1. 예제 1
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[문제] 그림과 같이 진공 공간의 [math(x)]축 위 [math(0 \leq x \leq L)] 영역 위에 선전하밀도 [math(\lambda = \alpha (L-x) )]로 대전된 막대가 놓여 있다. 점 [math( \mathrm{P}(2L,\,0) )]에서 전기장을 구하시오.(단, [math(\alpha)]는 상수이다.) |
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막대의 미소 전하 [math(dq=\lambda \, dx')]의 위치를 [math( \mathbf{r'}=x' \hat{\mathbf{x}} )][1]로 잡을 수 있고, 전기장을 구하는 영역의 위치 벡터는 [math(\mathbf{r}=2L\hat{\mathbf{x}})]인 것을 이용하면, 점 [math(\mathrm{P})]의 미소 전기장은
[math(\displaystyle d \mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\alpha(L-x)}{| (2L-x')\hat{\mathbf{x}} |^{3} }[(2L-x')\hat{\mathbf{x}}]\,dx' )]
이므로 [math(0 \leq x' \leq L)] 영역을 적분하여 구하는 영역의 전기장을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\frac{\alpha}{4 \pi \varepsilon_{0}} \hat{\mathbf{x}} \int_{0}^{L}\frac{L-x'}{ (2L-x')^{2} }\,dx' \\ &=\frac{\alpha}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \ln{2}-\frac{1}{2} \right] \hat{\mathbf{x}} \end{aligned} )]
2. 예제 2
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[문제] 그림과 같이 진공 공간의 [math(xy)]평면 위에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [math(R)]인 균일한 표면 전하 밀도 [math(\sigma)]로 대전된 원판이 있다. [math(z)]축 위의 한 점 [math(\mathrm{P})]에서의 전기장을 구하시오. |
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이 문제를 풀 때 가장 유용한 원통 좌표계를 사용한다.
원판 위의 미소 전하가 있는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r'}=\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}})]로 놓고, 미소 전하 [math( \sigma \, da'=\sigma \rho' \, d \rho' d \phi' )]로 놓을 수 있다. 또한 전기장을 구하는 영역에 대한 위치 벡터 [math(\mathbf{r}=z \hat{\mathbf{z}})]임을 아므로, 구하는 영역의 미소 전기장은
[math(\displaystyle d\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \sigma \rho' \, d \rho' d \phi' }{| z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}} |^{3}} (z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}}) )]
이 적분을 [math( 0 \leq \rho' \leq R )], [math( 0 \leq \phi' \leq 2\pi )]에 대해서 수행하면 된다. 그러나, [math(\hat{\boldsymbol{\rho}})]는 적분의 기저 벡터로 부적합하므로 이것을 다시 직교 좌표로 바꿔 적분을 해야 한다. 즉,
[math(\displaystyle d\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \sigma \rho' \, d \rho' d \phi' }{| z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}} |^{3}} [z \hat{\mathbf{z}}-\rho' (\cos{\phi} \hat{\mathbf{x}}+\sin{\phi} \hat{\mathbf{y}} ) ] )]
를 적분해줘야 하는 것이다. 그런데, [math(\phi)]대칭성에 따라 [math(x)], [math(y)] 성분은 적분 후 상쇄될 것이므로 최종적으로
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\sigma z}{4 \pi \varepsilon_{0}} \hat{\mathbf{z}} \int_{0}^{R} \frac{ \rho' }{ (z^{2}+\rho'^{2})^{3/2} } \, d \rho' \int_{0}^{2\pi} d \phi' )]
만 계산해주면 되는 것이다. 따라서 이를 적분하여 다음의 구하는 전기장을 얻는다.
[math(\displaystyle \mathbf{E}= \frac{\sigma }{2 \varepsilon_{0}} \left[ \frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2} }} \right] \hat{\mathbf{z}} )]
[math(R \to \infty)]를 고려한다면, 이것은 곧 표면 전하 밀도 [math(\sigma)]로 대전된 무한한 판의 전기장을 구하는 문제와 같으므로 [math(R \to \infty)]일 때,
[math(\displaystyle \displaystyle \mathbf{E} \to \frac{\sigma }{2 \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{z}}{|z|} )]
를 얻는데, 이것은 가우스 법칙 등으로 구한 것과 일치한다. 이 예제와 결과를 비교해보라.
[1]
프라임은 전하의 좌표계란 점을 강조하기 위해 붙였다.