| 파형 | |||
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1. 개요
삼각파(triangle wave / 三 角 波)는 기본 파형 중 하나로, 이름처럼 삼각형 모양을 띠고 있다.2. 상세
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| <삼각파 개형> |
| <삼각파 예제> |
게임기 중에서는 패미컴이 대표적으로 삼각파를 출력할 수 있다. 패미컴의 음원인 pAPU는 사각파와 가상 백색 소음 외에도 삼각파와 DPCM을 출력할 수 있어서 사각파와 가상 백색 소음만 출력하는 Programmable Sound Generator보다 풍부한 음색을 낼 수 있었다.[1]
헷갈릴 수 있겠지만 삼각함수로 만들어지는 사인파와는 전혀 다르다.
3. 삼각파 함수 및 응용
삼각파를 표현하는 함수는 구형파나 톱니파와는 달리 정의가 복잡한데, [math(y = (-1)^{\lfloor x \rfloor} (x - {\lfloor x \rfloor}) + \theta ((-1)^{\lceil x \rceil}))]로 정의된다. 삼각파 함수 [math(\theta)]는 헤비사이드 계단 함수이다.[2]구형파를 적분해서 얻을 수 있다. 이렇게 하면 삼각파를 푸리에 전개한 것과 같이 나온다. 경우에 따라 DC offset과 위상을 보정해주기도 한다.
| 구형파 적분 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac4{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2\{(2n-1)\pi x\}}{(2n-1)^2})] |
| 코사인 함수 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac8{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos \{(4n-2)\pi x\}}{(2n-1)^2})] |
| 사인 함수 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac8{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\sin\{(4n-2)\pi x \}}{(2n-1)^2})] |
그냥 저런 복잡한 거 필요없이 [math(y = |\arcsin(\sin x)|)] 하나면 된다. # [3]
푸리에 변환에서는 [math(operatorname{tri}(x))]라는 표기를 쓰며 다음과 같이 정의된다.[4]
[math(\operatorname{tri}(x) = \begin{cases}
1-|x| & \textsf{if }|x|<1 \\ 0 & \textsf{if } |x|\ge 1
\end{cases})]
푸리에 변환을 할 경우 사인 함수의 변형 함수인 싱크 함수의 제곱 [math({\left(\dfrac{\sin x}x\right)}^2)]이 나온다. 푸리에 변환의 성질을 생각하면 구형파 자신의 컨볼루션 결과라는 것을 쉽게 알 수 있다. 가끔 공업수학에서 푸리에 변환의 응용 버전인 파르스발 정리(Parseval's theorem)[5]를 이용하여 [math({\left(\dfrac{\sin x}x\right)}^4)]를 적분하라는 문제[6][7]가 나올 수 있으니 잘 알아두자.
4. 전기회로 분석에서의 응용
OrCAD社에서 제공하는 PSpice라는 회로 시뮬레이션 프로그램에서는 VPULSE라는 소자를 배치해 특성에서 TR, TF, PW 등의 값을 조정하여 삼각파를 만들 수 있다.5. 기타
5.1. 파도의 모형
방향이 서로 다른 두 파도가 만나 형성되는 삼각(피라미드)형 파도. 삼각파도라고도 한다.
보통 이렇게 형성된 파도는 원래의 파도보다 2~3배 높고 위력이 크다. 주로 두 방향의 파도가 만나는 지점에서 형성되며, 강가에서도 소규모 삼각파가 발생한다.
특히 태풍으로 인해 형성된 삼각파에는 배를 파손시킬 수 있을 정도의 위력을 가지고 있으니 주의해야 한다. 실제로 이러한 삼각파로 인해 배가 파손되어 조난당하거나 침몰되는 사례가 많다. 대표적인 사례가 1980년 12월 일본 도쿄 동남쪽 2000km에서 일어난 오노미치마루호(尾道丸) 사건이 있다. 관련 영상
[1]
여담으로 패미컴의 삼각파는 16개 항의 푸리에 급수로 만들어 자세히 들으면 배음이 들리는데, 이를 65536(=216)개 항으로 '사실상 연속'화시켜 구현하면
이 영상처럼 배음의 음량이 줄어든 깔끔한 음색으로 달라지게 된다.
[2]
사실 [math(\theta((-1)^{\lceil x \rceil}))]은
[math(bm1_{mathbb N}((-1)^{lceil x rceil}))]로 대체해도 상관없다. 둘 다
초월함수라는 것은 함정
[3]
게다가 정규화도 가능하다.
[math(y = {\left|\dfrac1\pi \arcsin{\left\{\sin{\left(\pi x+\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}}\right|})] [4] [math(\Lambda(x))]로 표기되기도 한다. 표기가 같은 폰 망골트 함수와 혼동에 주의. [5] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2{\rm\,d}\omega = 2\pi\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\rm\,d}t)] [6] 답: [math(displaystyle int_{-infty}^infty {left(dfrac{sin x}xright)}^4{rm,d}x = frac23pi)] [7] 참고로 부정적분은 사인 적분 함수 [math(\operatorname{Si})]를 이용하여
[math(\cfrac16\biggl[8\operatorname{Si}(4x) -4\operatorname{Si}(2x) - \cfrac{\sin^2x}{x^3}\bigl\{4x^2 + {\left(8x^2-1\right)}\cos2x+ 2x\sin 2x + 1\bigr\} \biggr] + {\sf const.})]
로 나타낼 수 있다.
[math(y = {\left|\dfrac1\pi \arcsin{\left\{\sin{\left(\pi x+\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}}\right|})] [4] [math(\Lambda(x))]로 표기되기도 한다. 표기가 같은 폰 망골트 함수와 혼동에 주의. [5] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2{\rm\,d}\omega = 2\pi\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\rm\,d}t)] [6] 답: [math(displaystyle int_{-infty}^infty {left(dfrac{sin x}xright)}^4{rm,d}x = frac23pi)] [7] 참고로 부정적분은 사인 적분 함수 [math(\operatorname{Si})]를 이용하여
[math(\cfrac16\biggl[8\operatorname{Si}(4x) -4\operatorname{Si}(2x) - \cfrac{\sin^2x}{x^3}\bigl\{4x^2 + {\left(8x^2-1\right)}\cos2x+ 2x\sin 2x + 1\bigr\} \biggr] + {\sf const.})]
로 나타낼 수 있다.