최근 수정 시각 : 2024-06-09 14:01:53
1. 개요2. 공식3. 예시4. 활용5. 관련 문서
Compton wavelength
콤프턴 파장은
아서 홀리 콤프턴에 의해 발견된
콤프턴 효과에서 나타나는 전자의 콤프턴 파장을 모든 입자로 일반화한 개념으로,
질량-에너지 동등성과 연관이 있는 개념이다. 주목하고자 하는 입자가 가진 정지 질량 에너지가 모두 빛 에너지로 바뀌는 상황을 상정할 때 그 빛의 파장으로 정의된다. 일반적으로 [math(\lambda)]로 표기하는데, 특별히 콤프턴 파장임을 나타내기 위해 콤프턴(Compton)의 C를 아래첨자로 써서 [math(\lambda_{\rm C})]로 나타내는 경우도 있으나, 대부분의 경우 [math(\lambda_{\rm C})]는 전자의 콤프턴 파장을 의미한다. 본 문서에서는 다른 입자들의 콤프턴 파장 표기와의 통일성을 위해 일반화된 콤프턴 파장은 [math(\lambda_{\rm C})]로, 전자의 콤프턴 파장은 [math(\lambda_{\rm C,\,e})]로 나타냈다.
얼핏
물질파와 비슷해보이지만 근본적으로 둘은 다르다. 물질파는 입자의 정지 질량 - 에너지 전환과 관계 없이 입자의 운동량에 의해 정의되므로 입자가 갖는 이중성과 관련이 깊은 물리량은 물질파이다.
광속 [math(c)],
플랑크 상수 [math(h)]에 대하여, 입자의 정지 질량 에너지는
[math(E = mc^2)]이고 빛의 에너지는 [math(E = h\nu = \dfrac{hc}\lambda)]로 표현되므로 두 식을 연립해서
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[math(\begin{aligned} E &= mc^2 = \frac{hc}{\lambda_{\rm C}} \\ \therefore \lambda_{\rm C} &= \frac h{mc}\end{aligned})]
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2.1. 환산 콤프턴 파장
플랑크 상수 [math(h)]와
디랙 상수 [math(\hbar = \dfrac h{2\pi})]의 관계처럼, [math(\lambda_{\rm C})]를 [math(2\pi)]로 나눈 값, 즉 [math(\dfrac h{2\pi mc} = \dfrac\hbar{mc})]로 정의된다. [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C})] 또는 단순히 [math(\bar\lambda_{\rm C})]로도 나타낸다. 양자역학에서는 [math(h)]보단 [math(\hbar)]가 일반적이므로 응용면에서는 이쪽이 좀 더 쓰기 편하다. 다만
활용 항목의 대부분은
자연 단위계를 기반으로 나타내므로 환산 콤프턴 파장을 쓰는 경우는 보기 힘들다.
[math(m = m_{rm P} = sqrt{dfrac{hbar c}G})]인 어떤 입자의 질량이 모두 빛 에너지로 전환될 경우
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[math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c} = \dfrac\hbar{\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = l_{\rm P})]
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위와 같이 그 빛의 환산 콤프턴 파장은
플랑크 길이가 된다.
공식의 [math(m)]에 각 입자의 정지 질량을 대입해서 얻어진다. 이하의 값의 출처는 모두
2018 CODATA 값이다.
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전자: [math(m_{\rm e} = 9.109\,383\,701\,5(2\,8)\times10^{-31}{\rm\,kg})]
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[math(\begin{aligned} \lambda_{\rm C,\,e} &= 2.426\,310\,238\,67(73)\times10^{-12}\rm\,m \\ \;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e} &= 3.861\,592\,6796(12)\times10^{-13}\rm\,m\end{aligned})]
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양성자: [math(m_{\rm p} = 1.672\,621\,923\,69(51)\times10^{-27}{\rm\,kg})]
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[math(\begin{aligned} \lambda_{\rm C,\,p} &= 1.321\,409\,855\,39(40)\times10^{−15}\rm\,m \\ \;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,p} &= 2.103\,089\,103\,36(64)\times10^{−16}\rm\,m\end{aligned})]
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중성자: [math(m_{\rm n} = 1.674\,927\,498\,04(95)\times10^{-27}{\rm\,kg})]
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[math(\begin{aligned} \lambda_{\rm C,\,n} &= 1.319\,590\,905\,81(75)\times10^{−15}\rm\,m \\ \;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,n} &= 2.100\,194\,1552(12)\times10^{−16}\rm\,m\end{aligned})]
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뮤온: [math(m_{\textμ} = 1.883\,531\,627\,(42)\times10^{-28}{\rm\,kg})]
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[math(\begin{aligned} \lambda_{\rm C,\,\textμ} &= 1.173\,444\,110(26)\times10^{−14}\rm\,m \\ \;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,\textμ} &= 1.867\,594\,306(42)\times10^{−15}\rm\,m\end{aligned})]
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타우온: [math(m_{\textτ} = 3.167\,54(21)\times10^{-27}{\rm\,kg})]
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[math(\begin{aligned} \lambda_{\rm C,\,\textτ} &= 6.977\,71(47)\times10^{−16}\rm\,m \\ \;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,\textτ} &= 1.110\,538(75)\times10^{−16}\rm\,m\end{aligned})]
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수소형 원자의 경우 퍼텐셜 에너지가 쿨롱 법칙에 따라 [math(V(r) = -\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}r)]로 주어지므로
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[math(i\hbar\dfrac\partial{\partial t}\psi = -{\left(\dfrac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol\nabla^2 + \dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}r\right)}\psi)]
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양변을 [math(\hbar c)]로 나누면 우변에서 제1항의 계수가 [math(\cfrac{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}}2)]가 되고 제2항에
미세구조상수 [math(\alpha = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c})]을 도입할 수 있으므로
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[math(\dfrac ic\dfrac\partial{\partial t}\psi = -{\left(\dfrac{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}}2\boldsymbol\nabla^2 + \dfrac{\alpha Z}r\right)}\psi)]
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로 표현이 가능하다.
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[math(\boldsymbol\nabla^2\varPsi - \dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\varPsi = {\left(\dfrac{mc}\hbar\right)}^2\varPsi)]
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에서 우변의 계수가 [math(\dfrac1{{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}}^2})]이므로
달랑베르시안 [math(\square)]까지 도입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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[math({\left(\square + \dfrac1{{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}}^2}\right)}\varPsi = 0)]
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[math(-i\gamma^\mu\partial_\mu\psi + {\left(\dfrac{mc}\hbar\right)}\psi = 0)]
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이므로 상기
클라인-고든 방정식의 경우와 마찬가지로
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[math({\left(-i\gamma^\mu\partial_\mu + \dfrac1{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}}\right)}\psi = 0)]
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으로 나타낼 수 있다.
뤼드베리 상수 [math(R_\infty)]는
미세 구조 상수 [math(\alpha)]와 전자의 콤프턴 파장 [math(\lambda_{\rm C,\,e})] 혹은 전자의 환산 콤프턴 파장 [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e})] 을 이용해서 나타낼 수 있다.
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[math(\begin{aligned} R_\infty &= \frac{m_{\rm e}e^4}{64\pi^3{\varepsilon_0}^2c\hbar^3} \\ &= \frac1{4\pi}{\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar}\right)}^2\frac1{\dfrac\hbar{m_{\rm e}c}} \\ &= \frac{\alpha^2}{4\pi\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e}} = \frac{\alpha^2}{2\lambda_{\rm C,\,e}}\end{aligned})]
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위 식을 이용하면 각종
물리 상수들이 복잡하게 얽혀있는 뤼드베리 상수 식을 비교적 용이하게 외울 수 있다. 미세 구조 상수는 전자 2개의 정전기적 척력 에너지 공식 [math(E = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r})]에서 [math(r \to c\hbar)]로 치환된 꼴과 같고 [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e} = \cfrac\hbar{m_{\rm e}c} = \cfrac{\lambda_{\rm C,\,e}}{2\pi})]로 비교적 간단하므로 [math(R_\infty = \dfrac{\alpha^2}{2\lambda_{\rm C,\,e}})]로 암기해놓으면 편하다. 아울러 미세 구조 상수는
무차원량이며 콤프턴 파장은 차원이 [math(\sf L)]이므로 뤼드베리 상수가 [math(\sf L^{-1})] 차원을 갖는다는 것도 쉽게 유추할 수 있다.
5. 관련 문서