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최근 수정 시각 : 2023-06-05 14:33:11

사교수

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1. 개요2. 성질3. 준사교수

1. 개요

, / sociable numbers, aliquot cycle

친화수를 일반화한 개념이다. 군거성수()라고도 한다.

서로 다른 여러 자연수 [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 진약수들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다.

일반적으로 주기([math(k)])가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, [math(k=1)]인 경우는 완전수라고 하고, [math(k=2)]인 경우는 친화수라고 한다. 다만, 경우에 따라서는 [math(k)]가 1 이상인 모든 경우(즉, 완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다.

2. 성질

어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) [math(\sigma\left(n\right))]는 n의 모든 약수의 합을 나타낸다. aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 [math(s\left(n\right) = \sigma\left(n\right) - n)]이 된다.

Aliquot sequence는 이 aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }이다.

2017년 기준으로 주기가 3이상 사교수는 총 5410개가 발견되었다.
보러가기

3. 준사교수

1을 제외한 진약수들의 합(1과 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 자명하지 않은 약수들의 합)을 계속 취하면 주기가 3이상인 수이다. 혼약수는 주기가 2인 경우이며 주기가 1인 경우는 준완전수이다. 준완전수는 존재하지 않는 것으로 추측된다.

주기가 8인 현재까지 유일한 준사교수 사이클은 1997년에 Mitchell Dickerman이 발견하였다.