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전치행렬

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1. 개요2. 성질
2.1. 정사각행렬에서
3. 대칭행렬과 반대칭행렬
3.1. 표현3.2. 성질
3.2.1. 대칭행렬의 제곱3.2.2. 반대칭행렬의 제곱3.2.3. 대칭행렬과 반대칭행렬의 곱
3.3. 예시
4. 직교행렬
4.1. 이차정사각행렬에서
5. 활용6. 컴퓨터에서7. 여담

1. 개요

전치행렬( 轉 置 行 列, transpose, 기호는 [math( \square^{T} )][1] )이란 행렬 내의 원소를 대각선축( 주대각성분)을 기준으로 서로 위치를 바꾼 것을 말한다. 즉, [math( m\times n )] 행렬의 전치행렬은 [math( n\times m )] 행렬이 된다. 이때 기호는 전치를 뜻하는 영단어 transpose의 머리글자를 위첨자로 사용하여 [math(A^{T} )]로 나타낸다.
임의의 한 행렬 [math( A )]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle {A^{T}}_{ij}=A_{ji} )]
모든 행렬에 대해 전치행렬은 항상 1개만 존재하며 서로 일대일 대응한다.

2. 성질

그 곱이 정의되는 임의의 두 행렬 [math(A, B)]과 임의의 실수 [math(a, b, k)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr}\end{bmatrix})]
일 때,

[math(AB=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}b_{k1} & \sum_k a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}b_{kr} \\ \sum_k a_{2k}b_{k1} & \sum_k a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}b_{kr} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{mk}b_{k1} & \sum_k a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{kr}\end{bmatrix})]
이고 이것은 [math(m\times r)] 행렬이다. 따라서 다음과 같다.

[math((AB)^T=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}b_{k1} & \sum_k a_{2k}b_{k1} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{k1} \\ \sum_k a_{1k}b_{k2} & \sum_k a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{k2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{1k}b_{kr} & \sum_k a_{2k}b_{kr} & \cdots & \sum_k a_{mk}b_{kr}\end{bmatrix})]

한편, [math(A^T, B^T)]는 각각 [math(n\times m, r\times n)] 행렬이고 다음과 같다.
[math(A^T=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}, B^T=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1r} & b_{2r} & \cdots & b_{nr}\end{bmatrix})]
이므로 [math(B^TA^T=(AB)^T)]가 성립한다. 이때 [math(B^TA^T)]는 [math(r\times m)] 행렬이다.
참고로 위 증명에서 [math(A^TB^T)]는 행렬의 크기가 맞지 않으므로 정의되지 않는다.
* 행렬의 곱 [math(ABC)]가 정의되는 행렬 [math(C)]에 대하여, [math((ABC)^T=C^TB^TA^T)]
* 증명 : [math((ABC)^T=C^T(AB)^T=C^TB^TA^T)]
* 같은 방법으로 [math((A_1A_2...A_n)^T=A_n^T...A_2^TA_1^T)]임을 알 수 있다.
다음은 일반적으로 성립하지 않는 것이다.

2.1. 정사각행렬에서

[math(A, B, C)]가 거듭제곱이 가능한 행렬, 즉 n차 정사각행렬일 때 다음이 성립한다.

3. 대칭행렬과 반대칭행렬

대칭(symmetric)행렬이란 n차 정사각행렬[2] 중 [math(A^T=A)]인 행렬, 즉 주대각선을 기준으로 서로 대칭되는 성분들의 값이 모두 서로 같은 행렬을 의미한다. 즉 n차 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(A_{ij}=A_{ji})] ([math(i,j=1,2,...,n)])가 항상 성립하는 행렬이다.
한편, [math(A^T=-A)]인 행렬 [math(A)]를 반대칭(skew symmetric)이라고 하고, 역시 n차 정사각행렬이다.
1차 정사각행렬의 경우에는 모든 행렬이 대칭행렬이며, 반대칭행렬은 영행렬뿐이다.

3.1. 표현

n차 정사각행렬인 대칭행렬은 대칭되는 성분들끼리 서로 값이 같으므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix})]
또한 n차 정사각행렬인 반대칭행렬은
[math(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix})]
일 때
[math(A^T=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}, -A=\begin{bmatrix}-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & -a_{nn}\end{bmatrix}, A^T=-A)]
이므로 다음이 성립해야 한다. 따라서 [math(A)]가 반대칭행렬인 경우 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(A=\begin{bmatrix}0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & \cdots & 0\end{bmatrix})]

3.2. 성질

임의의 n차 정사각행렬 [math(A, B)]와 임의의 실수 [math(a, b)], 임의의 1 이상의 정수 [math(k)]에 대하여 다음이 성립한다. 한편, 이들 행렬 [math(A, B)]가 각각 대칭행렬일 때 다음이 성립한다. 추가적으로 [math(A_1, A_2, ..., A_n)]이 각각 대칭행렬일 때 다음이 성립한다. 한편, 이들 행렬 [math(A, B)]가 각각 반대칭행렬일 때 다음이 성립한다. 다음은 일반적으로 성립하지 않는 것이다. 대칭행렬이면서 동시에 반대칭행렬인 행렬은 영행렬 [math(O)]가 유일하다. 증명은 다음과 같다.

3.2.1. 대칭행렬의 제곱

n차 정사각행렬 [math(A)]가 대칭행렬일 경우 상술했듯이 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix})]
이때 [math(A^2)]를 계산하면 다음과 같다.
[math(A^2=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}a_{k1} & \sum_k a_{1k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{kn} \\ \sum_k a_{2k}a_{k1} & \sum_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{nk}a_{k1} & \sum_k a_{nk}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{kn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}^2 & \sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{nk} \\ \sum_k a_{2k}a_{1k} & \sum_k a_{2k}^2 & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{nk}a_{1k} & \sum_k a_{nk}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}^2 & \sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{nk} \\ \sum_k a_{1k}a_{2k} & \sum_k a_{2k}^2 & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{1k}a_{nk} & \sum_k a_{2k}a_{nk} & \cdots & \sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix})]
따라서 [math(A^2)] 역시 대칭행렬이며, 주대각선의 원소는 항상 음이 아니다.
이때 [math(A^2=O)]이 성립하는 경우 [math(A^2)]의 주대각선을 보면 [math(\sum_k a_{1k}^2=\sum_k a_{2k}^2=...=\sum_k a_{nk}^2=0)]이 성립해야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 이때 [math(a_{11}^2+a_{12}^2+...+a_{1n}^2=a_{21}^2+a_{22}^2+...+a_{2n}^2=...=a_{n1}^2+a_{n2}^2+...+a_{nn}^2=0)]이 성립해야 하므로, 실수 범위 내에서는 [math(a_{11}=a_{12}=...=a_{1n}=a_{21}=...=a_{nn}=0)], 즉 [math(A)]의 모든 성분의 값이 0이 되어야 한다. 즉 [math(A^2=O)]이면 [math(A=O)]이어야 한다는 것을 알 수 있다.

3.2.2. 반대칭행렬의 제곱

n차 정사각행렬 [math(A)]가 반대칭행렬일 경우 상술했듯이 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(A=\begin{bmatrix}0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & \cdots & 0\end{bmatrix})]
이때 [math(A^2)]를 계산하면 다음과 같다.
[math(A^2=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}a_{k1} & \sum_k a_{1k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{kn} \\ \sum_k a_{2k}a_{k1} & \sum_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{nk}a_{k1} & \sum_k a_{nk}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{kn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sum_k a_{1k}^2 & -\sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & -\sum_k a_{1k}a_{nk} \\ -\sum_k a_{2k}a_{1k} & -\sum_k a_{2k}^2 & \cdots & -\sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\sum_k a_{nk}a_{1k} & -\sum_k a_{nk}a_{2k} & \cdots & -\sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sum_k a_{1k}^2 & -\sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & -\sum_k a_{1k}a_{nk} \\ -\sum_k a_{1k}a_{2k} & -\sum_k a_{2k}^2 & \cdots & -\sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\sum_k a_{1k}a_{nk} & -\sum_k a_{2k}a_{nk} & \cdots & -\sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix})]
따라서 [math(A^2)]은 대칭행렬이며, 주대각선의 원소는 항상 양이 아니다. 자세히 보면 대칭행렬의 제곱에 -1을 곱한 꼴임을 알 수 있다.
이때 [math(A^2=O)]이 성립하는 경우 대칭행렬에서와 마찬가지로 [math(A=O)]이어야 한다는 것을 알 수 있다.

3.2.3. 대칭행렬과 반대칭행렬의 곱

대칭행렬이나 반대칭행렬의 제곱과 달리, 대칭행렬과 반대칭행렬의 곱은 대칭행렬이나 반대칭행렬이 아닐 수 있다. 예를 들어
[math(A=\begin{bmatrix}a & b \\ b & c\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0 & d \\ -d & 0\end{bmatrix})]
일 때 다음과 같다.
[math(AB=\begin{bmatrix}-bd & -ad \\ -cd & bd\end{bmatrix}, BA=\begin{bmatrix}bd & cd \\ -ad & -bd\end{bmatrix})]

3.3. 예시

4. 직교행렬

n차 정사각행렬 [math(A)]에 대해서 [math(A^{-1}=A^T)], 즉 [math(AA^T=A^TA=I)]일 때, 이 행렬을 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다.
직교행렬 [math(A)]가
[math(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix})]
일 때,
[math(A^TA=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{k1}^2 & \sum_k a_{k1}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{k1}a_{kn} \\ \sum_k a_{k2}a_{k1} & \sum_k a_{k2}^2 & \cdots & \sum_k a_{k2}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{kn}a_{k1} & \sum_k a_{kn}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{kn}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{k1}^2 & \sum_k a_{k1}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{k1}a_{kn} \\ \sum_k a_{k1}a_{k2} & \sum_k a_{k2}^2 & \cdots & \sum_k a_{k2}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{k1}a_{kn} & \sum_k a_{k2}a_{kn} & \cdots & \sum_k a_{kn}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix})]
이고, 또한
[math(AA^T=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}^2 & \sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{nk} \\ \sum_k a_{2k}a_{1k} & \sum_k a_{2k}^2 & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{nk}a_{1k} & \sum_k a_{nk}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum_k a_{1k}^2 & \sum_k a_{1k}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{nk} \\ \sum_k a_{1k}a_{2k} & \sum_k a_{2k}^2 & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{1k}a_{nk} & \sum_k a_{2k}a_{nk} & \cdots & \sum_k a_{nk}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix})]
이므로 다음이 성립한다. 즉, [math(A)]에서 한 행이나 열을 선택하여 모든 원소의 제곱의 합을 구하면 항상 1이 된다. 예를 들어 2번째 행을 선택한 경우, 그 원소 [math(a_{21}, a_{22}, ..., a_{2n})]의 제곱의 합은 [math(\sum_k a_{2k}^2=1)]이다. 3번째 열을 선택한 경우, 그 원소 [math(a_{13}, a_{23}, ..., a_{n3})]의 제곱의 합은 [math(\sum_k a_{k3}^2=1)]이다. 반면 서로 다른 두 행이나 열을 선택하여 대응되는 원소끼리의 곱의 합을 구하면 항상 0이 된다. 예를 들어 2번째와 3번째 행을 선택한 경우, 대응되는 원소 [math(a_{21}, a_{22}, ..., a_{2n})]와 [math(a_{31}, a_{32}, ..., a_{3n})]의 곱의 합은 [math(\sum_k a_{2k}a_{3k}=0)]이 된다. 1번째와 3번째 열을 선택한 경우, 대응되는 원소 [math(a_{11}, a_{21}, ..., a_{n1})]와 [math(a_{13}, a_{23}, ..., a_{n3})]의 곱의 합은 [math(\sum_k a_{k1}a_{k3}=0)]이 된다.
직교행렬 [math(A)]의 행이나 열을 하나의 벡터로 생각하면, 한 행이나 열의 모든 원소의 제곱의 합은 [math(1=\cos 0º)]인데,[4] 이것은 해당 행이나 열을 나타내는 동일한 두 벡터가 이루는 각인 0º의 코사인 값 1을 의미한다. 또한 서로 다른 행이나 열의 대응되는 모든 원소의 곱은 [math(0=\cos 90º)]인데, 그 행이나 열을 나타내는 두 벡터끼리 이루는 각의 코사인 값이 0이라는 것을 의미한다. 즉 두 벡터끼리 서로 수직이라는 것을 의미한다. 이것이 모든 서로 다른 행과 열에 대해 항상 적용되므로, 직교행렬에서 서로 다른 행이나 열을 나타내는 두 벡터는 항상 서로 수직이라는 것을 의미한다.
직교행렬의 대표적인 예로는 단위행렬 [math(I)]를 들 수 있다. [math(I^T=I)]이므로 [math(II^T=I^TI=I^2=I)]가 성립한다.

4.1. 이차정사각행렬에서

이차정사각행렬
[math(A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix})]
가 직교행렬이려면 [math(A^TA=I, AA^T=I)]에 의하여 다음이 각각 성립한다.
[math(A^TA=\begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix})]
[math(AA^T=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+b^2 & ac+bd \\ ac+bd & c^2+d^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix})]
따라서 다음을 만족시켜야 한다. 위 식으로부터 다음을 유도할 수 있다. 따라서 직교행렬 [math(A)]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(A=\begin{bmatrix}a & \pm\sqrt{1-a^2} \\ \pm\sqrt{1-a^2} & \pm a\end{bmatrix})]
여기서 경우의 수를 나누고 각 경우에 대해 [math(ab+cd=ac+bd=0)]인 경우를 찾아보면 다음과 같다. 또한 직교행렬 [math(A)]를 삼각함수를 이용하여 다음과 같이 회전변환의 행렬표현 또는 이와 유사한 형태로 변형시킬 수 있다.

5. 활용

여러 개의 행렬의 곱이 서로 정의되지 않을 때, 전치행렬을 통해서 곱이 정의되게 만들 수 있다.
예를 들어 행렬 [math(A, B, C)]가 각각 [math(5\times 3, 5\times 10, 10\times 7)] 행렬일 때, 이 세 행렬을 모두 곱하는 것은 크기가 맞지 않기 때문에 불가능하다. 이때 다음과 같은 방법으로 이 세 행렬의 곱셈이 가능하게 할 수 있다. 행렬의 덧셈에서도 마찬가지로 전치행렬을 활용할 수 있다. 예를 들어 행렬
[math(A=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}4 & 5 & 6\end{bmatrix})]
에 대해서, [math(A+B)]는 정의되지 않으므로 [math(A^T+B=\begin{bmatrix}5 & 7 & 9\end{bmatrix})] 또는 [math(A+B^T=\begin{bmatrix}5 & 7 & 9\end{bmatrix}^T)]를 대신 계산할 수 있다.
행렬을 나타낼 때
[math(\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix})]
와 같이 열의 수보다 행의 수가 훨씬 많아서 표시할 때 세로로 많은 공간을 할애해야 하는 경우, 그 대신 열의 수가 더 많은 전치행렬을 이용하여 [math(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}^T)]와 같이 표시하면 그렇게 하지 않아도 된다.
벡터의 내적을 구할 때에도 전치행렬을 사용할 수 있다. [math(1\times n)] 행렬로 나타내어지는 두 벡터 [math(v, w)]에 대해서 그 내적은 [math(1\times 1)] 행렬의 entry[5] [math(\det (v^Tw))]와 같이 나타낼 수 있다.

6. 컴퓨터에서

7. 여담

이 전치 연산은 텐서곱 연산의 필수요소이며, 이 연산을 복소수 범위 내에서 생각한 것이 에르미트 행렬이다.

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[1] [math( \square^{t} )], [math( \square^{\sf T} )] 등 저자에 따라 표기가 중구난방인 경향이 있다. [2] n차 정사각행렬이 아니면 [math(A)]와 [math(A^T)]의 형태가 서로 다르므로 [math(A^T=A)]를 만족시킬 수 없다. [3] [math(A_1A_2...A_{n-1}A_{n-1}...A_2A_1)] 꼴 역시 [math(A_n=I)]를 가정하면 대칭행렬임을 알 수 있다. [4] 모든 원소의 제곱의 합이 1이므로 벡터의 크기에 해당하는 그 제곱근도 1이다. 즉 직교행렬의 각각의 행벡터와 열벡터의 크기는 모두 1임을 알 수 있다. [5] [math(1\times 1)]에서는 entry나 행렬식이나 그게 그거다.

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