1. 개요
加 速 度 · acceleration시간에 대한 속도의 변화량[1]. 기호는 주로 [math( \vec{a} )], [math( {a} )]를 쓴다.[2] 간단히 말해 물리학에서 속도만 가지고선 물질의 운동상태를 쉽게 알 수 없기 때문에 도입된 개념. 서로 다른 두 지점에서의 속도의 변화량을 두 지점을 가는 데 걸린 시간으로 또 나누는 것이 평균 가속도, 두 지점의 거리를 극한으로 줄여, 다시 말해 미분해서 구한 것이 순간 가속도이다. 이걸 다시 미분한 값인 가가속도[3], 가가가속도[4], 따위도 있다. 미분할 때마다 앞에 가를 붙여 쓰는데, 보통은 가속도 정도로 충분하지만, 교통수단 관련 공학 분야에서 가가속도 정도만 드물게 쓰이는 편이다. 가가속도가 0 또는 ±jerk가 되면 이를 시간에 대해 적분한 가속도는 사다리꼴의 형태가 되고, 다시 적분한 속도는 상당히 부드럽게 변화하기 때문에 보다 적은 계산량으로 제어가 가능해진다. 이를 저크제어라고 한다. 철도차량을 예시로 들면, 사람은 가감속 시 가속도에 저항할 수 있도록 몸을 기운다. 잘 가다가 갑자기 풀 제동을 하면, 사람은 넘어질 것이다. 힘의 변화에 적응을 못 한 것이다. 하지만 브레이크 체결단수를 하나하나 높인다면 사람의 뇌는 변화된 가속도에 따른 위치제어를 할 수 있을 뿐더러 저크의 예측 또한 가능하다. 따라서 저크제어 또한 중요하다.
차례대로 위치, 속도, 가속도, 저크의 그래프이다.
2. 정의
한마디로 두 지점 [math(x_1)]과 [math(x_2)] 가 있고 그 지점의 속도를 [math(\vec v_1)]과 [math(\vec v_2)]로 정의하고, 두 지점의 시각을 [math(t_1)]과 [math(t_2)]라고 하면 이에 대한 평균가속도 [math(\vec a_{avg})]는[math(\displaystyle \vec a_{avg}=\frac{\vec v_{2}-\vec v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t})]
이고, 순간가속도 [math(\vec a)]는
[math(\displaystyle \vec a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} =\frac{d \vec v}{dt} )]
쉽게 생각하려면 자동차 속도계의 바늘이 1초당 얼마나 빨리 도는가를 생각하면 된다. 빨리 돌면 가속도가 높고, 느리게 돌면 가속도가 낮다.
3. 가속도의 미분
가가속도는 가속도를 더 미분한 것으로 쉽게 말하면 자동차 속도계 바늘의 회전속도 변화량(가속도가 변하는 정도)을 측정하는 것이다. 빨리 돌건 늦게 돌건 돌아가는 가속도가 일정하면 등가속도 운동이므로 가가속도는 0이다. 가가속도는 공학에서의 승차감을 계산하는 데 사용되기도 하는데 영어로 jerk control, 즉 가가속도 제어, 혹은 저크 제어라고 한다. 사실 이런 데 말고는 가가속도 개념이 별로 안 쓰인다. 가가가속도부터는 사실 거의 안 쓰이며 정의만 되어있다고 봐도 무방하다. 여기까지를 표로 정리하면 다음과 같다.| 단위 | 명칭[5][6] | |
| 한국어 | 영어 | |
| m/s | 속도 | velocity |
| m/s2 | 가속도 | acceleration |
| m/s3 | 가가속도 | jerk (jolt, surge, lurch) |
| m/s4 | 가가가속도 | snap (jounce) |
| m/s5 | 가가가가속도 | crackle (flounce) |
| m/s6 | 가가가가가속도 | pop (pounce) |
| m/s7 | 가가가가가가속도 | lock |
| m/s8 | 가가가가가가가속도 | drop |
| m/s9 | 가가가가가가가가속도 | shot |
| m/s10 | 가가가가가가가가가속도 | put |
| m/sn | 가*(n-1)속도 | nth derivative of position[7] |
가가속도의 영어 명칭은 찌질이( jerk)라는 뜻도 있다. 가가가속도(m/s4)부터의 영어 명칭이 확 깨는데, 차례대로 나열하면 Snap(탁), Crackle(아삭), Pop(팡)이다. 혹시 시리얼이 생각나면서 입에 군침이 돈다면 맞게 생각한 것이다. 켈로그사에서 만든 '라이스 크리스피' 간식의 마스코트 Snap, Crackle, Pop에서 이름을 따온 것이다.
과학을 공부하다 보면 이렇게 서양 과학자들의 유머를 볼 수 있는 대목이 많다. 예를 들어 소닉 헤지호그 단백질이라든지, 2008년 네이처지에 처음 등장한 피카츄린과 같은 것들.
제로백(정지 상태에서 100km/h에 도달하는 데 걸리는 시간)이 짧을수록 가속도가 높아 중력 가속도에 육박하며 더 높을 수도 있다. 1G를 제로백으로 환산하면 약 2.8초가 나온다. 역산하면, 100km/h를 초속으로 환산해서 (9.8*2.8)m/s=27.44m/s가 되는 셈이다.
4. 좌표계 표현
가속도는 위치를 시간으로 두 번 미분한 벡터[math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}^2 \mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}=\left( \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}, \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}t^2}, \frac{\mathrm{d^2}z}{\mathrm{d}t^2} \right)\\&=\ddot{x} \mathbf{\hat{x}} + \ddot{y} \mathbf{\hat{y}} + \ddot{z} \mathbf{\hat{z}}\end{aligned})]
이므로, 가속도의 각 [math(x, y, z)] 성분은 물체의 [math(x, y, z)]좌표를 두 번 미분한 것과 같다. 한편, 이것은 기본벡터가 변하지 않는 직교좌표계에서만 쓸 수 있으며, 다른 종류의 좌표계에서는 위치마다 기본벡터가 다르기 때문에 조금 더 복잡한 형태로 변하게 된다.
[math(\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}} = \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} + \ddot{z} \mathbf{\hat{z}} )]
위의 원통 좌표계 식에서 [math(z)]방향을 제외하면 2차원 극좌표계에서의 식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}} = \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} )]
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}}&= \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 - r \dot{\phi}^2 \sin^2{\theta} \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} - r \dot{\phi}^2 \sin{\theta} \cos{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}}\\&+ \left( r \ddot{\phi} + 2 r \dot{\theta} \dot{\phi} + 2 \dot{r} \dot{\phi} \sin{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\phi}}\end{aligned})] |
5. 가속도가 가지는 의미
역학에서 위치, 속도, 가속도를 중심으로 서술한다. 이 세 가지 변수 중 가속도는 뉴턴의 운동법칙과 관련이 있다. 역학에서 핵심이 되는 힘은 질량과 가속도와 관계가 있다. 따라서 물체의 운동을 기술할 때 가속도의 역할이 크다.역학에서 힘과 가속도의 인과관계는 힘이 원인, 가속도가 결과이다. 하지만 일반 상대성 이론의 기초인 등가원리에 따르면 중력과 관성력은 동등하며, 이 경우 (중력)가속도가 원인, 중력이 결과가 된다. 한편 뉴턴 역학에서는 중력( 만유인력)을 질량이 근원인 일반적인 힘으로 설명하며, 가속도는 이 힘에서 뒤따르는 결과가 된다.
6. 단위
일반적으로 단위는 m/s2을 쓴다. 간혹 영어로 meter per square second나 meter per second squared 등으로 나와 있어서, 전자 때문에 초 제곱인지 제곱초인지 구분을 안 하는 경우가 있다. 일단 후자의 명칭을 기준으로 미터 매 초 제곱이라 통상 부른다.위 단위는 물리학에서 가장 많이 쓰는데, 경우에 따라서 다른 단위를 쓰기도 한다.
- CGS 단위 기준으로는 cm/s2(=10-2m/s2)이다. 이는 gal이라고도 한다. 갤런과 헷갈리지 말자.
- mgal(=10-5m/s2)은 대표적으로 지구과학에서 중력가속도의 단위에 사용된다. 9.8m/s2으로 잘 알려져 있는 중력가속도는 지표면에서 지역 별로 미묘하게 달라진다. 중력 탐사에서 이를 측정하는데, 대개 9.79****나 9.80**** 꼴로 나타나는 등 소수점 아래 숫자들만 달라진다. 때문에 훨씬 작은 단위를 씀으로써 미세한 중력 변화를 큰 숫자로 나타낸다. 이를테면 독도에서 측정한 중력가속도는 980032.97mgal이다.(혹은 편의상 9.8m/s2 값과의 차이로 +32.97mgal이라 쓰기도 한다.)
- 열차의 가속도로 (km/h)/s를 쓴다. 흔히 km/h/s로 나타내는데, 원래 첫 번째와 같이 괄호를 이용하거나 km/h·s로 쓰는 게 맞다. 이렇게 쓰는 것은 열차의 속도를 대개 km/h로 나타내기 때문이다. 중전철의 가속도는 3.0(km/h)/s, 경전철은 3.5(km/h)/s라 하면, 이는 10초 동안 중전철은 30km/h, 경전철은 35km/h만큼 가속함을 뜻한다. # 또한 기동가속도라는 명칭도 쓰이는데 열차가 최대로 가속할 수 있는 가속도 값이 기동가속도를 뜻한다. 단 철도차량 제작사나 운영사에 따라서 m/s2 단위를 그냥 그대로 쓰는 경우도 있다. 환산법은 1 m/s2 = 3.6 (km/h)/s이다.
- 플랑크 단위계에서는 플랑크 가속도라는 것이 있다.
7. 등가속도 운동
항목 참고. 가속도를 도입하여 기술하는 운동 중 가장 단순하면서도 대표적인 운동이다. 생활 속에서 찾아볼 수 있는 등가속도 운동으로는 공기 저항을 무시한 자유 낙하 운동이 있다.
[1]
쉽게 말하자면 시간에 따라 물체의 속도가 변하는 정도를 단위로 나타낸 것
[2]
전자의 경우 일반적으로 벡터로 표현할 때 사용하며, 후자의 경우는 뉴턴의 운동 2법칙에서 사용되었다.(
[math( {F = ma} )])
[3]
m/s3; 보통은 저크(jerk)로 부르며 졸트(jolt), 서지(surge), 러치(lurch) 등으로도 부른다.
[4]
m/s4; 자운스(jounce). 스냅(snap)으로도 부른다.
[5]
http://wearcam.org/absement/Derivatives_of_displacement
[6]
https://en.wikipedia.org/wiki/Absement
[7]
위치의 n계도함수(위치를 시간에 대해 n번 미분한 결과)