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최근 수정 시각 : 2024-09-09 04:57:17

5차원

5D에서 넘어옴
1. 일반적인 뜻
1.1. 5차원 이상 정다포체의 성질
2. DC 코믹스의 5차원3. 이야깃거리

1. 일반적인 뜻

차원
Dimension
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위상 점 선 면 입체 초입체
측도 셈 측도 길이 넓이 부피 초부피
활용
유클리드 공간 · 측도론( 힐베르트 공간 · Lp 공간) · 민코프스키 시공간 · 차원 조절 }}}}}}}}}

파일:K-cell_5D.png
5 次 元 / fifth dimension, 5-D

5차원 공간은 위치를 나타내기 위해 필요한 축이 5개인 공간이다.

물론 5차원뿐만 아니라 그 이상의 차원도 2차원 컴퓨터 모니터나 종이 상에다 묘사할 수도 있다. [1]

초기둥과 초뿔, 토러스 종류의 5차원 버전도 존재하며 클라인 병의 5차원 버전도 있다. 4차원에서 다각형-다각형 끼리 듀오프리즘을 만들었다면 5차원은 다면체-다각형 형태의 듀오프리즘이 가능하다. 한차원 건너 뛰고서 다각형--다각형 간의 듀오프리즘 형태도 만들 수 있다. 6차원에서는 다면체-다면체, 다각형-다포체 형태의 듀오프리즘도 만들 수 있으며 다각형-다각형-다각형 형태의 트리플프리즘도 만들 수 있다.

5차원 유클리드 실공간 상의 4변수함수를 실제로 컴퓨터로 그린 사람은 전세계를 기준으로도 드물고 극소수만이라고 한다.
이 링크에서 desmos 3D를 통한 5차원에서의 다변수함수 예시를 감상할 수 있다.

1.1. 5차원 이상 정다포체의 성질

단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 5차원 이상의 유클리드 공간에서는 존재하지 않는다. (n-1)입방체 벌집 외의 다른 정규 벌집은 6차원 이상의 공간에서 존재하지 않는다. 심지어 3차원이나 4차원처럼 오목한 정다포체조차 5차원 이상에선 존재하지 않는다.

5차원에서 정이십사포체에 대응하는 {3,4,3,3}과 {3,3,4,3}은 유클리드 타일링이 되며 정백이십포체에 대응하는 {5,3,3,3}과 정육백포체에 대응하는 {3,3,3,5}는 쌍곡이 된다. 심지어 꼭지점이 정백이십포체인 {3,5,3,3}이나 초입체가 정육백포체인 {3,3,5,3} 역시 꼭짓점이나 초입체가 쌍곡이다. 특히 7차원[2] 이상에서는 오각형 계열 중에서 입방체{5,3,...,3}를 계승한 경우 한정으로 이포각이 다시 측정되지만, 면이나 꼭짓점 도형이 논콤팩트여서 그렇다 오각입방체는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.2360681 차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다.[3] 마찬가지로 육각형 계열도 3차원에서 유클리드 벌집이 되어서 4차원에서는 이포각이 무한으로 발산하고, 육각입방체 한정으로 5차원에서 이포각이 0도가 되며, 다시 이포각을 측정할 수 있게 된다. 반면에 육각정축체는 3차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다. 그리고 6차원 단체는 5차원 단체 7개로, 6차원 입방체는 5차원 입방체 12개로, 6차원 정축체는 5차원 단체 64개로 만들어진다.

따라서 각 차원에 해당하는 볼록 정다포체가 3종류밖에 없다.[4]

4차원 이하의 반초입방체는 정다포체이지만, 5차원 이상의 반초입방체는 정다포체가 아니다.[5]

5차원부터는 반초입방체라는 새로운 개념의 도형이 생긴다. 무한차원까지 존재하며 n-demihypercube로 불린다.

참고로 5차원 단체와 정축체, 입방체의 면적은 다음과 같다.

{3,3,3,3}(5-단체)
꼭지점(vertex, 0차원) 6개
모서리(edge, 1차원) 15개
면(face, 2차원) 정삼각형 20개
포(cell, 3차원) 정사면체 15개
초입체(4차원) 정오포체 6개
쌍대 자기자신

높이 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{5}a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(15a)]
총 면적(total surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{16}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{480}a^5)]≈0.0036a5
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{6}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{12}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{30}a)]

{4,3,3,3}(5-입방체)
꼭지점(vertex, 0차원) 32개
모서리(edge, 1차원) 80개
면(face, 2차원) 정사각형 80개
포(cell, 3차원) 정육면체 40개
초입체(4차원) 정팔포체 10개
쌍대 5-정축체

총 모서리 길이(total edge length) = [math(80a)]
총 면적(total surface area) = [math(80a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(40a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(10a^4)]
초초부피 = [math(a^5)]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]

{3,3,3,4}(5-정축체)
꼭지점(vertex, 0차원) 10개
모서리(edge, 1차원) 40개
면(face, 2차원) 정삼각형 80개
포(cell, 3차원) 정사면체 80개
초입체(4차원) 정오포체 32개
쌍대 5-입방체

총 모서리 길이(total edge length) = [math(40a)]
총 면적(total surface area) = [math(20\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{20\sqrt{2}}{3}a^3)]
초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{3}a^4)]
초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{30}a^5)]≈0.0471a5[6]
외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)]
내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{10}a)]

{3,4,3,3}, {3,3,4,3}, {4,3,3,4} 이렇게 3개는 초초부피가 무한대로 발산하게 된다. 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 비율은 다음과 같다.
{3,4,3,3} 1:12:32:24:3
{3,3,4,3} 3:24:32:12:1
{4,3,3,4} 1:4:6:4:1

====# 쌍곡 #====
{5,3,3,3}과 {3,3,3,5}은 5차원 이상에서 쌍곡이 되기에 6차원 이상에서도 당연히 논콤팩트가 되어 사라지며 쌍곡이지만 작성해보도록 한다. 5차원에서는 오각입방체, 오각정축체 모두 반지름이 마이너스 허수가 나온다. 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2이라는 오일러 공식을 이용하면 3차원과 5차원 쌍곡은 몇포체인지 추정값을 알 수 있다 한다.[7] 이 공식을 이용할 시 {5,3,3,3}은 2포체, {3,3,3,5}는 240포체라는 결과값이 나온다. 스패리샐 정다포체가 아니기 때문에 각주로 적었다. {3,5,3,3}, {3,3,5,3}은 면 또는 꼭짓점이 쌍곡이지만, 이것은 {3,5,3}을 먼저 알아야 작성할 수 있다. 또한 {5,3,3,4}, {4,3,3,5}, {5,3,3,5} 도 그러한 공식을 써서 이론상 구해볼 수는 있겠지만 {4,3,4,3}, {3,4,3,4}와 같이 n-1차원 도형이 유클리드 벌집 또는 쌍곡인 경우 각각 파라콤팩트, 논콤팩트라고 부르는데, 이런 경우 끝까지 그릴 수 없게 된다. 5차원에선 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2가 되는 값을 찾으면 가능하다.

{5,3,3,3}(오각입방체 벌집)
초입체: 정백이십포체 2개, 입체: 정십이면체 120개, 면: 정오각형 480개, 모서리: 600개, 꼭지점: 240개, 총 모서리 길이:[math(600a)], 총 면적:[math(120\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)], 총 부피:[math(30(15+7{\sqrt{5}})a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{15}{2}(105+47{\sqrt{5}})a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{3\sqrt{-1677610-750250\sqrt{5}}}{4}a^5)]≈-1373.79447ia5[8], 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-10-5\sqrt{5}}}{2}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-11-5\sqrt{5}}}{2}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-300-135\sqrt{5}}}{10}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-58-26\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-17\sqrt{5}}}{2}a)]

{3,3,3,5}(오각정축체 벌집)
초입체: 정오포체 240개, 입체: 정사면체 600개, 면: 정삼각형 480개, 모서리: 120개, 꼭지점: 2개, 총 모서리 길이:[math(120a)], 총 면적:[math(120\sqrt{3}a^2)], 총 부피:[math(50\sqrt{2}a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{5\sqrt{5}}{2}a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-10\sqrt{5}}}{8}a^5)]≈-0.97115ia5, 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-30-18\sqrt{5}}}{12}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-4-2\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-190-50\sqrt{5}}}{20}a)]

5차원에서는 4가지의 오목 정다포체 hyperbolic 벌집이 존재하는데, {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5}가 있다. 그리고 5차원에서의 다른 것들 한 모서리에서의 이면각의 합 360°보다 크지만 density 값이 결정되지 않아서 쌍곡이 되지 못한 예시도 무수히 많다.

그리고 오목한 유클리드 정규 벌집은 실제로는 만들 수 없지만, 내각의 합이 360°가 되는 경우를 생각해보고, 그 조건을 만족시키는 오목한 계열을 찾아보면 5차원에서는 {5,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5}, {5/2,3,5,5/2}, {5/2,5,3,5/2}, {5,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5}, {3,5/2,5,3}, {3,5,5/2,3}, {5,5/2,5,5/2}, {5/2,5,5/2,5}도 이포각의 합이 360°가 되어서 유클리드 정규 벌집이, {5/2,3,5,3}, {3,5,3,5/2}, {5/2,5,3,5}, {5,3,5,5/2} 이렇게 4가지는 쌍곡을 가지는 오목 쌍곡 벌집(논콤팩트)이 된다.
5차원 오목 쌍곡의 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 수는 다음과 같다.
density 고려하지 않은 값
오목 쌍곡 초입체 입체 면 모서리 꼭지점
{5/2,5,3,3} 8/5 72 192 120 2/5
{3,3,5,5/2} 2/5 120 192 72 8/5
{3,5,5/2,5} 6/5 36 48 12 4/5
{5,5/2,5,3} 4/5 12 48 36 6/5

density 고려한 값
오목 쌍곡 초입체 입체 면 모서리 꼭지점 초입체-입체+면-모서리+꼭지점 몇배의 쌍곡 공간을 덮는 수(density)
{5/2,5,3,3} 2 120 480 600 2 -236 5
{3,3,5,5/2} 2 600 480 120 2 -236 5
{3,5,5/2,5} 2 120 480 120 2 244 10
{5,5/2,5,3} 2 120 480 120 2 244 10

여담으로 이들 쌍곡 오각형 계열 중 {5,3,3,3}, {5/2,5,3,3}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5} 이렇게 4개는 이포각이 완전히 같다.

2. DC 코믹스의 5차원

3. 이야깃거리

영화 인터스텔라에도 블랙홀 내부 장면에서 5차원이 나오는 것으로 되어 있다. 하지만 이것은 4차원의 공간+1차원의 시간을 나타낸 설정상의 용어였기 때문에 이 항목에서 다루는 5차원과는 많이 다르다. 그러니 그 영화와 이 항목의 주제로 엄연히 따진다면 4차원이다.[9][10] 5차원부터는 시공간까지 합쳐도 현실에서 묘사가 불가능하다. 4차원의 공간+1차원의 시간도 공간이 4차원이기 때문에 묘사가 불가능하며 3차원의 공간+2차원의 시간도 현실에선 시간이 1차원이어서 묘사가 불가능하다. 6차원부터는 시간여행이 가능할 것으로 보인다.

[1] 물론 차원이 높아지면 높아질수록 컴퓨터가 고차원을 표현하기 위해 써야 하는 시간,전기에너지는 증가한다. [2] 이는 정수 차원일 때 기준이며, 실수로 확장시키면 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]으로, 대략 6.2360681차원 이다. [3] 가운데가 5각형이 들어간 경우는 6차원에서도 이포각 측정이 가능한 것도 있다. {3,5,3,3,3}과 {3,5,3,5/2,5}, {3,5,3,3,5/2}은 6차원 도형이지만 이포각이 측정 가능하지만 {3,3,5,3,3}, {3,3,5,3,5/2}, {5/2,3,3,5,5/2}, {3,3,5/2,5,3}, {3,3,3,5,3} 따위는 6차원에서 측정이 불가능하다. 적어도 n-2차원 이하에서 쌍곡이 시작해야 가능하다. [4] 5차원 이상의 공간에서 존재하는 정다포체는 각각 n차원 정(n+1)포체(=단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2n포체(=정축체)이다. [5] 2차원: 선분, 3차원: 정사면체, 4차원: 정십육포체 [6] 정팔면체의 초부피의 정확히 1/10배와 같다. [7] 3차원에는 면-모서리+꼭지점=2라는 공식으로 알 수 있는데 음수가 나온다. 예를 들어 {7,3}이 -12면체이거나 {3,7}이 -28면체인 등. 반면 4차원, 6차원 등 짝수차원은 이런 식으로 추정하기가 불가능하며 다른 방법을 알아봐야 한다. 홀수차원이 초등적인 증명으로도 쉽게 풀렸던 것이며 가우스-보네 정리조차도 3차원 스패리샐, 유클리디안, 쌍곡 타일링에 관련된 정리라 짝수차원은 일반적인 방법으로는 구할 수 없다. [8] 값이 크게 나오는 이유가 (정백이십포체의 체적×내접구의 반지름×등각높이(1/5)×포체의 수(2))를 하는데 정백이십포체의 체적과 내접구의 반지름이 값이 크지만 약분이 조금밖에 안되어서 그렇다. [9] 3차원 공간에 1차원의 시간이라 하여 우리가 사는 이 세상은 4차원이라 하는 것과 같은 것. [10] 이게 다 차원이 기하학적인 의미와 물리학적인 의미를 가지고 있기 때문에 벌어지는 혼동이다. 제대로 정의가 될 때까진 어느 쪽이 맞다 할 수가 없다. 다만 현재는 시간과 공간을 분리하여 설명하는 쪽이 주류이다.

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