로 수요가 탄력적이라면 가격을 올리면 소비자가 떠나서 총수입이 감소할 것이기 때문이다. 반대로 수요의 가격탄력성이 1이면 가격을 올리든 말든 총수입은 항상 같다.

따라서 총 수입은 판매가격과 판매수량의 곱이므로, 물건을 판매할 때 탄력적인 상품은 저가정책이 유리하고 비탄력적인 상품은 고가정책이 유리하다.[4]

수요의 가격탄력성에 영향을 미치는 요소로는 크게 5가지가 있다. 각 대체제, 소득 대비 비율, 필수재인지 사치재인지, 정의된 기간, 정의된 시장이다.

공급의 가격탄력성은 가격이 올라갔을 때, 공급자가 얼마나 공급량을 늘리는지를 나타내는 지표이다.

공급의 가격탄력성에 영향을 미치는 요소에는

등이 있다.

이 두가지를 모두 통틀어 설명하기 쉬운 예로는, 농산물 가격의 폭등락이 있다. 농산물이 수요의 가격탄력성과 공급의 가격탄력성이 모두 작기 때문이다.[7]

3.2. 교차탄력성

[math(\displaystyle \frac{\text{소비재 A의 수요 변화율}(\%)}{\text{소비재 B의 가격 변화율}(\%)})]

교차탄력성은 탄력성중에도 특이한 부류로서, 다른 탄력성의 경우 수요와 가격은 역행(가격이 오르면 수요는 줄고 반대로 가격이 내리면 수요는 오른다)하지만 교차탄력성의 경우 관련재의 가격 변화에 따른 소비재의 수요 변화를 나타내는 수치이므로 가격과 수요의 변화가 역행하지 않을 수도 있다.

이 값이 탄력적일수록 (절대값이 0보다 클수록) 같은 가격변화에 수요가 크게 변한다.

또한 탄력성이 0보다 크면 클수록 두 소비재는 강한 대체재의 성격을 띄며, B의 가격이 올라 수요가 떨어지면, 그만큼 A의 수요가 오르는 경쟁관계이다. 반대로 탄력성이 0보다 작을수록 두 소비재는 강한 보완재의 성격을 띄며, B의 가격이 올라 수요가 떨어지면 A의 수요마저 함께 떨어진다. 그리고 탄력성이 0이면 둘은 관계 없는 물건이라는 것이다.

따라서 수요의 교차탄력성의 부호가 양수이면(다른 재화의 가격이 오를 때 잘 팔리면) 대체재이고, 부호가 음수이면(다른 재화의 가격이 오를 때 더 안 팔리면) 보완재이다.

그 예를 들면 다음과 같다.







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3.3. 소득탄력성

소득이 변함에 따라 수요가 얼마나 변하는지 나타내는 지표.

재화의 소득탄력성이 0보다 크면 소득의 증감방향과 수요의 증감방향이 동일하다. 즉 소득이 늘면 수요도 증가하고, 소득이 감소하면 수요도 감소하는 정상재로 분류된다.

반면 재화의 소득탄력성이 0보다 작으면, 그 재화에 대해 소득의 증감방향과 수요의 증감방향이 반대가 된다는 뜻이다. 즉 소득이 증가할수록 오히려 재화에 대한 수요가 줄고, 소득이 감소하면 재화에 대한 수요가 증가한다. 예를 들면 고시원 경우 소득이 적은 자취생 시절에는 돈이 없어 수요가 많지만, 적당한 직장을 갖추고 소득이 증가했을 때는 고시원은 거들떠보지도 않으므로 수요가 감소한다. 이런 성질을 가진 재화를 열등재라고 한다.

한편 정상재를 소득탄력성의 크기에 따라 분류할 수 있다. 소득탄력성이 0이면 완벽한 필수재로, 0보다 크고 1보다 작으면 일반적인 필수재로, 1보다 크면 사치재로 분류할 수 있다.

즉 소득 탄력성을 [math(E_m)]이라고 하였을 때
[math(E_m<0)]인 재화는 열등재,
[math(E_m=0)]인 재화는 정상재 중 완벽한 필수재,
[math(0<E_m<1)]인 재화는 정상재 중 필수재,
[math(E_m>1)]인 재화는 정상재 중 사치재로 분류한다.

3.4. 여담

농산물과 같은 생필품은 보통 수요와 공급이 모두 비탄력적이다. 수요 측에서 볼 땐 가격에 상관없이 먹고 사는 생활에서 꼭 필요한 상품이고 공급 측에서 볼 땐 재배하는 데까지 걸리는 시간이 매우 길기 때문이다.
따라서 흉년일 때와 풍년일 때의 가격 변동이 매우 큰데 보통 풍년이 되면 농부의 소득이 오르고 흉년이 되면 소득이 줄 것이란 일반적인 예상과 다르게 오히려 흉년이 되면 농부의 소득이 오르는 현상을 보인다. 이를 '농부의 역설'이라 부른다. 뉴스에서 가끔 풍년임에도 밭을 갈아엎는 농부의 모습이 잡히는데 이 현상을 잘 보여주는 장면이라 볼 수 있겠다.
반면 일상 생활에서 그다지 필요하지 않은 사치재는 보통 수요가 탄력적이다.
탄력성이 클수록 기울기가 완만해져 수평에 가까워지고 탄력성이 작을수록 기울기가 가팔라져 수직에 가까워진다.
[1] 예를 들어 컴퓨터가 100만원에서 120만원으로, 샤프펜슬이 1000원에서 1300원으로 인상되었다면 컴퓨터는 20만원이, 샤프펜슬은 300원이 올랐기 때문에 단순 변화량으로는 컴퓨터가 샤프펜슬보다 훨씬 더 높은 수치를 보인다. 하지만 변화율로 따진다면 컴퓨터는 20%, 샤프펜슬은 30%가 인상되었기 때문에 샤프펜슬이 더 높은 수치를 보인다. [2] total revenue. [math(P \times Q)] [3] 수요의 가격탄력성이 1보다 크면 총수입과 가격의 변화가 반대 방향, 1보다 작으면 같은 방향으로 움직이고, 1인 경우에는 가격변화가 총수입에 미치는 영향이 상쇄된다고 알아두면 편하다. [4] 다만 대체로 탄력적인 상품은 사치재이고 부자들이 소비하는데 반해, 비탄력적인 상품은 필수재이고 서민들이 소비하는 경향이 있다. 따라서 수입을 극대화하기 위해 비탄력적인 상품을 비싸게 파는 것이 소득분배의 측면에서 바람직한가 하는 시사점이 있다. [5] 적절한 예시인 건 아니다. 외제차 중에서도 현대차보다 이름값이 높은 브랜드의 차들 점유율이 점점 올라가고 있는 것이고 그 조차도 잠식당했다고 할 수준도 아니다. 이건 단순히 대체품의 질만으로는 설명할 수 없는 문제다. 이걸 단순히 모든 외제차들의 질이 좋아서 점유율이 올라간다고 설명한다면 현재 해외에서 현대차의 점유율이 올라가는 걸 단순 대체제의 질이 좋아서 올라간다고 설명할 것인가? [6] 여기서 '장기'란, 일반적으로 대체재가 나타나 그 효과를 보일 때부터의 기간을 말한다. [7] 가격탄력성이 작다는 의미는 가격이 바뀌었을 때 수요나 공급이 잘 반응하지 않는다는 의미인데, 이는 거꾸로 말하면 수요나 공급이 살짝만 바뀌어도 가격이 많이 바뀐다는 것을 의미하기 때문이다.

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