기약분수

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 특징

2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈2.3. 기약분수의 제곱

3. 기약분수를 만드는 방법4. 유리식

1. 개요

旣約分數 / Irreducible fraction

분자와 분모가 (둘의 공약수가 [math(1)]밖에 없는) 서로소라서, 다시 말해 이미[旣] 약분[約分]이 다 끝나 더 이상 약분을 할 수 없는 분수(分數)를 말한다. 예를 들어 [math(\cfrac5{35})]을 약분한다 하면 [math(\cfrac17)]이 된다. 약분이 여러 단계인 경우 일부 단계만 끝난 분수는 기약분수가 아니기 때문에 약분된 분수가 모두 기약분수인 것은 아니다. 예를 들어, [math(\cfrac{40}{60})]을 약분해서 [math(\cfrac46)]로 만든 것은 기약분수가 아닌데, 왜냐하면 [math(\cfrac46)]에서 한 번 더 약분해서 [math(\cfrac23)]로 만들 수 있기 때문이다.

분수가 약분을 할 수 있는 상황이라면 최대한 약분해서 결과치를 기약분수로 만들어 깔끔하게 처리해야 한다. 수학 시험에서 기약분수로 바꾸지 않으면 가차없이 감점시키는 경우가 많다. 대학수학능력시험의 경우 주관식 답안지에 0~999의 정수만을 기입할 수 있는데, 문제가 요구하는 결과값이 분수로 나오는 경우, 분자와 분모를 서로소로 만든 후에(기약분수로 만든 후에) 분자와 분모의 합[1]을 답으로 기입하라고 하는 경우가 많다. 기약분수로 만들지 않았을 경우 오답이 된다.

기약분수 중 분모가 분자보다 크면 진분수(眞分數), 분자가 분모보다 크면 가분수(假分數)라고 일컫는다.

2. 특징

서로 같은 값을 갖는 여러 분수들과 같은 값을 갖는 기약분수는 오직 하나뿐이다. 예를 들어 [math(0.6)]의 값을 갖는 분수는 [math(\dfrac{60}{100})], [math(\dfrac6{10})], [math(\dfrac35)] 등으로 무수히 많지만 이들 중 기약분수는 [math(\dfrac35)]뿐이다.
분자가 [math(1)]인 분수나 분모와 분자의 차가 1인 분수는 모두 기약분수다. [math(1)]은 모든 자연수와 서로소이며, a가 n과 서로소 자연수이고, n-a=b라고 하면 b 역시 n과 서로소이기 때문. 분모가 [math(1)]인 경우는 자연수가 되어 분수로서 유의미한 의미를 지니지 않기 때문에 고려하지 않는다.

2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈

분모의 곱을 공통분모로 해서 통분할 때[2], (기약분수)[math(+)](기약분수) 는 더하는 두 분수의 분모가 서로소이면 기약분수다. [math(a\perp b)], [math(c\perp d)], [math(b\perp d)]([math(\perp)]는 서로소 기호)인 자연수 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]에 대해, [math(\dfrac ab + \dfrac cd = \dfrac{ad+bc}{bd})]인데, [math(a\not\perp b)] 또는 [math(c\not\perp d)]일 때만 각각 [math(b)], [math(d)] 또는 그 인수가 분자, 분모의 공통인수이므로 [math((ad+bc)\not\perp bd)]가 되어 기약분수가 아니게 된다. 그러나 이것은 [math(a\perp b)], [math(c\perp d)]라는 전제에 모순이다. 따라서 분모가 서로소인 두 기약분수의 덧셈 결과는 기약분수이다.

분모가 서로 같은 (기약분수)[math(+)](기약분수)는 분모가 소수일 때, 합성수일 때 모두 반드시 기약분수인 것은 아니다. 예를 들어 [math(\dfrac25)]와 [math(\dfrac35)]은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 [math(\dfrac55 = 1)]이므로 기약분수가 아니며, [math(\dfrac2{15})]와 [math(\dfrac4{15})]는 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 [math(\dfrac6{15} = \dfrac25)]이므로 기약분수가 아니다.
분모가 서로 다른 경우라도 이들이 서로소가 아닌 경우, 반드시 기약분수인 건 아니다. 예를 들어 [math(\dfrac1{12})]과 [math(\dfrac1{20})]은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 [math(\dfrac8{60} = \dfrac2{15})]이므로 기약분수가 아니다. 한쪽만 소수인 경우도 그 예가 될 수 있는데, 예를 들어 [math(\dfrac1{5} + \dfrac1{20} = \dfrac5{20} = \dfrac14)]이므로 기약분수가 아니다.
분모가 서로소인 세 개 이상의 기약분수의 덧셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수)[math(+)](기약분수)[math(=)](기약분수) 이므로 결국 기약분수가 된다.

(기약분수)[math(-)](기약분수)는 (기약분수)[math(+)](기약분수)에서 뒤쪽 기약분수에 [math(-1)]을 곱한 경우로 볼 수 있다. 따라서 분모의 곱을 공통분모로 하여 통분할 때 덧셈과 마찬가지의 성질을 갖는다.

2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈

곱해져서 얻어지는 분수의 분모를 각각의 분모의 곱으로 할 때, (기약분수)[math(\times)](기약분수) 는 곱하는 두 분수의 분모가 서로 같은 경우 기약분수이다. 두 분수를 각각 [math(\dfrac ab)], [math(\dfrac cb)]라 하면 두 분수를 곱한 결과는 [math(\dfrac{ac}{b^2})]이고 [math(b\perp a)], [math(b\perp c)]이므로 [math(b^2\perp a)], [math(b^2\perp c)]이다. 따라서 [math(b^2\perp ac)]이므로 기약분수이다. 예를 들어 [math(\dfrac34)]과 [math(\dfrac14)]은 모두 기약분수이고 곱하면 [math(\dfrac3{16})]인데, 이것도 기약분수이다.

단, 분모가 서로 다른 경우 기약분수임을 보장할 수 없다. 예를 들어 [math(\dfrac23)], [math(\dfrac35)]은 모두 기약분수이지만 [math(\dfrac{2{\cdot}3}{3{\cdot}5} = \dfrac6{15} = \dfrac25)]이므로 기약분수가 아니다.
분모가 모두 서로 같은 세 개 이상의 기약분수의 곱셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수)[math(\times)](기약분수)[math(=)](기약분수)이므로 결국 기약분수가 된다.

(기약분수)[math(\div)](기약분수)는 나누는 기약분수에 역수를 취해서 (기약분수)[math(\times)](기약분수)꼴로 만들어줄 수 있다. 따라서 나누어지는 분수의 분모와 나누는 분수의 분자가 서로 같으면 기약분수이다. 예를 들어 [math(\dfrac14)]을 [math(\dfrac43)]로 나누면 [math(\dfrac14\div\dfrac43 = \dfrac14\times\dfrac34 = \dfrac3{16})]으로 기약분수다.

2.3. 기약분수의 제곱

자연수 [math(n)]에 대해, 기약분수의 [math(n)]제곱, 즉 분자와 분모를 각각 [math(n)]제곱한 분수는 모두 기약분수이다. 기약분수 [math(\dfrac ab)]를 제곱하면 [math(\dfrac{a^n}{b^n})]이 되고, [math(a\perp b)]이므로 [math(a^n\perp b^n)]이다. 예를 들어 [math(\dfrac35)]는 기약분수이고, [math(\left(\dfrac35\right)^3 = \dfrac{27}{125})] 역시 기약분수다.

3. 기약분수를 만드는 방법

분자와 분모의 최대공약수로 약분하면 쉽게 기약분수로 만들 수 있다. 분자와 분모가 둘 다 아주 작은 수이면 초등교과에서 했던 것처럼 소인수분해해도 되지만, 보통 유클리드 호제법이 훨씬 효율적이다.

4. 유리식

두 다항식을 분자와 분모로 해 분수 모양으로 나타낸 걸 유리식이라고 하는데, 여기서 두 다항식이 서로소인 경우에도 기약분수라고 한다. 예를 들어 [math(\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)})]는 두 다항식 [math(xy)], [math((x+1)(y+1))]이 서로소이므로 기약분수이다.

상술한 성질들은 정수 대신 다항식을 대입하여 증명하면 되므로 성립한다. 소수의 경우는 약분할 수 없는 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 대신하면 된다.

[1] 드물게 분자와 분모의 차를 구하는 경우도 있다. [2] 당연하겠지만 [math(dfrac1a + dfrac1b = dfrac1{a+b})]처럼 계산하면 틀린다.