1. 개요
[math(L_2 \left[-\pi, \pi \right])] 공간의 원소인 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]의 n번째 푸리에 계수를 [math( c_n )]이라 하자. 즉,
[math(\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx )]
이다([math(n\in \mathbb{Z} )]). 그러면 다음의 등식이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left|f(x)\right|^2 dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|c_n\right|^2 )]
2. 응용
파세발 등식을 이용해 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2})]의 합을 구할 수 있다. [math(f(x)=x)]라 하면
[math(\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx} dx = \begin{cases} 0, & n=0 \\ \displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{in}, & n\neq 0 \end{cases} )]
이므로, 파세발 등식을 적용하면
[math(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx =2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} )]
이다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} )]이다.