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1. 개요
프랑스의 수학자 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson)이 1837년에 자신의 저서 『민사 사건과 형사 사건 재판에서의 확률에 관한 연구 및 일반적인 확률 계산 법칙에 관한 서문』[1]에서 처음 소개한 확률 분포. 그의 이름을 따서 푸아송 분포(Poisson distribution)라고 한다. 표기에 따라서는 포아송 분포라고도 한다.단위시간 동안 혹은 단위공간에서 어떤 사건이 발생하는 횟수를 나타내는 확률분포이며, [math(n)]이 충분히 크고 [math(p)]가 충분히 작아서 [math(np)]의 값이 적당할 때의 이항 분포의 값을 근사적으로 구할 수 있다. 이항 분포에서 [math(np=\lambda)]를 유지하면서 [math(n\to\infty)]일 때, 그 분포는 포아송 분포에 수렴한다. 이에 따라 [math(n)]과 [math(p)]의 각각의 값은 모르지만 [math(np=\lambda)]의 값은 알 때 푸아송 분포를 사용하여 이항 분포의 근사치를 알 수 있다.
후술되어 있듯 [math(\lambda)]는 곧 푸아송 분포의 평균과 분산이 되며, ' 람다'로 읽는 그리스 문자이다.
2. 조건
푸아송 분포로 유의미한 근삿값을 얻으려면 다음 세 가지 조건을 만족시켜야 한다.- 주어진 시간 동안 일어나는 사건의 횟수는 다른 시간에서 일어나는 사건의 횟수와 독립이어야 한다.
- 주어진 시간을 더 짧은 단위로 나눴을 때, 그 짧은 시간 내에서 사건이 두 번 이상 발생할 확률은 무시할 만큼 매우 작아야 한다.
- 주어진 시간을 더 짧은 단위로 나눴을 때, 시간의 길이와 사건이 한 번 발생할 확률은 비례한다.
일반적으로, [math(n\geq 20)]이고 [math(p\leq 0.05)]이면 어느 정도 충분하고, [math(n\geq 100)]이고 [math(np\leq 10)]이면 매우 훌륭하다고 여겨진다.
3. 유도 과정(푸아송 극한 정리)
이항 분포에서 [math(X\sim B(n,p))] 이고 [math(n\to\infty)], [math(p\to 0)], [math(np \to \lambda)]이면|
[math( \begin{aligned} f(x;n,p) &= Pr(X=x)\\ &= \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\\ &= \frac{n!}{(n-x)!x!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\frac{n(n-1) \cdot \cdot \cdot (n-x+1)}{n^x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\ \end{aligned} )] |
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따라서 [math(n\to\infty)], [math(p\to 0)], [math(np \to \lambda)]이면 다음이 성립한다. 이를 푸아송 극한 정리(Poisson limit theorem)라고 한다.
[math(f(x;n,p)\approx\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]
이렇게 유도되는 푸아송 분포를 다음과 같이 표기한다.
[math(f(x;\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]
이 [math(\lambda)]가 바로 푸아송 분포의 모수(parameter)이며, 확률변수 [math(X)]가 모수 [math(\lambda)]인 푸아송 분포를 따르면
[math(X\sim{\rm Pois}(\lambda))]
로 나타내고 [math(X)]를 모수가 [math(\lambda)]인 푸아송 확률변수(Poisson random variable)라고 한다.
4. 의미
[math(f(x;\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]
이렇게 유도된 푸아송 분포의 확률변수 [math(X)]는 단위시간 혹은 단위공간 내의 발생 횟수이며, 이를 [math(x)]에 대입한다. 그리고 해당 단위시간 혹은 단위공간 내에서 평균적으로 발생하는 사건의 횟수를 [math(\lambda)]에 대입하면 해당 확률을 구할 수 있다.
4.1. 예제
| [문제] 어느 지하철역에는 5분마다 3명꼴로 승객이 온다. 지하철역에 오는 승객의 수가 푸아송 분포를 따를 때, 4분간 한 사람도 지하철역에 오지 않을 확률을 구하시오. |
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5분마다 3명꼴로 승객이 오므로, 4분마다 2.4명꼴로 오는 셈이다. 여기에서 '4분'이 '단위시간'이 된다. 구하고자 하는 확률에서의 사건의 발생 횟수는 0이므로 [math(x=0)], 단위시간(4분) 내에 발생하는 사건의 평균 횟수는 [math(\lambda=2.4)]이므로 이를 푸아송 분포에 적용하면 확률은 다음과 같이 약 9%이다.
[math(\dfrac{2.4^0e^{-2.4}}{0!}=e^{-2.4}\approx 0.0907)]
5. 평균과 분산
우선 [math(p(x:\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]의 평균은 애초에 정한 바 그대로 [math(np=\lambda)]이다.[math(p(x:\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]의 분산은 다음과 같이 구한다. 본디 이항 분포의 분산은 [math(np(1-p))]이므로
[math(np(1-p)=np=\lambda\;(\because p\to 0))]
따라서 푸아송 분포의 평균과 분산은 [math(\boldsymbol\lambda)]로 같다.
6. 누적분포함수
[math(e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}=\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !})]
[math(\Gamma(x,y))]는 불완전 감마 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다.
7. 적률생성함수
[math(\begin{aligned}M_X(t)&=E(e^{tX})\\&=\displaystyle\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}=\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^t\lambda)^x e^{-\lambda}}{x!}\\&=\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^t\lambda)^x e^{-e^t \lambda}e^{e^t \lambda}e^{-\lambda}}{x!}\\&=e^{e^t \lambda}e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^t \lambda)^x e^{-e^t \lambda}}{x!}\\&=e^{\lambda(e^t-1)}\end{aligned})]
따라서 푸아송 분포의 적률생성함수는 [math(e^{\lambda\left(e^t-1\right)})]이며, 이 함수를 통해 평균과 분산을 계산하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}M'_X(t)&=e^{\lambda\left(e^t-1\right)}\lambda e^t\\M''_X(t)&=e^{\lambda\left(e^t-1\right)}\lambda e^t+e^{\lambda\left(e^t-1\right)}\left(\lambda e^t\right)^2\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\therefore E(X)&=M'_X(0)=\lambda\\E(X^2)&=M''_X(0)=\lambda+\lambda^2\\{\rm Var}(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\lambda\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\therefore E(X)&=M'_X(0)=\lambda\\E(X^2)&=M''_X(0)=\lambda+\lambda^2\\{\rm Var}(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\lambda\end{aligned})]
8. 관련 문서
[1]
Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile; précédées des règles générales du calcul des probabilités