|
통계학 Statistics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:calc(1.5em + 5px); word-break: keep-all" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-5px -1px -11px" |
<colbgcolor=#4d4d4d><colcolor=#fff> 수리통계학 | 기반 | 실해석학 ( 측도론) · 선형대수학 · 이산수학 |
| 확률론 | 사건 · 가능성 · 확률 변수 · 확률 분포 ( 표본 분포 · 정규 분포 · 이항 분포 · 푸아송 분포 · 카이제곱분포 · t분포 · Z분포 · F-분포 · 결합확률분포) · 확률밀도함수 · 확률질량함수 · 조건부확률 · 조건부기댓값 · 조건부분산 · 전체 확률의 법칙 · 베이즈 정리 · 도박사의 오류 · 도박꾼의 파산 · 몬티 홀 문제 · 뷔퐁의 바늘 · 마르코프 부등식 · 체비쇼프 부등식 · 큰 수의 법칙 ( 무한 원숭이 정리) · 중심극한정리 · 벤포드의 법칙 | ||
| 통계량 | 평균 ( 제곱평균제곱근 · 산술 평균 · 기하 평균 · 조화 평균 · 멱평균 · 대수 평균) · 기댓값 · 편차 ( 절대 편차 · 표준 편차) · 분산 ( 공분산) · 결정계수 · 변동계수 · 상관계수 · 대푯값 · 자유도 | ||
| 추론통계학 | 가설 · 변인 · 추정량 · 점추정 · 신뢰 구간 · 상관관계와 인과관계 · 실험통계학 · p-해킹 · 통계의 함정 · 그레인저 인과관계 · 신뢰도와 타당도 | ||
| 통계적 방법 | 회귀 분석 · 최소제곱법 · 분산 분석 · 주성분 분석 ( 요인 분석) · 시계열 분석 · 패널 분석 · 2SLS · 생존 분석 · GARCH · 비모수통계학 · 준모수통계학 · 기계학습 ( 군집 분석 · 분류 분석) · 위상 데이터분석 · 외삽법 · 메타 분석 · 모델링 ( 구조방정식) | ||
|
기술통계학 · 자료 시각화 |
도표 ( 그림그래프 · 막대그래프 · 선 그래프 · 원 그래프 · 상자 수염 그림 · 줄기와 잎 그림 · 산포도 · 산점도 · 히스토그램 · 도수분포표) · 그래프 왜곡 · 이상점 | }}}}}}}}} | |
|
초등함수 Elementary Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" |
<colbgcolor=#567843> 대수함수 | 다항함수 ( 상수 · 1차 · 2차 · 3차 · 4차 · 추론 · 공식 ( 길이 · 넓이 ) · 소수생성) · 유리함수 · 무리함수 |
| 초월함수 | 지수함수( 확률밀도함수 · 허수지수함수 ) · 로그함수 ( 복소로그함수 ) · 삼각함수 · 역삼각함수 · 쌍곡선 함수 · 역쌍곡선 함수 | }}}}}}}}} |
|
|
| 정규분포의 확률 밀도 함수 |
[clearfix]
1. 개요
確 率 密 度 函 數 / probability density function연속 확률 변수를 나타내는 함수. 확률 질량 함수의 연속형 버전.
2. 정의
(절대)연속확률변수 X에 대해서 [math( F_X(x) )]가 누적분포함수 [math(\displaystyle F_X (x) =\int _{ -\infty }^{ x }{f_X(t)dt })] 일때
X의 확률밀도함수 [math( f_X(x) )]는 [math(\displaystyle f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x))] 로 정의한다.
여기서 미분불가능한 지점은 기껏해야 셀 수 있어야 하며 그 지점에서의 f의 값은 어느값이어도 제한이 없으나 통상적으로X의 확률밀도함수 [math( f_X(x) )]는 [math(\displaystyle f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x))] 로 정의한다.
좌연속이거나 우연속이 되도록 지정해준다.
정규 분포에 사용되는 확률밀도함수는 [math(f(x) = e^{-x^2})]라는 특수함수로 주어지며[1], 가우스 적분이라는 방법으로 적분이 가능하다.
3. 절대 연속 조건
보통의 이공계에서는 (절대)라는 조건을 생략하고 그냥 가르치는 경우가 많다. 하지만 위의 정의의 식이 말이 되게 하는 f가 존재하려면 반드시 F의 절대연속성이 보장되어야 한다. 따라서 절대연속의 개념을 첨부한다.4. 의미
어떤 확률 변수 X를 완벽하게 묘사하는 함수는 누적 분포 함수(CDF) [math( F(x) )]이다.[2] 이는 X가 이산이든 연속이든 이산과 연속이 섞인 형태이든 변하지 않는 진리이다. 하지만 실제 상황이나 문제에서는 CDF를 다루는 상황보다 확률밀도함수(pdf)를 다루는 경우가 훨씬 많다. 그러므로 확률밀도함수의 개념을 이해하는 것은 매우 중요하다.이 개념에 확률 '밀도' 함수라는 개념이 붙은 이유를 알아야 하는데 이는 확률 '질량'함수에서의 이유와 같다. 기본적으로 연속형 확률변수의 경우에는 개별 값들에 대한 확률값이 존재하지 않는다. 연속의 경우에는 반드시 구간단위로 확률이 존재할 수밖에 없는데 확률밀도 함수는 특정 지점에 대한 값을 말한다.
직관적으로 자연스럽게 pdf의 값은 x주변의 미소구간에서의 미소확률(질량)에 대한 밀도값이라는것을 알 수 있다.
즉 선형밀도 = 질량/길이 와 동일하게 pdf = 미소확률/dx 인 것이다. 여기서 미소구간길이 dx가 부피에 해당된다.
그러므로 [math(\displaystyle{f(x)=\lim _{ \Delta x\to 0 }{ \frac { P(x\le X\le x+\Delta x) }{ \Delta x } }=\lim _{ \Delta x\to 0 }{ \frac { F(x+\Delta x)-F(x) }{ \Delta x } }=\frac { dF }{ dx }} )]이므로 정의의 그것과 일치한다.
제대로 이해하고 싶다면 수학과의 해석학과 실해석학을 이수하여 르베그 적분과 일반화된 도함수의 정의를 공부해보자.