1. 개요
기하급수( 幾 何 級 數, geometric series) 또는 등비급수( 等 比級數)는 서로 이웃하는 항의 비(比)가 일정한 급수로, 예를 들어 [math(1+2+4+8+16+\cdots)], [math(a+ar+ar^2+\cdots)] 따위를 이른다.[1]등비수열의 부분합을 무한으로 보낸 개념이다. 풀어서 설명하자면, 첫째 항과 일정한 공비를 가지는 수열 [math(\{a_n\})]이 있을 때, [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지 더한 값인 [math(\displaystyle \sum^n_{k=1} a_k)]에서 [math(n)]을 무한대로 보내어 모든 항을 더한 값이다.
2. 조건
등비급수를 사용할 때는, 대상 수열의 공비 [math(r)]의 절댓값이 [math(1)]보다 작아야 한다는 특수한 성립 조건이 필요하다. 만약 공비가 [math(-1)] 이하라면 수열의 합은 진동하게 되고, [math(1)] 이상이라면 수열의 합은 무조건 발산하게 되기 때문.[2]3. 계산
대상 수열의 첫째항이 [math(a)]이고 공비가 [math(r)]일 때, 합은 [math(\dfrac a{1-r})] (단, [math(|r|<1)])이다.3.1. 등비급수를 수식으로 표현하는 방법
등비수열 [math(a_n = ar^{n-1})]의 첫 번째 항 [math(a_1)]부터 [math(n)]번째 항 [math(a_n)]까지의 등비급수를 표현하는 방법은 다음과 같다.| [math(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n ar^{k-1} = a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} = a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}))] |
| [math(S_n = \dfrac{a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})(r-1)}{r-1} = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} = a\,\dfrac{1-r^n}{1-r})] |
| [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_n = \lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}a\dfrac{1-r^n}{1-r}=\dfrac a{1-r})] |
그런데 라마누잔이라는 수학자가 위 식에서 [math(r=1)]일 경우를 계산해냈다. 자세한 내용은 이 문서 참고.
4. 수능에서의 활용
고교 수학을 바탕으로 하는 대수능에서 3~4점짜리 문제로, 미적분을 선택한 학생에 한하여 출제된다.[3] 일명 무등비[4] 문제 또는 프랙탈 문제. 도형을 던져주고 그와 똑같은 모양의 더 작은 도형을 그린 뒤, 이 도형들의 넓이의 합을 구하는 문제가 대부분인데, 문제의 길이와 비주얼에 겁먹지 않고 침착하게 첫째항과 공비를 구하면 된다.[5]원래 나형에서 출제되는 유형이었으나, 수열의 극한과 급수가 가형 범위인 미적분으로 옮겨 가면서 출제 유형이 가형으로 변경되었다.[6][7]그래서인지 첫째 항이나 공비 중 하나가 구하기 어렵도록 치사하게 나오는 경우가 많아졌다.[8] 출제되는 번호 또한 평균적으로 올라갔다.[9]
5. 표현
Exponential scale인간이 감당할 수 없을 정도로 폭발적으로 증가하는 것을 설명할 때 관용적으로 쓰는 표현. 실제 수학적 의미는 잘 몰라도 기하급수적(등비수열)이라는 말이 나오면 뭔가 엄청나게 증가하는 것으로 보이게 된다.[10] 이와 대조되는 말로는 산술급수(등차수열)[11], 등비급수[12]가 있는데, 산술급수는 단조로운 증가세를 설명하는 데 쓰인다. 토머스 맬서스의 인구론에서 기하급수(인구)와 산술급수(식량)가 쓰인다.
보통은 기하급수라고 하면 ab 꼴의 지수형태지만 더 빠르게 증가하는 기하급수라면 지수를 높게 쌓은 것이 있다. 예를 들어 입자 배열 경우의 수 관련 수들은 10n 꼴에서 n의 값을 다시 지수로 표현해야 한다. 그런데 이러한 지수 탑을 조금만 쌓아도 곱셈식으로는 도저히 감당해낼 수 없을 정도로 커진다. 예를 들어 구골만 해도 1099보다 10배 큰 수인데 당장 구골플렉스만 해도 [math(10^{10^{99}})]보다 몇 배 큰지 감이 안 온다.[13]
6. 관련 문서
[1]
국립국어원의
표준국어대사전 중 '등비급수' 해설 참고.
[2]
참고로 등비급수의 수렴조건은 등비수열의 수렴조건에서 [math(r=1)]인 경우를 제외한 조건과 같다.
[3]
2017~2020학년도 수능에선 나형 선택지 한정, 2021학년도 수능에선 가형 선택자 한정
[4]
도형의 무한등비급수
[5]
도형 문제 특성상 그림을 글로 풀어 설명하는 과정에서 그림만 봐도 알 수 있는 서술이 다량 등장한다.
[6]
2021 수능에서는 가형에서 출제되며,
2022 수능부터는 미적분 영역에서 출제된다.
[7]
다만, 등비수열 자체는 수1이기 때문에 같은 유형에 무한급수가 아닌 일반항, 부분합을 구하는 문제는 공통과목에서 출제될수 있다.
[8]
개념 자체가 단순한 편이다 보니 첫째 항과 공비를 구하기 위해 이전에 배운 개념들(사인, 코사인 법칙, 중등기하 등등)을 적극적으로 사용하게 하는 것이다.
[9]
2021 6평 때는 20번으로 출제되었는데, 21번보다도 정답률이 더 낮다.
[10]
쉽게 말하자면 비슷한 주기에 자릿수가 주기적으로 오른다고 생각해보자. 즉 1로 시작해서 1년만에 10이 된다고 해도 2년만에 100, 3년만에 1000이 되는 셈인데 이게 설령 2배씩 오른다고 해도 처음에는 2, 4, 8, 16, 32... 식으로 오르겠지만 조금만 진행해도 상승률이 매우 높아서 진짜 천문학적으로 오른다. 단순히 특정 수를 반복적으로 더하는 식으로는 1에 100씩이나 더한다고 해도 1에 2씩 곱하는 것과 비교했을 때 10번만에 따라잡을 수 있다. 당연히 이후의 성장률은 곱하는 쪽이 압도적으로 빨라진다.
초인플레이션 문서도 참고.
[11]
n+n+n+...
[12]
n+(n*2)+(n*3)+(n*4)+... 또는 n+n2+n3+...
[13]
알다시피 ab 꼴의 지수 형태에서 b를 1 더할 때마다 값은 a배씩 오른다. 즉 구골플렉스를 곱셈 형태로 나타내려면 [math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]×[math(10^{10^{99}})]에 해당한다.(...) 그럼
구골플렉시안을 곱셈형태로 나타내면 얼마냐고? 이 때에는 지수 탑 윗부분을 건드려서는 안된다. [math(9.999...9^{10^{10^{100}}})]×[math(9.999...9^{10^{10^{100}}})]×[math(9.999...9^{10^{10^{100}}})]×...[math(9.999...9^{10^{10^{100}}})] 꼴로 표시해야 한다. 지수 탑 가장 밑부분 소수점 뒤의 9가 몇 개인지, 또 몇 번 곱해야 하는지는 상상에 맡긴다.