군(대수학)

수학 외의 분야에서 군을 응용하는 방법이나 그 사례에 대한 내용은 군론 문서 참고하십시오.

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1. 개요

1.1. 군의 이해1.2. 이해를 돕기 위한 예시

1.2.1. 덧셈에 대한 정수군1.2.2. 이면군(dihedral group)1.2.3. 대칭군(symmetric group)

2. 다른 수학 분야에서의 응용3. 부분군(subgroup)

3.1. 관련된 정리들3.2. 부분군의 생성원(generator)

4. 몫군(factor group / quotient group)과 정규부분군(normal subgroup)

4.1. 정규부분군(normal subgroup)4.2. 단순군(simple group)

5. 준동형(homomorphism)과 동형 정리(isomorphism theorem)

5.1. 준동형(homomorphism)

5.1.1. 핵(kernel) 상(image)5.1.2. 전사준동형(epimorphism)과 단사준동형(monomorphism), 동형 사상(isomorphism)

5.2. 동형 정리(isomorphism theorem)

6. 군의 종류

6.1. 사전 지식

6.1.1. 교환자(commutator)6.1.2. 중심화 부분군(centralizer)의 확장

6.2. 순환군(cyclic group)6.3. 가환군(Abelian group)6.4. 멱영군(nilpotent group)6.5. 가해군(solvable group)6.6. 포함 관계

7. 원소의 개수에 따른 분류8. 수학에서의 군론

8.1. 군과 대수학8.2. 군과 기하학

8.2.1. 대칭구조와 격자8.2.2. 연속군8.2.3. 군의 표현

8.3. 군과 위상수학8.4. 군과 정수론8.5. 군과 범주론

9. 관련 문서

1. 개요

群 / group

군은 어떤 집합에 이항연산(binary operation)[1]이 주어진 구조로 집합과 연산을 묶어서 표기한다.[2] 집합과 연산이 반드시 함께 정의되어야 한다는 것이 포인트.[3] 군은 가장 쉽게 접할 수 있는 기본적인 대수적 구조이며 우리가 배우는 정수, 유리수, 실수, 복소수 위에서의 덧셈, 곱셈 등이 군에 속하고 가역행렬의 곱셈 또한 군 구조를 가진다.

정확한 수학적 정의는 다음과 같다. 집합 [math(G)]의 이항연산 [math(*)] [4] 이 다음 조건을 만족시킬 때, [math(\left(G, *\right))]를 군이라 한다.

( 결합법칙; associativity) 임의의 세 원소 [math(a,b,c\in G)]에 대해,
[math(\left( a*b \right)*c=a*\left( b*c \right))].
( 항등원의 존재; existence of identity) [math(e\in G)]이 존재하여,[math(G)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해,
[math(a*e =a =e*a )]
항등원은 존재하면 유일하므로[5] 이 원소를 [math(1)], [math(e)], [math(i)] 등으로 적는다.
( 역원의 존재; existence of inverse) 임의의 [math(a\in G)]에 대해, [math(x\in G)]가 존재하여,
[math(a*x=e=x*a)]
역원은 존재하면 유일하므로[6] 이 원소를 [math(a^{-1})]로 적는다.

여기서, 위의 정의 중 일부만을 만족시키는 대상들에 대해 반군(1만을 만족), 모노이드(1, 2만을 만족) 등의 이름이 있다.

위의 정의를 조금 약하지만 동치인 조건으로 다음처럼 대체할 수 있다.

결합법칙
좌항등원의 존재: [math(l\in G)]이 존재하여,[math(G)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해,
[math(a = l*a)]
좌역원의 존재: 임의의 [math(a\in G)]에 대해, [math(x\in G)]가 존재하여,
[math(l=x*a)]

마찬가지로 결합법칙이 성립하면서 우항등원과 우역원이 존재하면 군이 된다. 하지만 결합법칙을 만족하면서 우항등원과 좌역원이 존재하더라도 군이 아닐 수 있다. 반례는 이 링크를 참고하라.

1.1. 군의 이해

어떤 집합과 이항연산이 함께 군을 이룬다는 것은, 중요한 세 가지 성질, 즉, " 결합법칙의 성립, 항등원의 존재, 역원의 존재" 를 만족한다는 것을 뜻한다. 이 세 가지 연산 성질은 이항 연산에서 가장 기본적이고 또한 유용한 성질이기 때문에, 이러한 성질을 만족하는 연산과 해당 연산이 이루어지는 집합을 묶어 군으로 특별히 지칭하는 것이다.

모든 군들은 정의에 의해 위 세 가지 연산 성질을 만족하므로, 따라서 파생되는 공통적인 성질들이 있다. 이것을 통해 전혀 새롭고 낯선 군이라 해도 그것이 군이라는 것만 알면 구조적 성질에 대해 상당 부분 미리 파악할 수 있다. 반면 서로 다른 군은 서로 다른 집합과 연산을 가지므로, 어떤 군만이 갖는 독특한 성질들도 있을 것이다. 군의 어떤 요소가 어떤 특성을 유발하는지 알면 해당 요소를 갖는 다른 군에 대해서도 같은 특성을 예상해 볼 수 있다. 군론은 이러한 모든 것들을 논하는 분야라 할 수 있다.

군이라는 대상을 처음 접하는 학생들은 위에서 서술한 군의 정의를 한 번에 이해하기 힘들기 때문에 정의를 무작정 외우고 이해하기보다는 예시를 통해서 이해하는 것이 좋다.

군은 대칭성을 가지는 구조의 움직임에서 자연스럽게 유도된다. 예를 들어, 루빅스 큐브의 움직임들을 원소로 삼아 집합을 만들고, 두 가지 움직임의 결합을 이항연산으로 정의하면 이것은 군(Group)이 된다. 이때 항등원은 가만히 놔두는 것, 역원은 돌렸던 것과 정확히 반대로 돌리는 것이 된다.

루빅스 큐브의 예에서 이미 알아차렸겠지만, 저기 있는 세 가지 공리는 자기자신으로 가는 일대일 대응들을 모아놓았을 때 자연스럽게 생기는 성질이다.

(결합법칙): 결합법칙은 함수가 가지고 있는 자연스러운 성질이다.
(항등원의 존재): 항등함수[7]는 자기 자신으로 가는 일대일 대응 중 하나이다.
(역원의 존재): 자기 자신으로 가는 어떤 일대일대응 [math(f)]의 역함수 [math(g=f^{-1})]도 자기 자신으로 가는 일대일 대응 함수이다.

즉, 어떤 대상이 "대칭" 구조만 있으면 자연스럽게 그 대상에 대응하는 군을 만들어 볼 수 있다. 심지어 아무 대칭구조가 없는 대상이라 할지라도![8]

이와 같이 군을 처음 배우는 사람들은 군의 개념은 어느 순간 뚝 하고 만들어진 것이 아니라 정다각형[9], 정다면체, 원, 좌표평면, 다항식과 같은 수학적 대상의 대칭성을 생각하다가 자연스럽게 만들어졌다는 것을 이해해야 한다.

1.2. 이해를 돕기 위한 예시

1.2.1. 덧셈에 대한 정수군

위는 순수한 집합의 개념 위에서 이항연산을 정의하는 표현이라 대수학을 공부한 사람이 아니면 직관적으로 이해되지 않을 수 있다. 쉬운 이해를 위해서는 [math(G)] 대신 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]를 이항연산은 덧셈([math(+)])으로 생각하여 [math(\left(\mathbb{Z}, +\right))]를 생각하면 된다. 항등원은 당연히 [math(0)]이다. [10]

덧셈에 대한 결합법칙: [math(\left( a+b \right)+c=a+\left( b+c \right))] 이 성립한다.
덧셈에 대한 항등원: [math(a+0 = a = 0+a )] 인 0이 존재한다.
덧셈에 대한 역원: [math(a+x=0=x+a)] 를 만족시키는 [math(x = -a)] 가 항상 존재한다.

참고로 자연수의 집합 [math(\mathbb{N})]에는 덧셈에 대한 항등원 [math(0)]이 존재하지 않으므로 [math(\left(\mathbb{N}, +\right))]은 반군이다. 그리고 [math(0)]을 포함한 자연수의 집합 [math(\mathbb{N}_{0})]는 항등원은 존재해도 역원은 존재하지 않으므로 [math(\left(\mathbb{N}_{0}, +\right))]은 모노이드가 된다. 곱셈에 대하여 생각하면 [math(\left(\mathbb{N}, ×\right))]는 항등원이 존재하지만, 역원은 존재하지 않기에 모노이드가 된다.

1.2.2. 이면군(dihedral group)

~~염주순열~~
자연수 [math(n)]에 대해, 이면군은 [math(D_{2n}=\left\langle r,\,f\mid r^{n}=f^{2}=\left(rf\right)^{2}=1\right\rangle)]로 정의된다.[11][12]

이면군을 상상하려면 정[math(n)]-각형 [math(P)]을 생각하면 된다. [math(P)]의 모양을 그대로 두는[13] 변환은, [math(2\pi/n)]만큼 회전(rotation), (꼭짓점과 중심을 잇는 선으로) 뒤집기(flip)[14]와 그것을 연속으로 적용한 것이 전부임을 직관적으로 알 수 있을 것이다. 회전과 뒤집기를 각각 [math(r)], [math(f)]라 하면, [math(r^{n}=f^{2}=\left(rf\right)^{2}=1)]이다.

돌리고 뒤집기와 뒤집고 돌리기는 다르므로(뒤집으면 방향이 바뀌니까!) 이것은 아래 설명할 가환군(Abelian group)이 아니다. ~~집에서도 간단히 해볼 수 있다. 꼭 해보자~~ ~~교환법칙 성립하지 않는 게 마치 행렬이나 함수를 보는 듯하다[15]~~

1.2.3. 대칭군(symmetric group)

자세한 내용은 대칭군 문서 참고하십시오.

2. 다른 수학 분야에서의 응용

많은 상황에서 군은 대상들의 변환을 서술하는 도구로 사용된다. 군의 원소 각각이 집합 [math(X)]의 원소들을 섞어 놓을 때, 즉 집합 [math(X)]의 일대일대응 함수라고 생각할 수 있을 때, 이를 군의 작용(group action)이라 한다. 관점에 따라서는 대칭군으로 볼 수도 있다.

예를 들어서 "정육면체의 면에 [math(n)]가지 색을 칠하는 방법의 개수는? 단 돌렸을 때에 같은 것은 같다고 한다." 같은 문제를 생각해 보자. '정육면체를 돌리는 법'의 집합을 생각하고, 연산을 변환의 합성 (즉 한번 돌리고 다른 방법으로 돌리는 것)으로 정의하면 이것은 군이 되고, 이 문제도 따라서 군론의 관점에서 접근할 수 있다. 자세한 것은 번사이드 보조정리를 참고하기 바란다. 이와 비슷한 예로 루빅스 큐브의 조작들을 군이라 할 수 있다.

다른 예로 일차 변환 중 거리를 보존하는 행렬들의 모임은 군을 이루고, 이들은 벡터공간 [math(R^{n})]에 작용한다고 볼 수 있다. (애초에 일차변환의 정의가 [math(R^{n}\rightarrow R^{n})]인 함수이므로.) 이 일차변환 중 강체운동(rigid motion)만을 생각한다면 이를 유클리드 기하학이라 볼 수 있는 것.

물리에서 군론은 매우 중요하게 사용되는데, 헤르만 바일(Hermann Weyl)이나 에미 네터(Emmy Noether) 등에 의해 물리학의 보존법칙(운동량 보존, 에너지 보존 등)이 항상 변환에 대한 불변성으로 해석될 수 있음을 보인 이후이다. 이 '변환에 대한 불변성'은 일반적으로 대칭성이라 불리고, 현대물리학의 거의 모든 분야의 화두가 된다.

3. 부분군(subgroup)

말 그대로, 군 속의 군이다. 정의는 다음과 같다.
군 [math(\left(G,*\right))]에서 [math(G)]의 부분집합 [math(H)]가

(닫힘성)임의의 [math(a,b\in H)]에 대해 [math(a*b\in H)],
(항등원의 존재) [math(H)]는 [math(G)]의 항등원을 포함.
(역원의 존재)임의의 [math(a\in H)]에 대해, [math(a^{-1} \in H)] ([math(a^{-1} )]는 [math(a )]의 [math(G)]에서의 역원)

을 만족시키면 군 [math(\left(H,\left.*\right|_{H}\right))]를 [math(\left(G,*\right))]의 부분군(subgroup)이라 한다.[16]
항등원의 집합 [math(\left\{e\right\})]는 항상 군이 되고, 이를 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 하며, 자기 자신 G가 아닌 부분군을 진부분군(proper subgroup)이라 한다.

부분군임을 증명하기 위해 [math(H)]가 유한집합이면 닫힘성을 [math(a*b\in H)]만 확인하더라도 괜찮지만, 무한집합에서는 반례가 있다. 예를 들면 정수의 부분집합인 범자연수([math(\mathbb{N_{0}})]). 부분군의 정의에서 닫힘성과 역원의 존재 둘을 합쳐서 "임의의 [math(a,b\in H)]에 대해 [math(a*b^{-1} \in H)]"으로 대체될 수 있고, 항등원의 존재성은 [math(H)]가 공집합이 아니라는 조건으로 바꾸어 쓸 수 있다.[17]

부분군은 어느 대수구조에나 있는 '부분집합이 다시 같은 대수구조가 되는' 대상이다. 선형대수학을 먼저 배우고 군론을 학습한다면, 부분공간(subspace)의 수많은 성질들이 부분군에 적용됨을 알 수 있을 것이다. (부분군의 부분군은 부분군, 생성부분군의 존재성 등등) 하지만 군론에서 부분군의 대접은 부분공간과는 미묘하게 차이가 있는데, 부분공간이 만족시키는 성질들 중 만족시키지 않는 것이 상당히 많기 때문이다. 군론에서 제대로 된 '부분대상'으로 쳐 주는 것은 사실상 아래에 후술할 정규부분군(normal subgroup)이다.[18] 물론 그렇다고 정규부분군이 아닌 부분군들이 푸대접을 받는다는 것은 절대 아니고, 다만 다른 대수학과는 다른 군론 특유의 방법론으로 연구된다는 것이다.

3.1. 관련된 정리들

([math(G)]는 군이고, [math(H,\,K<G)])

한 군의 여러 부분군의 교집합은 부분군이다.
라그랑주 정리(Lagrange's theorem): [math(\left|G/H\right|\left|H\right| = \left|G\right|)]
[math(HK:=\left\{ hk : h\in H, k\in K \right\})]가 부분군이기 위한 필요충분조건은 [math(HK=KH)]
[math(HK)]의 원소의 수
[math(\left|HK\right|=\frac{\left|H\right|\left|K\right|}{\left|H\cap K\right|})]~~집에서 증명해보자~~

다음은 조금 어렵지만 매우 중요한 정리들.

실로우 정리: 유한군의 [math(p)]-부분군을 완벽히 분석한 정리.
Schreier-Zassenhaus 정리: 두 정규부분군의 교집합도 정규부분군이라는 정리
Jordan-Holder 정리: 정규부분군의 composition series는 유일하다. 나중에 배울 갈루아 이론에서 매우 중요해지는 정리.

3.2. 부분군의 생성원(generator)

군의 주어진 부분집합을 포함하는 최소의 군을 생성부분군(spanning subgroup)이라 한다. 이때 주어진 부분 집합은 생성원 또는 생성집합이라 불린다. 생성집합이 [math(X)]인 생성부분군은 보통 [math(\left\langle X\right\rangle)]로 표시된다.

생성원이 [math(X=\left\{a_{1}, a_{2}, ...\right\})]인 경우에 생성부분군의 모든 원소는 X의 원소들과 그 역원들을 (같은 것 중복을 허용해서) 순서대로 나열한 단어(word)들로 나타난다. 예를 들어서 [math(X=\left\{a,b\right\})]인 경우는 [math(abbba^{-1})] , [math(aab^{-1})], [math(aba^{-1} b)] 같은 것들이 있다는 것. 보통 이 곱을 순서를 바꿔 쓰는 게 안 되므로, 생성부분군의 구조는 상당히 복잡해질 수 있다. 실제로 2*2 정수 행렬 중 행렬식이 1인 것들의 군 [math(\text{SL}_{2}\left(\mathbb{Z}\right))]는 다음의 단 두 개의 원소만으로 생성된다.

[math(S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})], [math(T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]

이면군
[math(D_{2n}=\left\langle r,f\right\rangle)]이다.

4. 몫군(factor group / quotient group)과 정규부분군(normal subgroup)

대수학을 비롯한 다양한 수학분야에서, 일상적인 개념은 동치관계이다. 그런 이유에서, 동치관계에 있는 원소들을 같은 것으로 간주하여, 연산을 하기를 원한다. 이를 자세히 보자.

군과 그것의 부분군 [math(H<G)]를 생각하자. 동치관계 [math(a\sim_{H} b)]를 [math(ab^{-1}\in H)]로 정하자.[19] 그리고 그 동치류들의 모임 [math(G/\sim_{H})]를 [math(G/H=\left\{aH:a\in G\right\})][20]로 적는다.[21] [math(G/H)]는 군을 이루는가? 다시 말해, 동치류에 적절한 연산 [math(\left(aH\right)\left(bH\right)=\left(ab\right)H)]이 잘 정의될( well-defined) 수 있을 것인가? 불행히도 항상 그렇진 않다. 만약 적절한 연산이 잘 정의될 수 있어 [math(G/H)]이 군을 이룰 수 있다면 이것을 몫군(factor group)이라 하며, 몫군을 만들 필요충분조건은 [math(H<G)]가 정규부분군인 것이다.[22] 동기는 설명했으니, 정규부분군의 정확한 정의를 보자.

4.1. 정규부분군(normal subgroup)

[math(N<G)]이 정규부분군(normal subgroup)이라 함은, 다음이 성립하는 것이다. 그리고 [math(N\vartriangleleft G)]라 표현한다.

TFAE
* 임의의 [math(a\in G)]에 대해, [math(aNa^{-1}\subset N)]
* 임의의 [math(a\in G)]에 대해, [math(aNa^{-1}=N)]
* 임의의 [math(a\in G)]에 대해, [math(aN=Na)]

[math(N\vartriangleleft G)], [math(H< G)]에 대해, [math(NH<G)]이다.

4.2. 단순군(simple group)

'몫'군이라는 용어와 composition series를 잘 들여다 보면 인수분해와 비슷한 느낌을 받게 될 것인데, 이런 인수분해에서 소수의 역할을 하는 녀석들을 단순군이라고 부른다. 정의는 정규 부분군이 자명군과 자기 자신뿐인 군[23]. 이렇게 중요한 녀석이니 유한 단순군의 분류는 수학사적으로 큰 떡밥이었는데, 장장 50여년간 수많은 수학자들이 조금씩 해쳐나간 결과 2004년 모든 유한 단순군이 완벽히 분류되었음이 증명되었다. 그 긴 세월동안 이 문제에 공헌한 논문을 다 합치면 만장도 넘을 거라고 해서 붙은 별명이 'enormous theorem'이니 그 방대함을 짐작할 만 한데, 그 결과는 다음과 같다.

위수(Order)가 소수인 순환군
Degree가 5이상인 교대군
Lie-type군과 Tits군
이런 분류에 속하지 않는 26개의 산재군

Lie-type군도 더 분류하면 슈발레군, 스타인버그군, 스즈키-리( Ree)군 등으로 나뉘고, 산재군 중에도 비슷한 원리로 만들어진 것들끼리 묶어서 언급하는 경우도 있다. Tits군은 엄밀히는 Lie-type이 아니니 27개의 산재군이라고 하는 경우도 있다. 산재군은 크기가 무식하게 큰데, 가장 작은 게 원소를 7920개나 갖고 있고 가장 큰 군은 원소가 80항하사보다 많아서 이름조차도 괴물군(monster group)이다.

5. 준동형(homomorphism)과 동형 정리(isomorphism theorem)

대수학의 기본적 철학은, 두 대수적 대상 사이의 대수적인 함수를 생각하는 것이다. 여기서 함수가 대수적이라 하는 것은, 대수적 구조를 보존하는 것을 말한다. 예컨대, 벡터 공간의 대수적 구조는 선형성이고, 선형성을 보존해주는 함수를 선형 변환이라 한다. 이는 군을 포함한 대수학의 모든 경우로 일반화될 수 있으며, 대수학에서 아주 중요한 개념이다.[24]

5.1. 준동형(homomorphism)

두 군 [math(G_{1})], [math(G_{2})] 사이의 함수 [math(f:G_{1}\to G_{2})]가 준동형(homomorphism)이라 함은 다음을 만족시키는 것이다.

임의의 [math(a,\,b\in G_{1})]에 대해, [math(f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right))]이다.[25]

5.1.1. 핵(kernel) 상(image)

두 군 [math(G_{1})], [math(G_{2})]의 준동형 [math(f:G_{1}\to G_{2})]에 대해 핵(kernel)과 상(image)을 각각 다음과 같이 정의한다.

* [math(\text{Im}f:=f\left(G_{1}\right))]
* [math(\ker f:=\left\{a\in G_{1}:f\left(a\right)=e_{2}\right\})][26]

다음이 성립한다.

[math(\ker f\vartriangleleft G_{1})]이다.
[math(\text{Im}f< G_{2})]지만, [math(\text{Im}f\vartriangleleft G_{2})]이 성립하지 않을 수 있다.

5.1.2. 전사준동형(epimorphism)과 단사준동형(monomorphism), 동형 사상(isomorphism)

두 군 [math(G_{1})], [math(G_{2})]의 준동형 [math(f:G_{1}\to G_{2})]가 전사(surjective), 단사(injective), 전단사(bijective)일 때, 각각 전사준동형(epimorphism)과 단사준동형(monomorphism), 동형 사상(isomorphism)이라 부른다.

만약 두 군 사이에 동형 사상이 있다면, 두 군은 사실상 같은 것이다. 동형 사상이 존재하는 두 군의 관계를 동형적(isomorphic)이라 부르고, [math(G_{1}\cong G_{2})]라 적는다. 따라서, 군의 분류 문제는 동형적이라는 동치관계 위에서 진행된다.[27]

5.2. 동형 정리(isomorphism theorem)

동형 정리(isomorphism theorem)라 함은 다음의 세 가지를 일컫는다. 뒤의 두 가지는 첫 번째 것의 따름정리일 뿐이다.

제1 동형 정리
두 군 [math(G_{1})], [math(G_{2})]의 준동형 [math(f:G_{1}\to G_{2})]에 대해, 다음이 성립한다.
[math(G_{1}/\ker f\cong \text{Im}f)]

제2 동형 정리
[math(N\vartriangleleft G)], [math(H<G)]에 대해, [math(N\cap H\vartriangleleft H)], [math(H\vartriangleleft NH)]이고 [math(NH/N\cong H/\left(H\cap N\right))]이다.

제3 동형 정리
[math(N_{1}, N_{2}\vartriangleleft G)], [math(N_{1}<N_{2})]에 대해, [math(N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1})]이고 [math(\left(G/N_{1}\right)/\left(N_{2}/N_{1}\right)\cong G/N_{2})]이다.

6. 군의 종류

군들 중에 좋은 성질을 가진 것들에는 따로 이름을 붙여 다루고 있다. ~~물론 환장할 정도로 성질이 쓰레기 같은 군 또한 따로 이름을 붙여서 다룬다.~~그들 중 학부에서 배울 만한 것들로는 순환군(cyclic group), 가환군(Abelian group), 멱영군(nilpotent group), 가해군(solvable group)이 있다. 이들은 순서대로 먼저 것이 다음 것에 포함되고, 그 어느 것도 같지 않다.

6.1. 사전 지식

이하의 두 용어는 멱영군과 가해군을 정의할 때 쓰인다.

6.1.1. 교환자(commutator)

[math(a,b\in G)]에 대해, [math(\left[a,\, b\right]:=aba^{-1}b^{-1})]이라 정의한다. 그리고 [math(H,K\in G)]에 대해, [math(\left[H,\,K\right]:=\left\langle\left[h,\,k\right]:h\in H, k\in K\right\rangle)]이라 한다.

[math(G^{\left(0\right)}=G)], [math(G^{\left(n+1\right)}:=\left[G^{\left(n\right)},\,G^{\left(n\right)}\right])]로 정의한다.

[math(G_{\left[0\right]}=G)], [math(G_{\left[n+1\right]}:=\left[G_{\left[n\right]},\,G\right])]로 정의한다.

[math(N\vartriangleleft G)]에 대해, [math(G/N)]이 가환군일 필요충분 조건은 [math(\left[G,\, G\right]<N)]인 것이다.

6.1.2. 중심화 부분군(centralizer)의 확장

군 [math(G)]의 중심화 부분군(centralizer)를 확장하는 것에서 시작한다. [math(Z_{0}\left(G\right)=1)]이다. 군 [math(G/Z_{n}\left(G\right))]에 대해, [math(Z_{n+1}\left(G\right)<G)]가 존재하여, [math(Z_{n+1}\left(G\right)/Z_{n}\left(G\right):=Z\left(G/Z_{n}\left(G\right)\right))]이다.[28] 이하에서 별다른 오해의 소지가 없다면, [math(Z_{n}:=Z_{n}\left(G\right))]이라 쓰기로 한다.

6.2. 순환군(cyclic group)

군이 단일한 생성원을 가질 때, 즉 [math(a\in G)]가 존재하여 [math(G=\left\langle a\right\rangle)]일 때,
순환군(cyclic group) 이라 한다.

[math(G)]가 순환군이면, [math(n\in \mathbb{Z})]가 존재하여 [math(G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]이다.[29]

이 사실에 의해, 순환군은 기초정수론에 의해 모두 파악될 수 있다는 것을 알 수 있다.

6.3. 가환군(Abelian group)

군이 교환법칙을 만족시킬 때, 가환군(commutative group) 또는 아벨군(Abelian group)이라 한다.

(교환 법칙; commutativity) 임의의 두 원소 [math(a, b\in G )]에 대해,
[math(a*b = b*a )]

이 경우, 이항연산을 덧셈으로 생각하고 역원을 [math(-a)]라 적는다. 아무런 차이가 없다. 다만, 관습의 문제일 뿐이다.[30] 모든 부분군은 정규부분군이다.

가환군은 [math(\mathbb{Z})]- 가군이고, 그 역 또한 성립한다. 그런 이유에서 다음의 유한생성 가환군의 기본정리는 PID 위의 유한생성 가군의 기본정리의 따름 정리이다.

유한생성 가환군 [math(G)]은 다음의 형식으로 표현되며, 다른 형식들은 서로 비동형적이다.
[math(G\cong \mathbb{Z}^{r}\times \prod\left(\mathbb{Z}/a_{i}\mathbb{Z}\right))]([math(a_{i}\mid a_{i+1})])이다.

그리고 유한 가환군에서는 [math(r=0)]이다. 이것을 처음 증명한 것은 아벨이며, 이런 이유로 가환군에 아벨의 이름이 붙었다. 군으로 보는 것이 편리할때는 환으로 보고 이론을 전개하고, 가군으로 보는 것이 편리할때는 가군으로 보고 이론을 전개하면 된다.

순환군은 가환군이다. 그러나, [math(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})]은 가환군이지만 순환군은 아니다.

6.4. 멱영군(nilpotent group)

다음이 성립하며, 다음의 명제들 중 하나가 성립할 때, 멱영군(nilpotent group)이라 한다.

TFAE
* [math(\exists1=G_{c}<\cdots<G_{0}=G\qquad\forall i,\, x\in G,\, y\in G_{i}\left[\left[x,\, y\right]\in G_{i+1}\right])]
* [math(\exists c\in N\qquad Z_{c}\left(G\right)=G)]
* [math(\exists c\in N\qquad G_{\left[c\right]}=1)]

멱영군과 그것의 부분군 [math(H<G)]에 대해, [math(N_{G}\left(H\right)=H)]라면 [math(G=H)]이다. 이것에 의해 다음이 성립한다.

[math(p)]-군은 멱영군이다.
유한 멱영군은 [math(p)]-군의 곱으로 표현된다.

가환군은 멱영군이지만, 가환군이 아닌 멱영군도 있다.

소수 [math(p)]에 대해 이면군 [math(D_{2p})]은 멱영군이다.

두 멱영군의 곱은 멱영군이다.
멱영군의 부분군과 몫군은 멱영군이다.

그러나, [math(A_{3}\vartriangleleft S_{3})]와 같이, [math(N\vartriangleleft G)]과 [math(G/N)]이 모두 멱영군이라 하더라도, [math(G)]는 멱영군이 아닐수 있다.

6.5. 가해군(solvable group)

대수 방정식의 가해성에 대한 갈루아의 결론이 가해군으로 표현된다.

다음이 성립하며, 다음의 명제들 중 하나가 성립할 때, 가해군(solvable group)이라 한다.

TFAE
* [math(\exists 1=G_{0}\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_{c}=G\qquad\forall i,\, G_{i}/G_{i+1}\text{Abelian})]
* [math(\exists c\in N\qquad G^{\left(c\right)}=1)]

두 가해군의 곱은 가해군이다.
가해군의 부분군과 몫군은 가해군이다.
[math(N\vartriangleleft G)]에 대해, [math(N)], [math(G/N)]이 모두 가해군이면 [math(G)]도 가해군이다.

5차 방정식부터 근의 공식이 없다는 것과 관계가 있는데, 5차 방정식 중 실근 셋과 허근 둘이 나오는 조건이 가해군이 아닌 것으로 밝혀졌기 때문이다.

6.6. 포함 관계

[math(\text{cyc.})], [math(\text{ab.})], [math(p-\text{gp.})], [math(\text{nil.})], [math(\text{sol.})], [math(\text{gp.})]는 각각 순환군, 가환군, [math(p)]-군, 멱영군, 가해군, 일반적인 군을 나타낸다.

[math(\text{cyc.}\varsubsetneq\text{ab.}\varsubsetneq\text{nil.}\varsubsetneq\text{sol.}\varsubsetneq\text{gp.})]
[math(p\text{-gp.}\varsubsetneq\text{nil.})]

여기서, [math(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\in\text{ab.}-\text{cyc.})], 소수 [math(p)]에 대해 [math(D_{2p}\in\text{nil.}-\text{ab.})], [math(S_{3}\in\text{sol.}-\text{nil.})], [math(S_{5}\in\text{gp.}-\text{sol.})][31], [math(\mathbb{Z}/\left(pq\mathbb{Z}\right)\in\text{nil.}-p\text{-gp.})][32]

7. 원소의 개수에 따른 분류

[math(|G|=n)]. 일단 [math(n\le 30)]인 경우는 모두 포함되어 있다.

||<-2>순환군||소인수분해||<-2>가환군||경우||<-2>멱영군||경우||<-2>가해군||경우||<-2>일반적인 군||해당되는 [math(n)]||

[math(\mathbb{Z}_{n})]	1	1	-	1	-	-	1	-	-	1	-	-	1	1
		[math(p)]	-	1	-	-	1	-	-	1	-	-	1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
		[math(p^{2})]	[math((\mathbb{Z}_{p})^{2})]	2	-	-	2	-	-	2	-	-	2	4, 9, 25, ...
		[math(pq)] ([math(p<q)])	-	1	-	-	1	[math(p\|(q-1))]	[math(\mathbb{Z}_{q}\rtimes\mathbb{Z}_{p})][33]	2	-	-	2	6, 10, 14, 21, 22, 26, ...
		[math(pq)] ([math(p<q)])	-	1	-	-	1	[math(p\!\!\!\not{\|}(q-1))]	-	1	-	-	1	15, ...
		[math(p^{3})]	[math((\mathbb{Z}_{p})^{3})], [math(\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{2}})]	3	-	[math((\mathbb{Z}_{p})^{2}\rtimes\mathbb{Z}_{p})], [math(\mathbb{Z}_{p^{2}}\rtimes\mathbb{Z}_{p})]	5	-	-	5	-	-	5	8, 27, ...
		[math(p^{2}q)]	[math(\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{pq})]	2	?	?	?	?	?	?	?	?	5	12, 18, 20
					?	?	?	?	?	?	?	?	4	28
					[math(p\|(q-1))], [math(q\|(p^{2}-1))]	-	2	-	-	2	-	-	2	45, 99, 153, ...
		[math(p^{4})]	[math((\mathbb{Z}_{p})^{4})], [math((\mathbb{Z}_{p})^{2}\times\mathbb{Z}_{p^{2}})], [math(\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{3}})], [math((\mathbb{Z}_{p^{2}})^2)]	5	?	?	?	?	?	?	?	?	14	16
		[math(p^{4})]		5	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
		[math(p^{3}q)]	[math((\mathbb{Z}_{p})^{2}\times\mathbb{Z}_{pq})], [math(\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{2}q})]	3	?	?	?	?	?	?	?	?	15	24
		[math(p^{3}q)]		3	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
		[math(pqr)]	-	1	?	?	?	?	?	?	?	?	4	30
		[math(pqr)]	-	1	[math(p_{i}\!\!\!\not{\|}(p_{j}-1))]	-	1	-	-	1	-	-	1	255, 345, ...

8. 수학에서의 군론

학부 대수학에서의 군은 가장 간단한 대수적 구조로서의 의미를 갖지만, 군은 '변환'과 '대칭'으로 생각될 수 있는 모든 것을 설명하는 강력한 도구로서의 의미가 더 강하다. 여기서는 군론의 구체적인 내용보다는, 수학의 다양한 분야에서 군이 사용되는 예들을 설명한다.

8.1. 군과 대수학

역사적으로 군이 처음 등장한 것은 19세기에 프랑스의 수학자 갈루아가 [math(n)]차방정식의 일반해가 존재할 조건을 군론을 이용하여 제시하면서이다. 여기서 등장한 갈루아 군(Galois group)의 개념은, 간단히 말하면 방정식의 근들의 대칭을 묘사하는 군이다. 예를 들어서 이차방정식 [math(x^2 - 2 = 0)]의 근 [math(\sqrt{2})]와 [math(-\sqrt{2})]는 (유리수 위에서는) 연산을 보존하며 서로 바꾸어 쓸 수 있고, [34] 따라서 이 두 근의 치환군을 이 방정식의 갈루아 군이라 할 수 있다. 갈루아 이론의 내용은 갈루아 군의 성질을 탐구함으로서써 방정식의 성질을 알아낼 수 있다는 것이고, 방정식의 일반해가 존재하지 않는다는 것은[35] 그 갈루아 군이 가해성(solvability)이라는 군론의 성질을 만족시키지 않음과 동치라는 것이다.

8.2. 군과 기하학

8.2.1. 대칭구조와 격자

공간의 주어진 도형의 모양을 유지하는 조작을 도형의 대칭군(group of symmetry, symmetry group)[36]이라 한다. 예를 들어서 평면에서 정사각형의 대칭군은 0도, 90도, 180도, 270도 회전의 4가지 회전과, 4개의 대칭축에 대한 선대칭의 8개의 조작으로 이루어져 있다. 2차원 공간의 대칭군 중 격자의 대칭을 따지는 벽지무늬 군(wallpaper group)은 쪽매붙임(테셀레이션, tessellation)을 빠짐없이 분류하는 데에 쓰인다. 3차원 공간의 대칭군은 공간군(space group)이라는 이름을 갖고 있고, 아래 소개할 화학에서의 분자구조 및 결정구조 등을 따지는 데에 응용이 된다. 하지만 대칭군의 진가는 4차원 이상의 그릴 수 없는 대상들을 군론의 지식을 통해 분석하는 데에 있다.

8.2.2. 연속군

이제까지 살펴본 대칭군들은 이산적(discrete)이었지만, 여기에 대해 연속적인 대칭도 생각할 수 있다. 공간 그 자체의 대칭, 즉 유클리드 공간의 모든 강체운동을 모두 모은 대칭군을 직교군(orthogonal group)이라 한다.

공간에서 거리라는 요소마저 무시한다면, 이 때의 대칭군은 벡터공간의 가역 선형사상을 모두 모은 general linear group이 된다. 이러한 연속적인 군을 통틀어 리 군(Lie group)이라고 한다.[37] 선형대수학의 사고방식으로 본다면 리 군은 보통 행렬들의 군이 된다.[38]

8.2.3. 군의 표현

군이 벡터공간에 선형사상으로서 작용하는 것을 표현(representation)이라 한다. 대칭군들은 공간의 선형사상 그 자체이므로 이는 자연스런 표현이 되지만, 공간 자체뿐만이 아니라 공간의 여러 요소들에도 작용하므로 이는 다양한 종류의 표현을 동반한다. 그리고 추상적으로 같은 군이 다른 공간에 상이한 방식으로 작용할 수도 있다. 따라서 군의 가능한 모든 표현들을 분류하는 표현론(representation theory)이 중요해진다. 현대의 표현론은 다양한 유한군과 리군들의[39] 모든 표현을 빠짐없이 분류하는 데에 성공하였고, 이는 물리나 화학에서 공간의 대칭군을 생각할 때 아주 중요한 내용이다.

8.3. 군과 위상수학

위상수학(topology)은 간단히 말하자면 도형들을 연속적으로 (마치 고무판 위에서처럼) 변형시켰을 때 불변하는 대상들을 연구하는 기하학의 분야이다. 이 불변량들의 상당수는 군으로 나타나고, 군론을 사용하여 이들을 연구하는 것을 대수적 위상수학이라 한다. 자세한 것은 위상수학 문서를 참고.

그리고 사실 위상군이란 것도 있다. 대수적인 구조가 위상적인 구조에서도 그대로 성립하는 특수한 군[40]인데, 이는 위상수학이 기하학의 분야이면서, 동시에 집합론적 측면으로 발달한 분야이기도 하기 때문에 가능한 측면이며, 어떤 군이든 적절한 위상을 주면 위상군이 될 수 있다. 특히 이산위상[41]이나 비이산위상[42]을 주면 반드시 위상군으로 작용한다.

8.4. 군과 정수론

모듈러 군(modular group)이란 행렬식이 [math(1)]인 [math(2\times 2)] 정수행렬의 군을 말한다. 얼핏 봐서는 이게 뭐가 중요하냐는 생각이 들겠지만, 이 군은 평면 격자의 대칭군이다. 마치 수직선 위의 주기함수가 푸리에 해석에 의해 정수군의 표현과 관련을 맺고 있듯이, 격자에 대한 주기함수로 생각될 수 있는 모듈러 형식(modular form)은 모듈러 군의 표현을 묘사한다. 뜻 밖에도 이 모듈러 형식은 타원곡선 같은 현대정수론의 수많은 곳에 똑같은 형태로 나타나는 중요한 대상이다. 비록 복소수 위의 타원곡선이 격자에 바탕해 만들어지긴 하지만, 모듈러 형식과 관련있는 것은 이와 전혀 관련없는 타원곡선의 정수해라는 사실은 상당히 의미심장하다.

페르마의 마지막 정리의 대미를 장식하는 이론이다.

8.5. 군과 범주론

군은 범주론에서는 희한한 방식으로 정의된다. 단 하나의 대상(object)을 갖는 카테고리를 모노이드라 하는데, 이 모노이드 중 모든 사상(morphism)이 가역사상(isomorphism)인 것을 군이라 정의한다. ~~뭐라고?~~ 무슨 소리인가 싶지만, 범주론 특유의 탈함수적 사고방식을 동원하면 이는 자명하다. 군 자체가 단일한 대상이고, 군의 원소 하나하나가 사상이며, 군의 곱(product)이 바로 합성사상이다.[43] 이 사상 하나하나가 항등원과 제각기 역원을 가지므로 이들은 모두 가역사상이다. 이 중 가역사상의 조건이 성립하지 않는, 즉 '역원을 갖지 않는' 원소 겸 사상이 존재하는 경우를 모노이드라 한다.

이는 범주론 교과서와 수업 극초반부터 등판하여 집합론적 사고방식에만 익숙한 학생들에게 충격을 선사하는 단골 주제이기도 하다.

9. 관련 문서

[1] 두 원소를 넣어 그 결과로 한 원소를 얻는 연산. [2] (N,+)과 같은 식으로 [3] 편의상 집합의 이름만을 취해 군으로 칭할 때도 있지만 이 때에도 해당 군이 갖는 연산이 어떤 것인지 맥락상 파악할 수 있는 장치가 반드시 마련돼 있어야 한다. [4] 여기서 [math(*)]은 곱셈이 아니다! 두 원소 [math(a)]와 [math(b)]에 대해 [math(G)]의 원소 [math(a*b)]를 대응시키는 것이라 보면 된다. 엄밀히 말하면 함수 [math(*:G\times G\rightarrow G)]이다. [5] [math(e')]도 항등원이면 [math(e = e*e' = e')]이므로 유일하다. [6] [math(y )]도 [math(a )]의 역원이면 [math(x = x*e = x*\left(a*y\right) = \left(x*a\right)*y =e*y =y )]이므로 유일하다. [7] 모든 원소가 자기 자신에 대응되는 함수 [8] 이 경우 원소가 항등원 하나인 자명군(trivial group)만 유도할 수 있다. [9] 이 경우 아래 설명할 이면군, 고등학교 때 배운 염주순열을 생각하면 쉽다. [10] 참고로 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]는 군을 넘어 환(대수학)이 된다. [11] [math(r^{n}=1)]이란 점 때문에 [math(D_{n})]라 적기도 한다. [12] 이런 식으로 표기하는 방법을 군의 표시(Presentation of a group)라고 한다. 괄호 앞에는 생성원을 전부 나열하고, [math(|)]나 [math(;)], [math(:)]등으로 구분한 뒤, 생성원이 내포하는 관계식을 나열하여 기술하는 방식이다. 예를 들어서 이면군의 경우 생성원에 해당하는 연산 [math(r,f)] 각각에 대하여 [math(r)]은 [math(2n)]번 반복하면([math(r^{2n})]) 처음과 같고([math(=1)]), [math(f)]는 2번 반복하면([math(f^2)]) 처음과 동일하며([math(=1)]), [math(r)]과 [math(f)]를 한번씩 시행한 뒤 다시 [math(r, f)]를 한번씩 반복하면 처음과 동일하다([math(\left(rf\right)^2=1)]) 라는 식을 표기한 것. [13] 변환 후에 바뀌었는 지 알아차릴 수 없는 [14] 그 선을 기준으로 선대칭 [15] 취소선을 쳐 놨지만 어느 정도는 맞는 말인게, 이면군의 원소는 가역행렬의 행태로 나타내는것이 가능하다! 자세히 말하자면, 이면군의 회전과 뒤집기와 같은 연산은 벡터공간 위의 선형변환의 형태로 나타낼 수 있다. 더 나아가 임의의 유한군을 벡터공간 위의 행렬로 표현하는 것 또한 가능하며, 여기에서 유래한 분야가 바로 표현론이다. [16] 군 [math(G)]의 부분집합 [math(H)]가 [math(G)]의 연산을 그대로 물려 받아서 군이 되면 부분군이다. 이 때, 물려받은 연산의 교환성과 결합성이 있으면, 그대로 물려받는다. [17] 대수학을 처음 배우는 사람들이 흔히 다음과 같은 실수를 하기도 한다. "[math(H)]의 역원의 존재에 의해 [math(a\in H)]이면 [math(a^{-1} \in H)]이고, 따라서 닫힘성에 의해[math(e=a*a^{-1} \in H)]이다. 따라서 항등원의 존재성은 위 정의에서 불필요한 내용이다." 틀린 이유는 [math(H)]의 원소 [math(a)]가 아예 없을 수도([math(H)]가 공집합일 수도) 있다는 것이다. 이 경우 닫힘성과 역원의 존재는 Vacuous truth가 되어 참이 된다. [18] 아무래도 정확한 의미는 나중에 가서 범주론(category theory)을 학습해야 알 수 있겠지만, 대충이라도 감을 갖고 있으면 학습 시 상당히 도움이 된다. [19] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 쉽다. [20] [math(aH=\left\{ah:h\in H\right\})]이고, 이는 동치류를 이룬다. [math(Ha)]도 비슷하게 정의한다. [21] 정확히는 이를 좌잉여류(left coset)이라 한다. 우잉여류는 반대로 해주면 된다. 그러나 방향 외에는 아무런 차이가 없고, 관습적으로 좌잉여류를 쓴다. [22] 또한 [math(H<G)]가 정규부분군일 때, [math(\left(aH\right)\left(bH\right)=\left(ab\right)H)]의 양변은 집합으로서 완전히 같다는 것도 보일 수 있다. [23] 수학적 용어로 바꾸면 군 [math(G)]에 대하여 [math(H\vartriangleleft G)]라는 것이 [math(H=\{e\})]이거나 [math(H=G)] 뿐이라는 조건이다. 여기서 [math(e)]는 해당 군에 정의된 연산에 대한 항등원. [24] 여기에 범주론적 관점을 더하면, 보편성(universal property)를 만나게 된다. [25] 대수 구조를 보존한다. [26] [math(e_{i})]는 [math(G_{i})]의 항등원이다. [27] 대수적 구조를 결정짓는 것이 동형 사상에 달려 있다고 봐도 좋다. 예컨대, 벡터 공간에서의 동형 사상은 내적 공간의 동형 사상보다 약하다. 전자의 경우, 단순히 선형성을 보존하는 전단사함수이지만, 후자에는 내적을 보존해야한다는 조건이 더 붙는다. 따라서, 전단사인 선형 변환(벡터 공간의 동형 사상)이 내적 공간에서는 동형적이지 않을 수 있다. 이와 같이 동형적이란 표현에 모호함이 있을 경우, 동형 사상들을 다르게 표현하여 구분한다. 예를 들어, [math(F)]-벡터 공간의 전단사 선형 변환은 [math(F)]-동형 사상이라 하고, 내적 공간의 동형사상은 등거리 변환(isometry)라 한다. [28] [math(Z_{1}\left(G\right)=Z\left(G\right))]라는 것을 알 수 있다. [29] [math(G=\left\langle a\right\rangle)]에 대해, [math(\phi\ :\mathbb{Z}\rightarrow G)]를 [math(\phi\left( n\right)=a^{n})]로 정의하고 제1 동형정리를 적용하여 바로 얻는다. [30] 가환군이라고 곱셉으로 적지 말라는 법도 없고, 가환군이 아니라고 덧셈으로 적지 못하라는 법도 없다. [31] 이것이 5차 방정식의 불가해성을 보여준다. [32] [math(p)], [math(q)]는 서로 다른 소수 [33] 특히 [math(p=2)]이면 [math(D_{n})] [34] 이는 중/고등 과정에서 이차방정식의 켤레근의 개념과 관련있다. 실은 켤레근도 갈루아 이론에서 온 단어로, (고차방정식의) 일반적인 켤레근의 정의는 갈루아 군으로 치환될 수 있는 복수의 근들이 된다. [35] 정확히는 사칙연산과 제곱근호로 근을 나타낼 수 없다는 것도 [36] 치환의 군인 대칭군(symmetric group)과 영어 철자는 다르지만, 번역은 똑같이 된다. 문맥에 따라 구분하자. [37] 노르웨이 수학자 Sophus Lie의 이름을 따왔다. 아주 엄밀히 말하면 리 군의 정의는 미분다양체인 군이다. 참고로 중국어로는 李群이라고 한다. [38] 하지만 일반적으로 보면 틀린 말인 게, 행렬들의 군으로 나타낼 수 없는 리 군이 존재한다. 구체적으로, [math(SL(2, \R))]의 universal covering group은 finite-dimensional faithful representation을 가지지 않는다. 예를 들어 J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Ed. (Springer, 2012) 중 문제 21-26을 보자. [39] 엄밀히는 반단순(semisimple) 리군들의 [40] 군에서 성립하는 모든 연산이 위상적으로 연속함수라는 것과 동치가 된다. 이 말을 위상수학적으로 기술하면 '임의의 열린집합을 정의역으로 주면, 함수에 대한 상집합이 열린집합이 된다'와 동치. [41] 집합 [math(X)]에 대하여, 집합 [math(X)]의 모든 부분집합을 모아놓은 집합. 즉 멱집합. [math(2^{X})]라고 표기한다. 이쪽은 비이산위상과는 다르게 모든 점을 구분할 수 있으나, 동시에 생각할 수 있는 모든 부분집합이 존재하기 때문에 임의의 점을 모은 집합도 당연하게 열린집합이 되어 연속함수 정의를 만족시킬 수 있다. 애당초 이 위상에서는 모든 집합은 열린집합이자 닫힌집합이다. [42] 집합 [math(X)]에 대하여 [math(\{\emptyset, X\})]로 주어지는 위상. 이 위상 위에서는 서로 다른 두 점을 위상적인 방법으로는 구분할 수 없다. 즉 어떤 연산의 결과도 불연속이 될 수 없어서 반드시 연속함수가 되는 위상이다. [43] 일부 서술에서는 군의 연산(operation)이라고 정의하기도 하나 군의 연산이야말로 본질적으로 ♡:G×G→G라는 '사상'이므로 근본적으로는 같은 서술이다. 다만 범주론에서는 대수적 구조 안에서 벌어지는 일에 집중하기보다는 바깥에서 대수적 구조를 바라보는 관점을 추구하느라 화살표 서술의 용이성 때문에라도 곱이라는 점을 강조하여 설명하는 교수들이 많다.