2차 편도함수

1. 개요

1.1. 편미분

2. 2차 편도함수 판별법

2.1. 최대값, 최소값 그리고 새들 포인트2.2. 헤세 행렬2.3. 계산 예

3. 관련 문서

1. 개요

이계 편도함수(2nd partial derivative,二階偏導函數) 또는 2차 편도함수(편미분)는 다변수 함수 f(x, y, z, ...)에서 하나의 독립 변수 를 제외한 모든 변수를 상수로 일정하게 취급함으로써 단 하나의 변수에 대하여 주어진 함수를 두 번 미분한 도함수이다. 2계 편도함수 판정법(2nd partial derivative test)이 잘 알려져 있다.

1.1. 편미분

편미분(偏微分, partial derivative)은 다변수 함수 에서 하나의 변수만 남겨놓고 나머지 변수를 상수 취급하는 미분법이다.

2. 2차 편도함수 판별법

2차 편도함수 판정법 또는 second partial derivative test는 최대값(Maxima), 최소값(minima) 그리고 안장점(saddle points)을 변별하는 과정에 2차 편도함수(2nd partial derivative)를 사용하는 판정법을 가리킨다.[1]

2.1. 최대값, 최소값 그리고 새들 포인트

파일:Level_Curves3_2nd_Partial _Derivative_Test4F.svg

최대값, 최소값 그리고 새들 포인트는 2개 변수의 부호와 관련있다. 이러한 판정법(test)은 직접적인 (편)미분이 계산되지 않을수있음에도 불구하고 대부분의 함수에서 그 성질을 보장하는 충분한 조건을 만족함으로 1차 편도함수 테스트(first partial derivative test)로 적용된다.
최소값은 [math( +,+)]의 부호값을 그리고 최대값은 [math( - , -)] 의 부호값을 그리고 [math( - ,+)] 또는 [math( +,-)]의 서로 다른 부호값을 갖는 경우 안장점(saddle point)를 임계점으로 한다. [가]
그러나 이보다 복잡한 다변수 함수의 다항식의 경우에서는 2차 편도함수 테스트(2nd partial derivative test)를 조사하여야 한다.

2.2. 헤세 행렬

헤시안 행렬(Hessian matrix) 또는 헤세행렬(Hesse-Matrix)[3]은 2차 편미분으로 이루어진 행렬 표현으로 이것을 사용해서 다변수함수(multivariate function 또는 function of several variables) 값의 최대값 또는 최소값 또는 안장점(saddle point)을 조사할수있다.
헤시안 행렬(Hessian matrix)
[math(\displaystyle \mathrm{Hess}(f) = \left(\frac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j} \right)_{i,j=1,\cdots, n})]
2차 편미분으로 이루어진 행렬 표현식
[math(\displaystyle \mathrm{Hess}(f) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \left( f_{xx} \cdot f_{yy} \right) - \left( f_{xy} \cdot f_{yx} \right) )]
[math( = \left( f_{xx} \cdot f_{yy} \right) - \left( f_{xy} \cdot f_{xy} \right)= \left( f_{xx} \cdot f_{yy} \right) - \left( f_{xy} \right)^2 )]
한편 [math( \left( f_{xx} \cdot f_{yy} \right) - \left( f_{xy} \right)^2 > 0 )] 일때
[math( = \left( f_{xx} \cdot f_{yy} \right) > \left( f_{xy} \right)^2 )] 이므로

Case 1. [math(f_{xx} f_{yy} > \left( f_{xy} \right)^2 )]이면서 [math(f_{xx}(, f_{yy})<0)]이면 포인트[math(p)]는 극대점(최대값)이다.
Case 2. [math(f_{xx} f_{yy} > \left( f_{xy} \right)^2 )]이면서 [math(f_{xx}(, f_{yy})>0)]이면 포인트[math(p)]는 극소점(최소값)이다.
Case 3. [math(f_{xx} f_{yy} < \left( f_{xy} \right)^2 )]이면 포인트[math(p)]는 안장점이다.
Case 4. [math(f_{xx} f_{yy} = \left( f_{xy} \right)^2 )]이면 2차 편도함수 판정법을 사용할 수 없다.

2.3. 계산 예

복잡한 다변수 함수의 다항식 [math( f(x,y) =x^2-x y+y^2-4 x+2 y-3 )]의 경우를 예로 들면 [math( f_x = f_y = 0 )] 에서 임계점(critical point)인 2차 편미분 테스트를 조사해야 한다. [가][5]
[math( f_x = 2x -y -4 = 0 )]
[math( f_y = -x +2y +2 = 0 )]
[math( x = 2 , y = 0 )]
[math( f_{xx} = 2 )]
[math( f_{yy} = 2 )]
[math( f_{xy} = -1 )]
2차 편도함수 테스트
[math( f_{xx}f_{yy} =2\cdot 2 , (f_{xy})^2 = (-1)^2 )]
[math( 4 > 1 )]
[math( f_{xx}f_{yy} > (f_{xy})^2 \text{이면서} f_{xx} > 0)]를 조사할수있다.
포인트[math(p(x,y))]는 최소값이다.
x축(빨간색),y축(녹색),z축(파랑색)에서 3D 모델