1. 개요
이 문서에서는 고차원 단순 조화 진동자를 분석해볼 것이다.분석의 용이성과 난의도를 고려, 2차원 단순 조화 진동자의 분석하는 것을 중점으로 둔다.
2. 선수 지식
우선 1차원 단순 조화 진동자의 운동 양상에 대해 알아야 하므로 이 문서의 상위 문서를 열람하고 오는 것을 권장한다.3. 상세
그림과 같이 정사각형[1] 트랙에 따라 용수철이 움직일 수 있게 만들고[2], [math(x)]축 방향으로는 [math(k_{x})]의 용수철 상수의 용수철 2개를, [math(y)]축 방향으로는 [math(k_{y})]의 용수철 상수의 용수철 2개를 각각 물체에 연결한다.이때, 분석을 등방적인 경우와 아닌 경우로 나눈다.
3.1. 등방적인 경우
[math(k_{x}=k_{y}\equiv k)]인 경우이다.각 축에 대한 운동 방정식은 아래와 같다.
[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix}\ddot{x}+\omega^{2}x=0 \\ \ddot{y}+\omega^{2}y=0 \end{matrix} \qquad\right. \biggl(\omega^{2}=\frac{2k}{m} \biggr) \end{aligned})]
이 방정식은 1차원 단순 조화 진동자의 운동 방정식으로 그 해를
[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=L\cos{(\omega t+\varphi_{x})} \\ y=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{matrix} \qquad\right. \end{aligned})]
로 쓸 수 있다. [math(2L)]은 트랙의 너비(높이)이고, [math(\varphi_{i})]는 각 축의 위상차와 관련 있다.
이제 다음을 고려하자. 여기서 일단 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} \neq n\pi/2 )]임을 가정한다.
[math(\begin{aligned} (x+y)^{2}&=L^{2}[\cos{(\omega t+\varphi_{x})}+\cos{(\omega t+\varphi_{y})}]^{2} \\&=4L^{2}\cos^{2}{\biggl[\omega t+\frac{\varphi_{x}+\varphi_{y}}{2}\biggr]}\cos^{2}{\biggl[\frac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]} \\ (x-y)^{2}&=L^{2}[\cos{(\omega t+\varphi_{x})}-\cos{(\omega t+\varphi_{y})}]^{2} \\&=4L^{2}\sin^{2}{\biggl[\omega t+\frac{\varphi_{x}+\varphi_{y}}{2}\biggr]}\sin^{2}{\biggl[\frac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]} \\ \\ \therefore (2L)^{2} &=\frac{(x+y)^{2}}{\cos^{2}{\biggl[\dfrac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]}}+\frac{(x-y)^{2}}{\sin^{2}{\biggl[\dfrac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]}} \\ & \equiv A^2(x+y)^{2}+B^2(x-y)^{2} \\&=(A^2+B^2)x^2+2(A^2-B^2)xy+(A^{2}+B^2)y^{2} \end{aligned})]
이상에서 점 [math((x,\,y))]가 그리는 도형은
[math(\begin{aligned} (A^2+B^2)x^2+2(A^{2}-B^{2})xy+(A^{2}+B^2)y^{2}-4L^{2}=0 \end{aligned})]
이는 원뿔곡선의 방정식으로 해당 문서에 나와있는 판별식을 사용하면,
[math(\begin{aligned} \mathfrak{D} &=2^2(A^{2}-B^{2})^{2}-4(A^2+B^2)^{2} \\&=-16A^2B^2 \\ &<0 \end{aligned})]
으로 이 도형은 타원을 나타내고, 원뿔 곡선의 회전각 [math(\psi)]는
[math(\begin{aligned} \cot{(2\psi)}=\frac{(A^2+B^2)-(A^2+B^2)}{2(A^{2}-B^{2})}=0 \end{aligned})]
이므로 [math(\psi=\pm 45\degree)]가 된다.
이번에는 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} = n\pi/2 )](단, [math(n)]은 홀수)인 경우를 살펴보자.
[math(\begin{aligned} x&=L\cos{\biggl(\frac{n\pi}{2}+\omega t+\varphi_{y}\biggr)}\\&=(-1)^{n}L\sin{(\omega t+\varphi_{y})} \\ y&=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} x^2+y^2=L^2 \end{aligned})]
로 반지름 [math(L)]인 원을 그린다.
마지막으로 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} = n\pi )]인 경우를 살펴보자.
[math(\begin{aligned} x&=L\cos{(n\pi+\omega t+\varphi_{y})}\\&=(-1)^{n}L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \\ y&=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} y=\pm x \end{aligned})]
로 직선을 그린다.
다음은 몇몇 [math(\varphi_{x}-\varphi_{y}\equiv \delta)] 값에 대한 도형들이다.
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3.2. 등방적이지 않은 경우
[math(k_{x}\neq k_{y})]인 경우로,[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=L\cos{(\omega_{x} t+\varphi_{x})} \\ y=L\cos{(\omega_{y} t+\varphi_{y})} \end{matrix} \qquad\right. \biggl(\omega_{x}^{2}=\frac{2k_{x}}{m},\,\omega_{y}^{2}=\frac{2k_{y}}{m} \biggr) \end{aligned})]
의 해를 가진다.
이 [math((x,\,y))]가 그리는 곡선은 리사주 도형으로, 그 특징은 다음과 같다.
- [math(\omega_{x})], [math(\omega_{y})]의 비가 유리수이면, 그 곡선은 닫히며, 그 외엔 닫히지 않는다.
- 각진동수 및 위상차 비 모두 곡선의 모양에 영향을 끼친다.
아래는 몇몇 각진동수 비와 위상차 [math(\delta=\varphi_{\blue y}-\varphi_{\red x})][주의]에 대하여 리사주 도형을 나타낸 것이다.
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오실로스코프를 이용하여 서로 다른 주파수의 정현파 신호를 각각 다른 채널에 연결 후 [math(xy)]평면에 한번에 나타내는 기능을 사용함으로써 이를 관찰할 수도 있다.
[1]
직사각형이어도 관계 없다.
[2]
이것을 안하면 비선형 진동으로 이어지기 때문이다. 사실 미소 진동을 고려한다면 해당 경우에도 이 문서의 결과를 쓸 수 있다.
[주의]
위의 등방적인 경우에서는 [math(\delta=\varphi_{\red x}-\varphi_{\blue y})]였음에 유의.