1. 개요
중학교~ 고등학교 수학문제로 자주 나오는 방정식 활용 유형 중 하나이다. 서로 다른 농도와 양을 지닌 용액을 합쳤을 때 농도가 어떻게 되느냐는 유형의 문제이다. 주로 일상에서 흔히 볼 수 있는 용액인 소금물, 설탕물이 문제로 자주 나온다.2. 등장 과목
중학교 수학은 모든 학년군에서 등장한다.화학Ⅱ는 이런 문제를 그냥 기본으로 깔고 들어간다. 즉, 문제를 풀 때 농도 계산 문제를 기본으로 알고 있다고 가정하기 때문에 농도 문제 자체는 아예 안 나오거나, 점수를 거저주기 위한 문항에만 나온다.
2015 개정 교육과정에서는 화학Ⅰ에도 몰 농도와 퍼센트 농도 관련 내용이 추가됨에 따라 2021학년도 수능부터는 화학Ⅰ에서도 화학Ⅱ와 마찬가지로 농도 변환 계산 문항이 하나씩 출제되고 있다.[1]
기업 인 적성검사 시험에도 많이 등장한다.
3. 풀이
용질만의 무게의 합, 수용액의 총 무게의 합을 나타내는 두 개의 방정식을 세우면 풀 수 있다.| [math(\displaystyle wc=100w_{0})][2] |
* [math(w)] : 용액의 무게
* [math(c)]: 퍼센트 농도
거리, 속력, 시간의 관계, 일명 ' 거속시' 공식의 변환 방법 및 원리를 알고 있다면 이 식도 아래와 같이 다양하게 변환할 수 있다.
-
용질의 무게에 관한 식(소금의 양에 관한 식)
[math(\displaystyle w_{0}=\frac {wc}{100})][3]
-
퍼센트 농도에 관한 식(소금물의 농도에 관한 식)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})][4] -
용액에 물(용매)을 더할 경우 (단, [math(l)]은 물의 무게)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w+l})] -
용액에 물(용매)이 증발하는 경우
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w-l})] -
소금물에 소금을 더한 경우
[math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}+x)}{w+x})]
-
특히 용액을 균등하게 나눠서 서로 다른 비커에 나눠갖는 조건이 제시될 경우가 있는데, 먼저 균일하게 나눠가진 두 비커의 농도는 같다. 각 비커 안에 들어있는 용질과 용액의 무게는 동일한 비율로 줄어든다.
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})]에서 [math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}-kw_{0})}{w-kw})] (단, [math(\displaystyle 0<k<1)])
4. 팁
중학교 1학년 일차방정식 활용 문제에서 소금물 농도 문제 때문에 고생하는 학생들을 위한 팁이 몇 가지 있다.- 소금물 활용 문제는 거의 무조건 소금의 양에 관한 식을 기준으로 방정식을 세워 푼다. [5]
- 소금물 A와 소금물 B를 섞는 것은 (A의 소금의 양에 관한 식)+(B의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식) 꼴로 세워 푼다.
- 소금물에 물을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[6]
- 소금물에 소금을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식+x)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[7]
공직적격성평가 수준까지 가면 가중평균을 응용하여 천평법칙으로 풀이하게 되며, 2중가평은 눈 감고도 할 줄 알아야 하며 킬러문제로 3중가평까지 나오게 된다. 어렵게 생각할 필요가 없고 고등학교 수학 수준에서 설명하자면 수직선 위에서 내분점과 외분점 공식을 활용하면 된다.
5. 여담
일상에서 볼 수 있는 것을 소재로 한 문제 형식이지만 푸는 사람 입장에서는 그다지 현실감을 느끼지 못한다. "왜 기껏 만든 소금물을 합치냐"라고 투덜거리면서 푸는 사람들이 많다. # 이 문제 외에도 일상을 소재로 한 수학 문제들 대다수가 이런 평을 받는다. 다만 화학 실험 분야에서 활동하게 된다면 실제로 이러한 상황에 마주할 때가 꽤 생긴다. 그래서인진 몰라도 고등학교 과정에서는 주로 화학 교과에서 농도 문제가 많이 나온다.학창 시절 문제집이나 교과서 등에서 마주치는 거의 대다수의 소금물 문제는 사실 엄밀히 따지면 현실성이 매우 낮다고 할 수 있다. 실제 소금의 최대 용해도는 36.5% 정도이기 때문이다. # 매우 짜게 느껴지는 바닷물이 고작 3% 정도이고, 간장의 염도가 15~20% 정도이다. # 간장도 그대로 먹는 사람은 없으니 일상에서 염도 20% 이상의 소금물을 먹을 일은 거의 없는 셈이다.
수포자를 양산하는 원인이 되는 수학 문제로 지목되기도 한다. #
[1]
두 과목 다 1단원에서 농도 내용이 있다.
[2]
[math({\sf (소금물의\ 양) × (소금물의\ 농도)} = 100×{\sf(소금의\ 양)})]
[3]
[math({\sf (소금의\ 양)}=\dfrac {\sf (소금물의\ 양)×(소금물의\ 농도)}{100})]
[4]
[math({\sf (소금물의\ 농도)}=100×\dfrac {\sf (소금의\ 양)}{\sf (소금물의\ 양)})]
[5]
이는 단순히 수학 문제를 풀기 위한 팁이 아니라 화학에서도 마찬가지이다. 애초에 농도라는 것이 결국은 물질의 양(질량, 몰수 등)을 중요하게 여기는 값이기 때문.
[6]
물 그 자체는 따지고 보면 '소금의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 좌변에 추가적인 소금의 양에 관한 식이 나올 필요가 없다. 반면에 우변은 물을 탔지만 여전히 소금물이므로 양이 증가했음을 보여야 한다.
[7]
소금 그 자체는 따지고 보면 '물의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 농도가 100%이므로 좌변에 농도 100%짜리 소금물이 더해지고, 그 결과도 소금물이니 마찬가지로 양이 증가했음을 보여야 한다.