1. 정의
파울리 행렬(Pauli matrix) 또는 파울리 스핀 행렬은 양자역학에서 스핀 1/2인 입자를 묘사할 때 사용되는 3개의 행렬이다. 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} )] 1 & 0
[math(\displaystyle \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} )] i & 0
[math(\displaystyle \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} )]0 & -1
(단, [math(i triangleq sqrt{-1})])
스핀 1/2 입자의 스핀 연산자는 [math(\displaystyle S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i)]로 쓸 수 있다.
2. 성질
파울리 행렬의 곱연산은 다음과 같다.[math(\displaystyle σ_a σ_b = δ_{ab} + iε_{abc}σ_c)]
이때 [math(ε_{abc})]는 레비치비타 기호, [math(\delta_{ab})]는 크로네커 델타 기호이다.
교환자와 반교환자의 연산으로 정의된 파울리 행렬은 다음 관계식을 만족한다.
1. [math(\displaystyle [σ_a , σ_b] = σ_a σ_b - σ_b σ_a = 2iε_{abc} σ_c )]
2. [math(\displaystyle \{ σ_a , σ_b \} = σ_a σ_b + σ_b σ_a = 2δ_{ab} I_2 )]
이때, [math(I_2)]는 [math(2 \times 2)] 단위행렬이다.
이에 따라 아래 공식을 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle (\vec σ \cdot \vec a)(\vec σ \cdot \vec b) = \vec a \cdot \vec b + i \vec σ \cdot (\vec a × \vec b))]
파울리 행렬은 [math({rm SU}(2))]군의 생성자(generator)이며 리 대수를 만족한다.
임의의 [math({\rm SU}(2))]군의 원소는 파울리 행렬을 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(a1+ib\sigma_1+ic\sigma_2+id\sigma_3=\begin{pmatrix}
a+di & c+bi \\
-c+bi & a-di
\end{pmatrix})]-c+bi & a-di
단 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]는 실수이며 [math(a^2+b^2+c^2+d^2=1)]을 만족한다.
[math({\rm SU}(2))]군이 파울리 행렬로 표현되듯이 [math({\rm SU}(3))]군은 겔만 행렬로 표현된다.