캐번디시 실험

3.1. 계산 예3.2. G

4. 비틀림 상수 5. 관련 문서

1. 개요

Cavendish experiment

18세기 말에 영국의 과학자 존 미첼(John Mitchell)이 고안하고 헨리 캐번디시(Henry Cavendish)가 실행한 과학 실험.

비틀림 저울을 사용한 본 실험은 최소한 1783년부터 존 미첼이 계획하고 있었으나 1793년에 그가 사망했다. 존 미첼의 사후 존 미첼의 비틀림 저울은 프란시스 존 하이드 울라스턴을 거쳐서 캐번디시에게 넘어갔고, 캐번디시는 미첼의 계획을 토대로 미첼의 실험을 수행하였다. 캐번디시는 1797년부터 1798년까지 실험과 측정을 하였고, 1798년에 기고한 논문에 실험 결과를 보고했다.

2. 의미

중력상수,지구밀도를 실측하는 인위적인 장치를 고안하고 설계 및 구현하였다는 점에서 인류 역사상 최초의 성공적인 중력 실험장치로 평가받는다. 중력상수를 위한 2개의 서로 다른 질량의 실험 모델을 축소판으로 구현하고 설계하였다는 점에서 캐번디시 실험은 그 결과의 정확성만큼이나 중요한 의미를 갖는다고 할수있다. 이보다 앞선 1774년 스코틀랜드에서의 시할리온 실험(Schiehallion experiment)은 지구밀도와 관련된 최초 실험으로 알려져있으나 당시로서는 이 실험에 적합한 시할리온산(Schiehallion mountain)이라는 자연환경에 의존해야하는 아이디어였다.

3. 중력상수

아래는 캐번디시 실험에서 지구 밀도와 중력상수의 계산과정이다.

파일:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram3.svg

M(큰쇠공)과 m(작은 쇠공)의 두 질량간의 거리(r) 그리고 중력(F)에 의한 W(비틀림 꼬임 선)의 θ(각도)와 반지름 [math({{L}\over{2}})]

큰쇠공(M)과 작은 쇠공(m,₁_m,2,,,)의 두 질량간의 거리(r)에서 상호 작용하는 중력(F)에 의한 비틀림 꼬임 선(W)의 θ(각도)와 반지름 [math({{L}\over{2}})]으로부터 [1][2][3]
[math( 2F{{L}\over{2}} = W \theta )]
를 조사할수있다. 이때 중력상수(G)는
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]로 부터
[math( W \theta =G {{mM 2L}\over{r^2}})]를 얻을수있다.
한편 비틀림 각(θ)에서 비틀림 계수 W는
회전축이 중심에 있는 길이 L인 얇은 막대에서 비틀림 계수가 W이고 관성 모멘트가 I 인 쇠구슬이 매달려 있는 축에서 비틀림 진자의 진동주기는
[math( T = 2\pi \sqrt{{I}\over{W}})] 이고
회전축으로 부터 떨어진 거리(축 길이=L)인 반경[math( \left(\dfrac{L}{2} \right) )]거리에서 질량 m,₁, , m,₂, 에 대해서 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
[math( I = m_1\left(\dfrac{L}{2} \right)^2 +m_2\left(\dfrac{L}{2} \right)^2 = 2{{m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}} )] 이고

[math( T = 2\pi { \sqrt{{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )]

[math( T^2 = { 2^2 \pi^2 {{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )]
[math( T^2 =

4\pi^2 2m\dfrac{L^2}{4} }\over{W}}  } )] 
[math( W =  \dfrac{4\pi^2 2m{L^2}}{{4}T^2}   )] 
[math( W =  \dfrac{\pi^2 2m{L^2}}{T^2}   )] 
따라서 
[math(  \dfrac{\pi^2 2m{L^2}}{T^2} \theta =G {{m M 2L}\over{r^2}}   )] 

[math(   \dfrac{\pi^2 \cancel{2}\cancel{m}L^{\cancel{2}} r^2}{T^{2} \cancel{m} M \cancel{2}\cancel{L}} \theta =G   )] 

[math(  \dfrac{\pi^2 L r^2}{T^2 M } \theta =G   )] 

=== 계산 예 ===
[math(  \dfrac{\pi^2 L r^2}{T^2 M } \theta =G   )] 
가상 실험 예시
M = 15kg , m = 0.05kg(50g) ,막대길이(L=2R)= 0.5m ,질량체M과m과의 거리(r)=0.072m
비틀림계수 [math(W=8 \times 10^{-8} kg\, m^2 /sec^2 \theta(^{\circ}) )] , 비틀림각[math((\theta) = 0.12^{\circ}   )]
우선
비틀림주기 [math((T)=   2\pi  { \sqrt{{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}}  }   )]
[math( T= 2\pi { \sqrt{{2\cdot 0.05 \left(\dfrac{0.5}{2} \right)^2}\over{8 \times 10^{-8

} =1756.2036 )]
계속해서
[math( G=\dfrac{\pi^2 L r^2}{T^2 M } \theta )]
[math( G= \dfrac{\pi^2 \cdot 0.5 \cdot 0.072^2}{1756.2036^{2}\cdot 15 } 0.12^{\circ} =6.6355\times 10^{-11} )]
약 [math( 0.66666 \times 10^{-10} = \dfrac{2}{3}\times 10^{-10} )]값을 조사할수있다.

3.1. G

중력 상수(gravitational constant, 기호는 G)
[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 /kg^{2}})][4][5]
따라서
[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm kg \, m \,sec^{-2} \cdot m^2 kg^{-2}})]
[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm \, m \, m^2 /sec^2 kg} )]

3.2. 비틀림 상수

비틀림 주기 [math((T) = 2\pi\left( \dfrac{2m\left(\frac{L}{2}\right)^2}{W} \right)^{\frac{1}{2}} )]
따라서 비틀림계수인 비틀림 상수(W) 는 일정한 [math(\theta)](각도)에서 평균값으로

[math(T = 2\pi\left( \dfrac{2m\left(\frac{L}{2}\right)^2}{W} \right)^{\frac{1}{2}} )]

[math( T^2 = (2\pi)^2 \left( \dfrac{2m\left(\frac{L}{2}\right)^2}{W} \right) )]
[math( T^2 = \dfrac{(2\pi)^2 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2}{W} )]
[math( W = \dfrac{(2\pi)^2 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2}{T^2} )]
[math( W = \dfrac{\pi^2 2m{L}^2}{T^2} )]를 조사하고 실험에 사용하는 중심꼬임줄 선재(강삭,철사)의 비틀림상수(W)를 사전에 얻을수있다.
현대에 이르러 비틀림각의 검출방식을 정밀하게 구현함으로써 토크미터 또는 이와 같은 결과를 조사할수있다는 것이 캐번디시 실험의 핵심 요구사항중 하나임을 확인할수있다.[6]

4. 관련 문서

[1] The Royal Society, Philosophical Transactions \[469\] Experiment XXI. Experiments to determine the density of the earth, Henry Cavendish, Published: 01 January 1798 Volume 88 https://doi.org/10.1098/rstl.1798.0022 [2] 《자연철학의 수학적 원리 (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)》 by Isaac Newton 1686, 1687 ( Latin) https://www.gutenberg.org/ebooks/28233 [3] The Mean Density of the Earth: An Essay to which the Adams Prize was Adjudged in 1898 (공)저: John Henry Poynting, The University of Cambridge (P41) The Experiment proposed by Michell https://books.google.co.kr/books?id=dg0RAAAAIAAJ&pg=PA45&redir_esc=y [4] (swinburne university of technology)Cosmos- Gravitational Constant https://astronomy.swin.edu.au/cosmos/g/Gravitational+Constant [5] (IAU) RESOLUTION B1 - International Astronomical Union https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf [6] 한국정밀공학회지(Journal of the Korean Society of Precision Engineering) 제17권 제6호 2000년6월 ,비틀림각 검출방식을 이용한 토크미터의 해석과 개발Analysis and development of the angular twist type torque-meter , Kim Ji Woong , Oh Se Hoon, lee Chong Won, Cheong Yeon Doo,Kim Jin Nam https://koreascience.kr/article/JAKO200011922272386.pdf