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최근 수정 시각 : 2023-01-07 19:32:48

교점

交 點 / Intersection point, point of intersection, node

1. 개요2. 상세3. 교점의 유형4. 도형의 위치 관계에 따른 교점
4.1. 원과 구의 교점4.2. 다양한 도형의 교점의 개수4.3. 매듭이론에서
5. 도형의 방정식과 교점
5.1. 좌표평면에서의 두 직선의 방정식과 교점5.2. 좌표공간에서의 두 직선의 방정식과 교점5.3. 좌표공간에서의 한 직선과 한 평면의 방정식과 교점5.4. 좌표공간에서의 두 평면의 방정식과 교점5.5. 좌표축, 좌표평면과 교점5.6. 판별식을 이용한 교점의 개수 구하기5.7. 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식
6. 교점과 관련된 수학 문제
6.1. 여러 개의 직선의 교점의 최대 개수6.2. 볼록 n각형의 대각선의 교점의 최대 개수
7. 천문학에서8. 일상 생활에서 볼 수 있는 교점9. 기타10. 관련 문서

1. 개요

어떤 평면이나 공간에서 서로 다른 선, 혹은 면과 선이 만나서 생기는 공통 부분인 점을 일컫는 말이다. 공간 [math(X)]의 두 부분 집합 [math(A, B)]에 대하여 [math(A\cap B)]의 원소를 [math(A, B)]의 교점이라 할 수도 있는데, 교점을 이렇게 정의할 때는 단순히 하나의 점이 아니라 여러 개의 점, 혹은 교선이나 교면, 심지어는 공간까지도 교점이 될 수 있다.

2. 상세

서로 다른 선끼리, 혹은 면과 선이 만나게 되었을 때 생기는 교점과는 달리, 면과 면이 만나게 되면 보통은 공통 부분으로 선이 생기기 때문에 교선이라고 하며, 두 면이 서로 일치하면 교면이 생긴다. 교선이나 교면이 생기는 경우 그 안에 무수히 많은 점이 있기 때문에 교점이 무한히 많다고 할 수 있다.

기하학의 기본적이고도 중요한 개념이다. 당장 수학Ⅰ만 펼쳐봐도 교점이란 말이 꽤나 많이 쓰이는 것을 알 수 있다. 중학교에서는 두 직선의 교점 정도가 문제로 자주 출제된다. 푸는 방법은 두 함수의 함숫값이 같다고 등식을 세우면 된다.

반직선의 교점에 대해서는 반직선 문서 참고.

3. 교점의 유형

교점은 두 선 또는 면이 만나는 형태에 따라 접하는 유형과 교차하는 유형으로 구분할 수 있다.

4. 도형의 위치 관계에 따른 교점

평면에서의 두 직선의 위치 관계에 따른 교점의 유형은 다음과 같다. 공간에서의 두 직선의 위치 관계에 따른 유형으로는 위 3가지 경우 중 나머지는 동일하지만 두 직선이 꼬인 위치에 있는 경우 교점이 존재하지 않는다.

공간에서의 한 직선과 한 평면에 의한 교점의 유형은 다음과 같다.
공간에서의 두 평면에 의한 교점의 유형은 다음과 같다.
3개 이상의 직선이나 평면이 있을 때는 경우에 따라 3개 이상의 직선이 한 점에서 만나는 공통 교점이나 3개 이상의 평면이 한 직선을 공유하는 공통 교선이 생길 수도 있다. 3개의 평면이 공유하는 부분은 하나의 교점인 경우가 많은데, 대표적으로 좌표공간의 xy평면, yz평면, zx평면을 예로 들 수 있다.

4차원의 초공간을 가정한다면, 입체와 입체의 교점을 가정할 수도 있을 것이다. 이 경우에도 두 입체가 서로 평행하면 교점이 존재하지 않을 것이다. 그 이상의 n차원 초공간을 가정할 때 두 (n-1)차원 도형의 교점도 마찬가지이다.

4.1. 원과 구의 교점

두 원의 교점의 개수는 두 원의 반지름 및 중심 사이의 거리에 따라 달라진다. 반지름을 각각 R, r(단, R≥r), 중심 사이의 거리를 s라 하면 다음과 같이 s와 R, r의 관계에 따라서 교점의 개수가 달라진다.
구의 경우에도 같은 방법을 적용할 수 있는데, 이 경우에는 나머지는 원과 같지만[1] R - r < s < R + r인 경우 두 구의 교선으로 원이 생기기 때문에 교점의 개수가 무한히 많다.

4.2. 다양한 도형의 교점의 개수

직선이 곡선에 접하고, 접점 외에서는 만나지 않을 경우 교점은 1개이다. 평면이 구 등의 곡면과 접하고 그 외의 점에서 만나지 않을 경우도 역시 1개이다. 구체적인 도형에서의 예를 들면 다음과 같다.

4.3. 매듭이론에서

파일:Cinquefoil_Knot.jpg
교점이 5개인 오각성 매듭([math(5_1)])
더 이상 풀 수 없는 매듭에서 선이 겹치는 점 수를 뜻한다. 보통 매듭의 이름은 교점의 개수로 나타내어 [math(n_m)][2] 꼴이다.

5. 도형의 방정식과 교점

직선이나 평면 등을 좌표평면이나 좌표공간상에서의 방정식으로 나타낼 수 있는데, 이 경우 직선이나 평면의 방정식을 보고 교점이 몇 개인지 구할 수 있다. 그 방정식 2개를 연립하여 만들어지는 연립방정식의 해의 개수가 바로 교점의 개수이며, 그 해가 바로 교점의 좌표이다. 예를 들어 n차 다항함수의 그래프와 직선의 교점의 개수는 최대 n개인데, 이는 (n차 다항함수식) = (직선의 식)의 해의 개수가 n개임을 의미한다.

5.1. 좌표평면에서의 두 직선의 방정식과 교점

두 직선의 방정식을 각각 ax + by + c = 0, px + qy + r = 0이라고 하면 다음과 같다.
다음 예를 보자.

5.2. 좌표공간에서의 두 직선의 방정식과 교점

두 직선의 방정식을 각각 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[3], (x - P)/p = (y - Q)/q = (z - R)/r이라고 하면 다음과 같다.
예를 들어 보자.

5.3. 좌표공간에서의 한 직선과 한 평면의 방정식과 교점

직선의 방정식을 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[4], 평면의 방정식을 px + qy + rz + s = 0이라고 하자. 이때는 상술한 방향벡터 위에 법선벡터[5]라는 개념을 이용해야 하는데, 평면 px + qy + rz + s = 0의 법선벡터는 <p, q, r>이다.
예를 들어 보자.

5.4. 좌표공간에서의 두 평면의 방정식과 교점

두 평면의 방정식은 ax + by + cz + d의 꼴로 나타나기 때문에 연립하면 보통 직선의 방정식이 나오는데, 이 직선이 바로 두 평면의 교선이다. 두 평면의 방정식을 각각 ax + by + cz + d = 0, px + qy + rz + s = 0이라고 하자.
예를 들어 보자.

5.5. 좌표축, 좌표평면과 교점

5.6. 판별식을 이용한 교점의 개수 구하기

이차방정식의 근의 개수를 구하는 판별식 D = b2 - 4ac를 이용하여 직선과 이차곡선, 두 이차함수의 그래프 등의 교점의 개수를 구할 수 있다. 판별식을 이용하여 교점의 개수를 구하는 과정은 다음과 같다. 단, x와 y에 관한 이차 이하의 식으로 나타내어지지 않는 곡선의 경우 이 방법으로 교점의 개수를 구할 수 없다는 점에 유의하자.
예를 들어 직선 2x + y - 2 = 0과 타원 x2 + 4y2 = 1의 교점의 개수를 구해 보자.

5.7. 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식

좌표평면에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0이라 하면, 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = 0의 꼴로 k의 값에 따라 무한히 많이 존재한다. 두 도형의 교점은 각 도형의 방정식을 만족시키는 '공통부분'에 해당하므로 교점의 좌표 (x, y)는 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0을 모두 만족시키고, 따라서 f(x, y) + k·g(x, y) = 0도 만족시킨다.

마찬가지로 좌표공간에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0이라 하면, 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y, z) + k·g(x, y, z) = 0의 꼴이다.

예를 들어 직선 y = x + 1과 원 x2 + y2 = 1의 교점은 (-1, 0), (0, 1)인데, 이 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = x - y + 1 = 0, g(x, y) = x2 + y2 - 1 = 0이라고 하면 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = (x - y + 1) + k(x2 + y2 - 1) = 0이다. 여기에 교점의 좌표 (-1, 0), (0, 1)을 대입하면 k의 값에 관계없이 성립함을 알 수 있다.

고등학교 교과 과정에서 등장할 수 있는 문제 유형으로 두 원의 교점을 지나는 도형의 방정식과 관련된 것이 있는데, 두 원의 방정식을 각각 x2 + y2 + Ax + By + C = 0, x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0으로 놓으면 교점을 지나는 도형의 방정식은 (x2 + y2 + Ax + By + C) + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0이라고 할 수 있다. 참고로 이것을 변형하면 (k + 1)x2 + (k + 1)y2 + (A + A')x + (B + B')y + (C + C') = 0이 되어 원의 방정식의 꼴이 된다.

6. 교점과 관련된 수학 문제

경우의 수와 같은 대수학 이외의 수학적 개념을 이용하여 교점의 개수 등을 구하는 문제가 각종 시험이나 문제집 등에 출제될 수 있다.

6.1. 여러 개의 직선의 교점의 최대 개수

경우의 수를 이용하는 문제 중의 한 유형으로 직선이 몇 개 있을 때, 그 직선들로 만들어질 수 있는 교점이 최대 몇 개인지를 묻는 것이 있다. 3개 이상의 직선이 지나는 공통 교점이 있거나, 서로 평행한 직선이 있을 수 있으므로 최대 개수보다 적은 수의 교점을 만들 수 있다. 참고로 교점의 최소 개수는 1개(그 직선들이 모두 한 점에서 만나는 경우)이다. 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있다.

6.2. 볼록 n각형의 대각선의 교점의 최대 개수

위 문제와 같이 교점의 개수가 최대가 되도록 대각선들이 모두 서로 평행하지 않고 3개 이상의 대각선이 한 점을 지나지도 않는다고 가정하고 아래의 방법으로 해결하면 된다. 단, 이 방법은 육각형 이상에서는 서로 만나지 않는 대각선이 반드시 생기기 때문에 대각선을 연장하여 생기는 교점도 인정하는 경우에만 가능하다. 참고로 정다각형의 경우는 정사각형, 정오각형을 제외하고는 3개 이상의 대각선이 지나는 공통 교점이 만들어지거나(정 2n각형), 대각선이 서로 평행한 경우(정 2n+1각형)가 반드시 생긴다.

7. 천문학에서

node, nodal point / 交點

두 개의 구면좌표계에서의 기준면 교차점을 뜻하는 용어로, 구면 위에 있는, 구의 중심을 중심으로 하는 두 원의 교차점이기 때문에 총 2개가 생긴다. 예를 들어 적도 좌표계와 황도 좌표계에서 적도면과 황도면이 교차하는 분점, 달의 궤도와 천구의 적도면 또는 황도면과 만나는 점, 인공위성의 궤도가 적도면과 만나는 점 등을 말한다.

남에서 북으로 통과하는 교점을 승교점(昇交點), 그 반대의 교점을 강교점(降交點)이라고 한다.

8. 일상 생활에서 볼 수 있는 교점

일상 생활에서 가로줄과 세로줄이 만나는 것과 같은 교점을 흔히 찾아볼 수 있다.

9. 기타

10. 관련 문서

[1] 두 구가 서로 일치하는 경우에는 원 모양의 교선 대신 구 모양의 교면이 생기는데, 역시 교점이 무한히 많다. [2] [math(n)]은 교점의 개수, [math(m)]은 매듭에 붙여진 일련번호이다. 위의 오각성 매듭은 교점이 5개인 매듭 중 첫번째로 분류되어서 [math(5_1)]이다. [3] a, b, c는 모두 0이 아니고, 점 (A, B, C)를 지나고 방향벡터가 <a, b, c>인 직선의 방정식 [4] a, b, c는 모두 0이 아님 [5] 평면에 수직인 벡터

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