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최근 수정 시각 : 2024-12-18 20:28:00

피타고라스 세 쌍

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1. 개요2. 구성3. 찾는 방법4. 기타5. 관련 문서

1. 개요

피타고라스 정리는 직각삼각형의 빗변의 제곱이 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합과 같다는 것이다. 즉 밑변을 [math(a)], 높이를 [math(b)], 빗변을 [math(c)]라고 놓으면 [math(a^2+b^2=c^2)]이라는 부정방정식[1]이 된다. 여기서 [math(a, b, c)]의 해를 자연수로 한정한다.[2] 이제 가능한 해들을 나열해 보면

[math(\{3,4,5\})]
[math(\{5,12,13\})]
[math(\{6,8,10\})]
[math(\{7,24,25\})]
[math(\{8,15,17\})]
[math(\{9,12,15\})]
[math(\{9,40,41\})]
[math(\{10,24,26\})]
[math(\{11,60,61\})]
[math(\{12,16,20\})]
[math(\{14,48,50\})]
[math(\{16,30,34\})]
[math(\{18,24,30\})]
[math(\{20,21,29\})]
[math(\{20,48,52\})]

등이 있다. 이러한 목록들을 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라고 부른다. 여기서 [math(\{6,8,10\})]같은 경우 해들이 2를 공약수로 가지는데 공약수를 1만 가지는 경우만 생각하자. 이런 경우를 만족하는 해를 원시 피타고라스 세 쌍(primitive Pythagorean triple)이라고 부른다.

흔히 '피타고라스 수'라고 곧잘 불리는데, 사실 이것은 '수'도 아니고 수 1개만으로는 의미를 갖지도 않는다.[3][4]

원시 피타고라스 세 쌍 [math(a,b, c)]에서 [math(\displaystyle (a, b, c)= \left (st, \dfrac{s^2-t^2}{2}, \dfrac{s^2+t^2}{2} \right) )]의 형태로 나타낼 수 있음이 알려져 있다. (단, [math(s)], [math(t)]는 서로소인 홀수이며, [math(s>t)])
[증명]
[math(a^2+b^2=c^2)]을 만족하는 피타고라스 세 쌍 (a, b, c)이 있을때 홀수와 짝수의 합 규칙(홀수+홀수=짝수, 홀수+짝수=홀수, 짝수+짝수=짝수)을 고려하면 a, b, c의 홀짝 조합은 (홀, 홀, 짝), (홀, 짝, 홀), (짝, 홀, 홀), (짝, 짝, 짝)으로 네가지이다. 이 중 (짝, 짝, 짝)은 2를 공약수로 가지므로 원시 피타고라스 세 쌍이 아니다. (홀, 홀, 짝)이 원시 피타고라스 세 쌍인지 아닌지 확인하기 위해서 [math(a=2x+1, b=2y+1, c=2z)]이 원시 피타고라스 세 쌍이라고 가정하자. 그럼
[math(a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow (2x+1)^2 + (2y+1)^2 = 4z^2 )]
이를 전개하면
[math(4x^2 + 4x + 4y^2 + 4y + 2 = 4z^2 )]
이걸 2로 나누면
[math(2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z^2)]
여기서 좌변은 홀수이고 우변은 짝수이므로 모순이 생긴다. 따라서 (홀, 홀, 짝)은 피타고라스 세 쌍이 아니다.
따라서 원시 피타고라스 세 쌍은 (홀, 짝, 홀), (짝, 홀, 홀)만 만족한다. 이제 덧셈은 교환법칙이 성립함으로 [math(b)]를 짝수로 잡자. 그럼
[math(a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b))]
이다. 이 중 [math(c+b)]와 [math(c-b)]가 [math(d)]라는 공배수를 가진다고 가정하자. 그러면 [math((c+b)+(c-b))]와 [math((c+b)-(c-b))]도 d라는 배수를 가진다. 그런데 [math((c+b)+(c-b)=2c)]이고 [math((c+b)-(c-b)=2b)]이다. 그러므로 [math(d)]는 1 아니면 2인데 c는 홀수임으로 d는 1이여야한다.
따라서 원시 피타고라스 세 쌍을 만족하는 [math((a, b, c))]에 대해서 c-b와 c+b는 서로소이다. 따라서 [math(a^2=(c+b)(c-b))]을 만족하고 [math(c+b)]와 [math(c-b)]는 서로소이므로 [math(c+b와 c-b)]는 제곱수이다. 이를 [math(c+b=s^2, c-b=t^2)](단, [math(s)], [math(t)]는 서로소인 홀수이며, [math(s>t)])으로 표현하자. 그럼 [math(\displaystyle (a, b, c)= \left (st, \dfrac{s^2-t^2}{2}, \dfrac{s^2+t^2}{2} \right) )]이다.

한편 원시 피타고라스 세 쌍에서 가장 큰 값인 [math(c)]는, 두 제곱수의 합 정리(Sum of Two Squares Theorem)와 연관지어 생각할 수 있다.

2. 구성

피타고라스 세 쌍을 나타내는 공식적인 기호가 정의돼 있지 않으므로, 편의상 집합의 기호를 피타고라스의 이름 앞글자에서 따온 [math(\pi)]의 변형자인 [math(\varpi)]로 한다. 정자인 [math(\pi)]를 쓰지 않는 이유는 원주율, 삼투압, 소수 계량 함수 등 다른 용례가 많기 때문.

피타고라스 세 쌍은 무한집합이며 여기서는 앞 10항까지의 원소 집합을 나열한다. 이 10항 중 [math(\varpi_3, \varpi_6, \varpi_8, \varpi_{10})]을 제외한 원소는 원시 피타고라스 세 쌍이다.
[math(\quad \quad \quad \quad \vdots)]

한편 피타고라스 세 쌍은 환이 되지 못한다. 가령, 원소 집합 두 개만 취해서[5] 곱집합을 만들면 피타고라스 세 쌍이 되지 못한다.
[math(\{3,4,5\} \times \{5,12,13\} = \{\{3,5\}, \{3,12\}, \{3,13\}, \{4,5\}, \{4,12\}, \{4,13\}, \{5,5\}, \{5,12\}, \{5,13\}\}\, \cancel{\subset} \,\varpi)]

3. 찾는 방법

  1. 실수 부분과 허수부분이 모두 정수인 [math(a+ bi)]를 정한다.
  2. 복소수 [math(z=x + yi=(a+ bi)^2)]에 대해서 [math(|z|)]를 구한다. (단, [math(x)], [math(y)]는 실수)
  3. [math(\{|x|,|y|,|z|\})]는 피타고라스 세 쌍이다.
(이때, [math(xyz=0)]이더라도 위 세 조건을 만족은 하지만 이 세 쌍이 자연수로만 이루어질 수 없으므로, 이 경우를 제외한다.)

예를 들면 다음과 같다. [math(2+5i)]에 대해서 [math(z=-21 +20i)], [math(|z|^2=841)]이므로 [math(|z|=29)]이다. 따라서 [math(\{20,21,29\})]는 피타고라스 세 쌍이다.

위 경우에는 원시 피타고라스 세 쌍을 찾았지만, 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, [math(3+i)]로 [math(\{6, 8,10\})]을 찾을 수 있다.

4. 기타

'자연수 집합을 둘로 분할해서 각 분할이 피타고라스 세 쌍을 부분집합으로 가지지 못하게 만들 수 있을까?'라는 100달러짜리 문제가 있었는데, 7825부터 안 된다[6]는 것이 밝혀졌다. 4색정리마냥 컴퓨터를 동원해 푼 결과였고 그 결과 나온 증명은 무려 200TB에 달한다.

피타고라스 세 쌍으로 만든 모든 삼각형은 특수각이 나오지 않는다. 특수각의 정의에 무리수가 들어가기 때문이다. 이 경우 각도기로 직접 측정해서 어림값을 구하든가, 혹은 역삼각함수에다 넣고 계산 노가다를 해야 한다.[7]

세 자연수가 연속하는 피타고라스 세 쌍은 [math(\{3,4,5\})]가 유일하다. 세 연속하는 자연수 중 큰 수의 제곱값이 다른 두 수의 제곱값의 합이 될 조건을 만족하는 세 연속하는 자연수는 3, 4, 5밖에 없기 때문이다.

전기기사 공부를 하다 보면 처음 3~4개의 피타고라스 순서쌍까지는 임피던스 계산 등에서 많이 보므로 필히 암기해야 한다.[8]

5. 관련 문서


[1] 디오판토스 방정식의 한 종류이다. [2] 자연수로 한정하지 않는 경우는 따로 삼각함수라고 칭한다. [3] 이런 '집합을 원소로 갖는 집합'을 집합족(family of sets)이라고 한다. [4] 이렇게 된 것은 학생들이 집합에 대한 개념도 아직 제대로 서지 못한 상태에서 '집합의 집합'을 이야기하기에는 학습적 부담이 크기 때문으로 보인다(엉성하게 가르쳤다간 '집합족의 원소'와 '부분집합'을 헷갈리는 사태가 생긴다...). [5] 같은 원소여도 마찬가지이다. [6] 즉, 어떻게 집합을 분할하든 적어도 한 분할은 피타고라스 세 쌍을 반드시 포함한다. [7] 실제로 모든 피타고라스 세 쌍으로 구성한 유리수를 취한 역삼각함수의 함숫값은 환원 불능(casus irreducibilis)이다. [8] 특히 {6,8,10}쌍은 역률을 이용해서 값을 계산할 때 징그럽게 많이 본다. 계산의 편의를 위해 0.6 또는 0.8로 주어지는 경우가 대부분이기 때문이다.

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