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최근 수정 시각 : 2024-06-18 19:25:12

중력 상수

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1. 개요
1.1. 다인 표기
2. 중력 상수3. 가우스 중력상수4. 불확도5. 구심 가속도6. 태양 질량7. 지구 밀도
7.1. 계산
8. 관련 문서

1. 개요

중력 상수(gravitational constant, 기호는 G) 또는 보편중력상수(普遍重力常數,universal gravitational constant )는 고전역학에서 뉴턴의 만유인력의 법칙에 나타나는 보편 상수인 중력의 상수를 말한다. 이는 곧, 단위 질량의 두 질점(質點)이 단위 거리만큼 떨어져 있을 때 작용하는 만유인력의 값으로 구체적인 값은 아래와 같다.
[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}})][1][2]

일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에서도 값의 변화 없이 그대로 등장한다.
또한 중력상수는 플랑크 상수, 태양 질량(기호 ☉)등 아주 작은 미시세계부터 매우 거대한 태양계의 별 질량에 이르기까지 가장 기본이 되는 상수(constant) 값이다. 따라서 직접 실측을 통하지 않고서는 따로 계산해 낼 수 없는 값이다.

1.1. 다인 표기

다인(dyn)
[math(1 dyn = 10^{-5} N)](뉴톤)
따라서
[math( G=6.664 \times 10^{－8}\,{\rm dyn \cdot cm^2 gm^{-2}})][3][4]
[math( =6.664 \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}})]
6.664값은 1940대를 전후해서 통용되던 뉴턴 중력 상수(Newton’s gravitation constant)의 수치이다.

2. 중력 상수

존 미첼(John Mitchell)이 설계하고 헨리 캐번디시(Henry Canendish)에 의해 완성되고 연구된 캐번디시 실험(Cavendish experiment)의 지구 밀도와 중력상수의 계산과정
파일:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram2.png
M(큰쇠공)과 m(작은 쇠공)의 두 질량간의 거리(r) 그리고 중력(F)에 의한 W(비틀림 꼬임 선)의 θ(각도)와 반지름 [math({{L}\over{2}})]
큰쇠공(M)과 작은 쇠공(m,1m,2,,,)의 두 질량간의 거리(r)에서 상호 작용하는 중력(F)에 의한 비틀림 꼬임 선(W)의 θ(각도)와 반지름 [math({{L}\over{2}})]으로부터 [5][6][7]
[math( 2F2{{L}\over{2}} = W \theta )]
를 조사할 수 있다. 이때 중력상수(G)는
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]로 부터
[math( W \theta =G {{mM 2L}\over{r^2}})]를 얻을 수 있다.
한편 비틀림 각(θ)에서 비틀림 계수 W는
회전축이 중심에 있는 길이 L인 얇은 막대에서 비틀림 계수가 W이고 관성 모멘트가 I 인 쇠구슬이 매달려 있는 축에서 비틀림 진자(Torsion pendulum)의 진동주기는
[math( T = 2\pi \sqrt{{I}\over{W}})] 이고
회전축으로 부터 떨어진 거리(축 길이=L)인 반경[math( \left(\dfrac{L}{2} \right) )]거리에서 질량 m,1, , m,2, 에 대해서 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.

[math( I=m_1\left(\dfrac{L}{2} \right)^2+m_2\left(\dfrac{L}{2} \right)^2=2{{m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}})] 이고
[math( T = 2\pi { \sqrt{{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )]

[math( T^2 = { 2^2 \pi^2 {{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )]

[math( T^2 = {{{4\pi^2 2m\dfrac{L^2}{4} }\over{W}} } )]

[math( W = \dfrac{4\pi^2 2m{L^2}}{{4}T^2} )]

[math( W = \dfrac{\pi^2 2m{L^2}}{T^2} )]

따라서,

[math( \dfrac{\pi^2 m{L^2}}{T^2} \theta =G {{m M 2L}\over{r^2}} )]

[math( \dfrac{\pi^2 \cancel{2}\cancel{m}L^{\cancel{2}} r^2}{T^{2} \cancel{m} M \cancel{2}\cancel{L}} \theta =G )]

[math( \dfrac{\pi^2 L r^2}{T^2 M } \theta =G )]

3. 가우스 중력상수

가우스 중력상수(gaussian gravitational constant,기호는 K)는 천체단위에서 태양질량(M⊙ 또는 M,s,), 시간( 태양일(Day),T), AU(태양-지구간 거리,L)를 단위로 갖는다.
[math( K = 0.017 2020 9895 M^{-1} T^{-2}L^3 )]

4. 불확도

이 상수는 다른 물리 상수에 비해 유효숫자가 적은데 고작 5개밖에 되지 않는다. 이는 중력이 터무니없이 약한 힘이기 때문이다.[8] 이 문제 때문에 킬로그램을 더 밀접한 중력 상수가 아닌 플랑크 상수를 이용해 정의했다.

5. 구심 가속도

등속 원운동으로부터 (원)선속도 [math( \displaystyle{{v}\over{r}} = \omega)]에서 회전가속도 [math(r\omega^2 = \dfrac{v^2}r)]을 얻을수있다.
그리고 이것을 원(구)심가속도(a) 로 사용하면
뉴턴의 제2운동법칙으로 부터 F = ma 에 대입해서
[math( F = m \dfrac{v^2}r)]
을 얻을수있다.

6. 태양 질량

[math( \text{중력}(F) =G {\Large {{m M}\over{r^2}} } )]와 지구의 구심가속도 [math( F = m \dfrac{v^2}{r} )] 로 부터
[math( G {\Large {{m M}\over{r^2}} } = m \dfrac{v^2}r )]
여기서 [math( G : \text{중력상수}, M : \text{태양질량} , m : \text{지구질량}, r : \text{태양과 지구와의 거리(반지름)} , v : \text{지구의 공전 속도} )]
[math( G {\Large {{m M}\over{r^2}} } = \dfrac{m v^2}{r} )]
[math( {M } = \dfrac{m v^2 r^2}{m r G} )]
[math( {M } = \dfrac{v^2 r}{ G} )]
태양과 지구와의 거리(AU) 149,597,870,700m [9], 중력상수 0.000000000066743 N m^2^ kg^-2^
, 지구의 공전 속도(sec) = [math( \dfrac{\text{태양과 지구와의 거리}\cdot 2\pi}{365.25} \div day(24) \div hour(60) \div min(60) = 29,785.254365592 m sec)]
[math( \text{태양질량} (M) = \dfrac{(29,785.284688845 m / sec)^2 \cdot 149,598,023,000m }{0.000000000066743 m^3 /sec^2 kg } )]
[math( M = 1.988487005×10^{30} kg )]
따라서 태양을 기준으로 하는 태양질량(Solar Mass,기호 [math( M_\odot)]) 단위는
[math( 1 M_\odot = 1.988487005×10^{30} kg )]이다.

7. 지구 밀도

힘[math((F)= ma)]로 부터
중력힘(F)은 [math( F= {mg} )], g는 중력가속도 - (1)
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]에서
중력상수[math( (G) = \dfrac{Fr^2}{mM} )] - (2)
(2)에 (1) 을 대입하면
[math( G = \dfrac{mgr^2}{mM} )]
[math( G = \dfrac{gr^2}{M} )] - (3)
[math(\text{밀도}(\rho)= \dfrac{\text{질량}(M)}{\text{부피}(V)} )]
따라서
[math( M= \rho V )] , [math( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 )]는 지구부피 - (4)
(4)를 (3)에 대입하면
[math( G = \dfrac{gr^2}{\rho \dfrac{4}{3} \pi r^3} )]
[math( G = \dfrac{{3}g}{\rho {4} \pi r} )]
따라서
지구밀도[math((\rho) )]는 [math( \rho = \dfrac{{3}g}{ G {4} \pi r} )]

7.1. 계산

지구밀도 [math( (\rho) = \dfrac{{3}g}{ G {4} \pi r} )]
[math( \rho = \dfrac{{3}\cdot 9.8 m/sec^2}{ 0.000000000066743 m^3/sec^2 kg \cdot {4}\cdot 3.14 \cdot 6,378,000m} = 5498.7940 kg/m^3 = 5.498 g/cm^3)]
현재 지구 평균 밀도는 5.515로 제시된다.

8. 관련 문서

[1] (swinburne university of technology)Cosmos- Gravitational Constant https://astronomy.swin.edu.au/cosmos/g/Gravitational+Constant [2] (IAU) RESOLUTION B1 - International Astronomical Union https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf [3] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman ,P497 # [4] Probable Values of the General Physical Constants ,Raymond T. Birge,Rev. Mod. Phys. 1, 1 – Published 1 July 1929 # [5] The Royal Society ,Philosophical Transactions \[469\]Experiment XXI. Experiments to determine the density of the earth , Henry Cavendish, Published:01 January 1798 Volume 88 https://doi.org/10.1098/rstl.1798.0022 [6] 《자연철학의 수학적 원리》Philosophiae Naturalis Principia Mathematica by Isaac Newton 1686,1687 (Latin) https://www.gutenberg.org/ebooks/28233 [7] The Mean Density of the Earth: An Essay to which the Adams Prize was Adjudged in 1898 (공)저: John Henry Poynting ,The University of Cambridge (P41) The Experiment proposed by Michell https://books.google.co.kr/books?id=dg0RAAAAIAAJ&pg=PA45&redir_esc=y [8] 대놓고 약한 힘이라는 이름인 약한 상호작용보다도 어마어마한 차이로 약하다. [9] IAU RESOLUTION B2 태양과 지구와의 거리 149,597,870,700m ±3m https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf [10] 사실 모티브를 고려해 보면 중력 상수를 염두에 둔 것이긴 하다.

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