| 파형 | |||
| 정현파 | 구형파 | 삼각파 | 톱니파 |
1. 개요
2. 주기파
주기가 존재하는 파형을 주기파라고 한다.2.1. 정현파
가장 원초적이고 기본적인 주기파로, 시간에 따라 주기적으로 신호의 크기와 방향이 사인 함수 형태로 변화하는 파형이다.
2.2. 비정현파
시간에 따른 신호의 양상이 사인 함수 형태로 변화하지 않는 파형으로, 모든 비정현파는 정현파를 여러 번 합성하여 얻을 수 있다.2.2.1. 펄스파
펄스파는 비정현파 중에서도 가장 기초적인 파형이며, 최대치로 급격히 변화했다가 일정 시간동안 그 레벨을 유지하고 다시 최소치로 급격히 변화하는 양상이 시간에 따라 주기적으로 나타나는 파형이다. 이 두 가지 상태로 나타나는 양상 때문에 많은 전자회로에서는 펄스파가 자주 이용되며, 전자회로에서는 주로 최대치를 HIGH 레벨, 최소치를 LOW 레벨이라고 한다.
신호가 최대치를 유지하고 있는 동안의 시간을 펄스 폭(pulse width)이라고 하며, 이를 한 주기 내 시간적 비율로 나타낸 것을 듀티 사이클(duty cycle)[1]이라고 한다. 펄스 폭 변조는 입력 신호에 따라 펄스 폭을 달리하여 펄스 파형으로 출력하는 변조 방법이다.
최소치에서 최대치로 변하는 부분을 상승 에지, 반대로 최대치에서 최소치로 변화하는 부분을 하강 에지라고 하며[2] 상승 에지와 하강 에지에서 소요되는 시간을 각각 상승 시간, 하강 시간이라고 한다.
실제적인 펄스 파형에서는 첨두폭의 90% 이상을 최대치, 10% 이하를 최소치로 간주하며, 파형의 반치전폭에 해당하는 부분을 펄스 폭이라고 한다.
실제로 펄스파의 파형을 측정해보면 한치의 오차도 없이 네모나게 나오지 않는다. 함수 발생기에 오실로스코프의 프로브를 꼽고 펄스파를 확대하여 관찰해보면, 상승·하강할 때 기울기가 존재하는 것이 보일 것이고 신호가 특정 레벨에 도달했을 때 떨림이 보이기도 할 것이다. 따라서 얼마나 깨끗하게 펄스 파형을 출력하는지를 통해 함수 발생기의 품질
2.2.2. 비대칭 구형파
주기가 [math(T)], 피크-피크 값이 [math(A)], 펄스폭이 [math(\tau)]일 때의 비대칭 사각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.|
[math(x(t) = \begin{cases}
A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \lt \dfrac \tau T \\
\end{cases})]
0 & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \ge \dfrac \tau T |
| 최대 정수 함수를 이용한 조각적 정의[3] |
| [math(x(t) = A \dfrac \tau T + \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 n \sin\left( \dfrac \tau T n \pi \right) \cos\left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴[4] |
2.2.3. 구형파
펄스파에서 듀티 사이클이 50%인 경우, 즉 파형이 HIGH인 동안의 시간과 LOW인 동안의 시간이 같을 때를 특정하여 구형파라고 한다. 따라서 구형파는 펄스파의 일종이라고 볼 수 있다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)]인 구형파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
|
[math(x(t) = \begin{cases}
A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \lt \dfrac 1 2 \\
\end{cases})]
-A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \ge \dfrac 1 2 |
| 최대 정수 함수를 이용한 조각적 정의 |
| [math(x(t) = \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{\cos n \pi - 1} n \sin\left( \dfrac{2 \pi} T t - n \pi \right))] |
| 푸리에 급수 꼴 |
| [math(x(t) = \dfrac{4A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 {2n - 1} \sin\left[ \dfrac{2 \pi} T \left( 2n - 1 \right) t \right])] |
| 축약된 푸리에 급수 꼴 |
2.2.4. 사다리꼴파
사다리꼴파는 펄스파에서 상승 시간이나 하강 시간이 특별히 길게 설정했을 경우의 파형이다.2.2.5. 삼각파
삼각파는 상승과 하강의 비율이 서로 동일한 파형이다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)]인 대칭 삼각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
| [math(x(t) = \dfrac{8A}{\pi^2} \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 {n^2} \sin\left( \dfrac{n \pi} 2 \right) \sin\left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴 |
2.2.6. 톱니파
톱니파는 상승이나 하강 둘 중 하나만 존재하는 경우의 파형이다.
| [math(x(t) = \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac 1 n \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴, 톱니파 |
| [math(x(t) = -\dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{\left( -1 \right)^n} n \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴, 역톱니파 |
2.2.7. 비대칭 삼각파
비대칭 삼각파는 상승·하강 비율을 매개변수로 갖는 파형이다. 사다리꼴파에서 HIGH 및 LOW 시간을 0으로 설정하거나, 펄스파를 적분한 것을 잘 비틀면 얻을 수 있다.상승 시간과 하강 시간이 동일한 경우 삼각파, 상승 시간이나 하강 시간 둘 중 하나가 0인 경우 톱니파라고 한다. 따라서 삼각파와 톱니파는 비대칭 삼각파의 특수한 경우라고 볼 수 있다.
상승 시간을 한 주기 내 시간적 비율로 나타낸 것을 skew라고 한다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)], 상승 시간이 [math(\tau)]인 비대칭 삼각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
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[math(x(t) = \left\{ \begin{alignedat}{3}
\dfrac{2A} \pi & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac 1 n & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & \tau = 0 \\
\end{alignedat} \right.)]
\dfrac{2AT^2}{\tau \left( T - \tau \right) \pi^2} & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac 1 {n^2} \sin \left( \dfrac \tau T n \pi \right) & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & 0 < \tau < T \\ -\dfrac{2A} \pi & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac{\left( -1 \right)^n} n & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & \tau = T \\ |
| 푸리에 급수 꼴[5] |
2.3. 계단파
2.4. 복합파
2.4.1. 변조파
3. 비주기파
여러 가지 파형 중에서 주기가 존재하지 않거나 정할 수 없는 파형을 아울러 비주기파라고 한다.3.1. 임펄스
3.2. 노이즈
[1]
듀티비(duty rate)라고 하기도 한다.
[2]
PLC 자동제어에서는 상승 에지와 하강 에지를 각각 상승 펄스와 하강 펄스, 양 변환과 음 변환이라고 부르기도 한다.
[3]
상승 에지는 [math(x = 0)]이다.
[4]
상승 에지를 [math(x = 0)]으로 두는 경우 [math(\cos)] 함수 안에 [math(-\dfrac \tau T n \pi)] 같은 자질구레한 것이 더해진다.
[5]
저렇게 조각적으로 정의되는 이유는 [math(\tau = 0)] 또는 [math(\tau = T)]일 때 극한을 갖기 때문이다.