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최근 수정 시각 : 2024-12-27 23:40:26

파인만 다이어그램

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1. 개요2. 파인만 규칙3. 계산
3.1. 전파 인자
3.1.1. 상대론적 전파인자3.1.2. 비상대론적 전파 인자
3.2. 유카와 상호작용3.3. 전자기 상호작용
4. 참고문헌

[clearfix]

1. 개요

파인만 다이어그램(파인만 도형, Feynman diagram)은 복잡한 입자들간의 상호작용을 보기 쉽게 표현하기 위해 리처드 파인만이 고안했다.

2. 파인만 규칙

파인만 다이어그램은 다음과 같은 규칙이 있다.
* 페르미온은 변(줄)으로 그리고, 입자 사이의 상호작용은 꼭짓점으로 나타낸다.

* 보손은 다른 형태의 선으로 표기한다. [1]

* 입자가 그 반입자와 상호작용하는 경우 (디랙 페르미온, 복소 스칼라입자 등) 방향을 표시한다.

* 입자가 그 반입자와 같은 경우 (광자, Z보손, 실수 스칼라입자 등)​ 화살표를 표시하지 않는다.

* 필요한 경우 각 변에 작은 화살표로 운동량의 방향을 표시한다. 반입자의 경우 입자의 반대 방향으로 표기한다.
​
파인만 다이어그램은 사실 알고보면 입자들이 얼마나 유기적으로 자신의 질량과 에너지를 서로주고 받으며, 전혀 새로운 입자로 붕괴되거나 또는 생성되는지 확인할 수 있다.

여담으로 양자 전기역학을 완성시킨 공로로 리처드 파인만, 도모나가 신이치로와 함께 1965년 노벨 물리학상을 수상한 줄리언 슈윙거(Julian Schwinger)는 자신의 수업에서 학생들이 파이만 다이어그램을 사용하지 못하도록 금지시켰다. 슈윙거는 학생들이 파인만 다이어그램을 통해서 양자장을 입자로 해석하여 양자"장"의 해석을 잊어버릴 위험이 있다고 판단했기 때문에 이런 조치를 취했다고 한다. 슈윙거의 관점에서 파인만 다이어그램은 편리한 계산을 가능하게 해주지만, 동시에 양자장에 대한 이해를 방해하는 장애물과 같은 존재였다. 물론 슈윙거 자신은 파인만 다이어그램을 완전히 이해하고 때때로 사용했으며, 파인만 다이어그램을 통한 계산의 편리성을 극찬하기도 했다. 슈윙거의 파인만 다이어그램을 사용하지 않는 계산법에 대해 독설가로 유명한 머리 겔만은 슈윙거가 자기 자신을 뽐내기 위해 허풍을 떠는 거라면서 독설을 퍼붓기도 했다.

3. 계산

3.1. 전파 인자

전파 인자(propagator)는 특정 입자가 시간과 위치에 따라 이동하는 것을 표현한 확률 진폭 함수[2]이다. 전파 인자는 비상대론적 전파 인자와 상대론적 전파 인자로 나뉘는데 각 입자의 상호작용을 나타내는 산란진폭을 계산하기위해서는 상대론적 전파 인자가 필요하다.

3.1.1. 상대론적 전파인자

상대론적 전파인자는 다양한 방식으로 유도할수 있는데 여기서는 장이라는 개념을 가장 간단하게 설명하는 클라인-고든 방정식과 그린 함수[3]꼴로 유도했다. 클라인 고든 방정식을 사용해서 표현되는 전파인자를 클라인-고든 전파인자(klein-gordon propagator)라고 한다.

장 함수간 정준 교환 관계는 디랙 델타 함수로 표현되는 것이 양자화임을 상기하면, 클라인-고든 방정식은 아래와 같이 그린 함수와 디랙 델타 함수의 관계식으로도 쓸수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
(\square + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)
\end{aligned})]
그린 함수의 해를 구하기 위해서 위 식을 운동량으로 치환하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
(-p^2 + m^2)G(p)=-1
\end{aligned})]
이 식은 다음과 같은 소코트스키-플레멜 정리(sokhotski-plemelj theorem)를 만족한다. 소코트스키-플레멜 정리는 디랙 델타 함수꼴의 그린 함수의 진동자[4]를 일반화한 정리로 전파 인자의 구성에 있어서 필요하다.[5]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=\frac{1}{x \pm i\epsilon}=\frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x)
\end{aligned})]

그러므로 위에 상기된대로 클라인 고든 방정식에 적용하면, 그린 함수의 해를 구할수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
G(x,y)=\dfrac{1}{(2\pi)^4}\int \,{\rm d^4} p \dfrac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2 \pm i\epsilon}
\end{aligned})]
위 푸리에 변환 형식 방정식에 어떤 값이 들어가는지에 따라, 질량이 존재하는 입자들의 전파 인자가 정의된다. 참고로, 위 푸리에 변환 형식은 정준양자화 혹은 경로적분을 이용해서 나타낼수 있다.

3.1.2. 비상대론적 전파 인자

상대론을 적용한 에너지 방정식은 [math(E=p^2+m^2)]이나, 비상대론적 에너지 방정식은 고전역학과 동일한 [math(E=\frac{p^2}{2m})]이다. 그러므로 전파인자 [math(P(t))]를 다음과 같이 가정할수 있다.
[math(P(t)=\langle x | e^{-i(\frac{p^2}{2m})t} | x_0 \rangle )]

푸리에 해석에 관한 선형성 정리를 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
P(t)=\displaystyle \int \frac{d^3}{(2\pi)^3} \langle x | e^{-i(\frac{p^2}{2m})t} | p \rangle \langle p | x_0 \rangle)\\
= \int \frac{d^3}{(2\pi)^3} e^{-i(\frac{p^2}{2m})t} e^{ip(x-x_0)}
\end{aligned})]

3.2. 유카와 상호작용

스칼라 입자의 전파 인자(propagator)는 [math(\displaystyle \frac{i}{q^2-m^2_\phi+i\epsilon})]
페르미온의 전파 인자는 [math(\displaystyle \frac{i(p\!\!\!/+m)}{p^2-m^2+i\epsilon})]
스칼라장이 페르미온과 만나는 꼭지점은 [math(-ig)]
스칼라 입자는 1
페르미온 p의 스피너는 [math(\bar{u}^s(p))]
페르미온 p와 상호작용하는 p’의 스피너는 [math(u^s(p))]
상호작용후 페르미온 스피너 k는 [math(v^s(k))]
페르미온 스피너 k’는 [math(\bar{v}^s(k’))]
으로 계산한다.
파일:4v3epzT.png
그림의 산란 진폭(scattering amplitude)을 계산하면 [math(\displaystyle i \mathcal{M} = \left( - i g^2 \right) \left( \bar{u} (p') u(p) \frac{1}{ \left(p' - p\right)^2 - m^2_{\phi}} \bar{v}(k') v(k)\right))]

3.3. 전자기 상호작용

광자의 전파 인자는 [math(\displaystyle \frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2+i\epsilon})]
광자가 페르미온과 만나는 꼭지점은 [math(-ie\gamma^\mu)][6]
외부로 나가는 광자는 [math(\epsilon_\mu(p))]
외부에서 들어오는 광자는 [math(\epsilon^\star_\mu(p))]
으로 계산한다.
파일:3MEHLDd.png
t축이 수평축일때, 그림의 산란 진폭은 [math(\displaystyle i \mathcal{M} = \left( - i e^2 \right) \left( \bar{u} (p') \gamma^{\mu} u(p) \frac{-i g_{\mu\nu}}{ \left(p' - p\right)^2 } \bar{u}(k') \gamma^{\nu} u(k)\right))].

4. 참고문헌


[1] 벡터 입자인 광자는 물결선으로, 스칼라 입자인 힉스 보손과 중간자는 점선으로 표기하고, 글루온은 꼬인 선(또는 물결선)으로 나타낸다. [2] 혹은 전파될 확률을 나타내는 함수. [3] 그린 함수는 일종의 연산자로 장 함수나 파동 함수로 표현한다. [4] [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \operatorname{exp}\left(-ikx \right)dk)]. [5] R.P. Feynman, Space-time Approach to QuantumElectrodynamics, Phys. Rev. 76, 769(1949). [6] 혹은 [math(iQe\gamma^\mu)]

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