mir.pe (일반/밝은 화면)
최근 수정 시각 : 2023-05-30 07:22:58

확률 흐름 밀도

양자역학
Quantum Mechanics
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px;min-height:2em"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
<colbgcolor=#c70039> 배경 흑체복사 · 이중슬릿 실험 · 광전효과 · 콤프턴 산란 · 보어의 원자 모형 · 물질파 · 데이비슨-저머 실험 · 불확정성 원리 · 슈테른-게를라흐 실험 · 프랑크-헤르츠 실험
이론 체계 <colbgcolor=#c70039> 체계 플랑크 상수( 플랑크 단위계) · 공리 · 슈뢰딩거 방정식 · 파동함수 · 연산자( 해밀토니언 · 선운동량 · 각운동량) · 스핀( 스피너) · 파울리 배타 원리
해석 코펜하겐 해석( 보어-아인슈타인 논쟁) · 숨은 변수 이론( EPR 역설 · 벨의 부등식 · 광자 상자) · 다세계 해석 · 앙상블 해석 · 서울 해석
묘사 묘사( 슈뢰딩거 묘사 · 하이젠베르크 묘사 · 디랙 묘사) · 행렬역학
심화 이론 이론 양자장론( 비상대론적 양자장론) · 양자 전기역학 · 루프 양자 중력 이론 · 게이지 이론( 양-밀스 질량 간극 가설 · 위상 공간) · 양자색역학( SU(3))
입자· 만물이론 기본 입자{ 페르미온( 쿼크) · 보손 · ( 둘러보기)} · 강입자( 둘러보기) · 프리온 · 색전하 · 맛깔 · 아이소스핀 · 표준 모형 · 기본 상호작용( 둘러보기) · 반물질 · 기묘체 · 타키온 · 뉴트로늄 · 기묘한 물질 · 초끈 이론( 초대칭 이론 · M이론 · F이론) · 통일장 이론
정식화 · 표기 클라인-고든 방정식 · 디랙 방정식 · 1차 양자화 · 이차양자화 · 경로적분( 응용 · 고스트) · 파인만 다이어그램 · 재규격화( 조절)
연관 학문 천체물리학( 천문학 틀 · 우주론 · 양자블랙홀 · 중력 특이점) · 핵물리학( 원자력 공학 틀) · 응집물질물리학 틀 · 컴퓨터 과학 틀( 양자컴퓨터 · 양자정보과학) · 통계역학 틀 · 양자화학( 물리화학 틀)
현상 · 응용 양자요동 · 쌍생성 · 쌍소멸 · 퍼텐셜 우물 · 양자 조화 진동자 · 오비탈 · 수소 원자 모형 · 쌓음 원리 · 훈트 규칙 · 섭동( 스핀 - 궤도 결합 · 제이만 효과 · 슈타르크 효과) · 선택 규칙 · 변분 원리 · WKB 근사법 · 시간 결정 · 자발 대칭 깨짐 · 보스-아인슈타인 응집 · 솔리톤 · 카시미르 효과 · 아로노프-봄 효과 · 블랙홀 정보 역설 · 양자점 · 하트리-포크 방법 · 밀도범함수 이론
기타 군론 · 대칭성 · 리만 가설 · 매듭이론 · 밀도행렬 · 물질 · 방사선( 반감기) · 라플라스의 악마 · 슈뢰딩거의 고양이( 위그너의 친구) · 교재 }}}}}}}}}

1. 개요2. 공식3. 연속 방정식과의 관련성

1. 개요

Probability current

양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 [math( P(x,\,t) )]라 하면, 확률 흐름 밀도 [math( J(x,\,t) )]는 다음과 같은 식을 만족한다.
[math( \displaystyle {\partial P \over \partial t} = - {\partial J \over \partial x} )]
즉, 확률 흐름 밀도는 시간에 따른 확률이 변하는 것을 나타낸다. 다만 확률 밀도 함수라는 것은 "입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률" 같은 형태, 즉
[math( \displaystyle P_{ab} = \int_a^b P(x) \, dx )]
와 같은 식만 실제 확률의 값을 가진다. 따라서 확률 밀도 함수 또한 입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 계산하기 위해 사용된다. 이는 그냥 위 식을 [math( a )]부터 [math( b )]까지 [math( dx )]로 적분하면 된다.
[math( \displaystyle {dP_{ab} \over dt} = J(a,\,t) - J(b,\,t) )]
즉 [math( J(a,\,t) - J(b,\,t) )]는 입자가 [math( a )]와 [math( b )] 사이에서 발견될 확률의 변화율을 나타낸다.

2. 공식

입자의 파동함수를 [math( \Psi (x,\,t) )]라고 하면, 확률 밀도 함수는 [math( P(x,\,t) = {| \Psi |}^2 )]이다. 이때 1차원의 경우 확률 흐름 밀도 [math( J )]는 다음과 같이 [math( \Psi )]에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
[math( \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^\ast} \over {\partial x}} \Psi \right) )]
단, [math(m)]은 입자의 질량이고, [math(\Psi^\ast)]는 [math(\Psi)]의 켤레복소수이다. 또한 3차원에서는 편미분을 그레이디언트로 바꿔서 일반화할 수 있다.
[math( \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast \boldsymbol{ \nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{ \nabla} \Psi^\ast \right) )]

3. 연속 방정식과의 관련성

슈뢰딩거 방정식
[math( \displaystyle i\hbar{{\partial \Psi}\over{\partial t}} = - {{\hbar^2} \over {2m}} \boldsymbol{\nabla}^2\Psi + V\Psi )]
에 [math(\Psi^\ast)]를 곱하고 슈뢰딩거 방정식의 켤레
[math( \displaystyle -i\hbar{{\partial \Psi^\ast}\over{\partial t}} = - {{\hbar^2} \over {2m}} \boldsymbol{\nabla}^2\Psi^\ast + V\Psi^\ast )]
에 [math(\Psi)]를 곱해서 차이를 계산하면
[math( \displaystyle i\hbar{{\partial }\over{\partial t}}(\Psi^\ast \Psi ) = - {{\hbar^2} \over {2m}} (\Psi^\ast \boldsymbol{\nabla}^2 \Psi - \Psi\boldsymbol{\nabla}^2 \Psi^\ast ) )]

이때 [math(\rho)]를 확률 [math(|\Psi|^2)]로 생각한다면
[math( \displaystyle {{\partial \rho }\over{\partial t}} = - {{\hbar} \over {2mi}}\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^\ast \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi\boldsymbol{\nabla} \Psi^\ast \right) )]

연속 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0)]

위에서 얻은 식과 연속방정식을 비교하면 확률 흐름 밀도는 [math(\mathbf{J})]가 된다. 따라서 확률 흐름 밀도는 마치 어떤 영역에서 확률이 (마치 전류 밀도처럼) 빠져나오는 것이라고 생각할 수 있다.