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1. 개요
어떤 식이 식 내부의 특정 미지수에 관계없이 특정한 조건을 만족한다는 수학 문제의 유형. 주로 k,a,m 등이 미지수로 쓰인다.문제를 처음 보는 순간에는 고려할 조건이 늘어난다는 생각에 멘붕이 올 수도 있지만, 사실 상당히 유형화된 문제이다.
2. 등식에서
직선 y = k(x-1)+2의 그래프가 k의 값에 관계없이 항상 지나는 점을 구하시오.(단, k ∈ IR)[1]
풀이:
x=1, y=2일 때
2 = k(1-1)+2, 2=2
따라서 이 그래프는 반드시 점 (1,2)를 지난다.
x=1, y=2일 때
2 = k(1-1)+2, 2=2
따라서 이 그래프는 반드시 점 (1,2)를 지난다.
3. 부등식에서
y = ax²-3x+3 > 0이 x의 값에 관계없이 항상 성립할 때, a의 값의 범위를 구하시오.(단, a > 0)
풀이:
a > 0이므로 그래프의 모양은 '아래로 볼록'이다. y = f(x)라 하자.
*판별식 D > 0인 경우
* 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 f(x) = 0은 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근을 A, B(A < B)라 할 때, A <= x <= B에서 조건을 만족하지 못한다.
*D = 0인 경우
*그래프는 x축과 접하므로 f'(x) = 0[2]에서 조건을 만족하지 못한다.
* D < 0인 경우
* 그래프가 x축과 만나지 않고 항상 그보다 위에 있으므로 모든 실수 a에 대해 f(x) > 0이 성립한다.
따라서, D = (-3)² - 4×a×3 = 9 - 12a < 0
12a > 9이므로 a > 3/4, 조건(a > 0): 충족
따라서 a > 3/4
a > 0이므로 그래프의 모양은 '아래로 볼록'이다. y = f(x)라 하자.
*
* 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 f(x) = 0은 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근을 A, B(A < B)라 할 때, A <= x <= B에서 조건을 만족하지 못한다.
*
*그래프는 x축과 접하므로 f'(x) = 0[2]에서 조건을 만족하지 못한다.
* D < 0인 경우
* 그래프가 x축과 만나지 않고 항상 그보다 위에 있으므로 모든 실수 a에 대해 f(x) > 0이 성립한다.
따라서, D = (-3)² - 4×a×3 = 9 - 12a < 0
12a > 9이므로 a > 3/4, 조건(a > 0): 충족
따라서 a > 3/4