1. 개요
tangent plane접평면 또는 줄여서 접면은 곡면 위의 한 점을 접하는 접선들이 놓여 있는 평면을 말한다.
접선(tangent line)이 1개인 경우는 일변수함수인 곡선의 기울기가 대표적이다.
접면은 이변수함수의 곡면 위의 한 점을 접하는 기울기가 2개이다보니 접선들이라는 표현보다는 평면의 접점을 가리키는 접평면(접면)이라는 표현이 사용된다.
2. 곡면의 접면
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| 오목한 곡면을 가지는 다변수함수의 최솟값 접면 예 |
다변수함수 [math( z= x^2 + y^2 )]의 오목한 곡면을 3D 모델링으로 얻었을때 접선의 방정식 [math( z= ax+b )]와 [math( z= ay+b )]로부터 기울기 값을 의미하는 편미분을 계산하면[1][2]
[math(\begin{aligned} z&=ax+b &\to \dfrac{\partial f}{\partial x} x \\ z&=ay+b &\to \dfrac{\partial f}{\partial y} y \end{aligned})]
이 두 식을 더한 총 2개의 증가량으로 표현해 볼 수 있다. 따라서 접평면 [math( z)]는
[math( z= \dfrac{\partial f}{\partial x} x + \dfrac{\partial f}{\partial y} y)]
임을 조사할 수 있다.
이것을 일반화하면
[math( (z - z_0)= \dfrac{\partial f}{\partial x} (x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y} (y-y_0) )]
이어서 미소 변화량인 증분으로 표현해보면
[math( \Delta z= \dfrac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \Delta y )]
접평면 근사식을 얻을수있다.
또한 [math( {\partial f}/{\partial x} )]를 [math( f_x )]의 편미분으로 표현해보면
[math( {\rm d} z= f_x \,{\rm d}x + f_y\, {\rm d}y )]
전미분을 얻을 수 있다.
일반적으로 곡면 [math(f(x,\,y,\,z)=0)]위의 점의 위치 벡터 [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]일 때, 이 점 위의 접면의 방정식은 [math(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z))]에서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(\mathbf{r}_{0})\boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})=0 )]
으로 주어진다.
3. 임계점
4. 관련 문서
[1]
구텐베르크 프로젝트 - Calculus Made Easy , Silvanus P. Thompson 1914 ,THE MACMILLAN CO.
https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf
[2]
구텐베르크 프로젝트 - Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus by De Morgan 1899 Kegan Paul, Trench, Tr ̈ubner & Co., Ltd., London
https://www.gutenberg.org/files/39041/39041-pdf.pdf