Hadamard Conjecture
1. 정의
아다마르 행렬의 존재성에 대한 가장 중요한 문제. 아다마르 행렬은 프랑스의 수학자 자크 아다마르의 이름에서 유래했으며 +1과 -1의 성분으로만 구성된, 각 행벡터가 서로 직교하는 정사각행렬이다. 아다마르 추측은 모든 양의 정수 k에 대하여 4k차 아다마르 행렬이 존재한다는 추측이다. 이 추측은 수학자 페일리가 그 이전에 암암리에 연구한 바가 있기에 그의 공적으로 보기도 한다.2. 연구 역사
수학자 실베스터는 다음과 같은 일반화 성과를 이루어냈다.[math( H_{n}, H_{m} )]이 각각 n차, m차 아다마르 행렬일때, [math( H_{n}\otimes H_{m} )][1]는 nm차 아다마르 행렬이다.
이러한 결과는 작은 차수의 행렬을 통해 더 큰 차수의 아다마르 행렬을 만드는 데에 기여하였다. 실베스터는 1867년 이러한 일반화를 통해 1차, 2차, 4차, 8차, 16차, 32차, ⋯ 의 아다마르 행렬의 구조를 밝혀냈다. 더 나중인 1893년 아다마르는 12차와 20차의 아다마르 행렬 구조를 완성했다. 그리고 1933년 수학자 레이몬드 페일리는 다음과 같은 페일리 구조를 발견해냈다. 그의 방법은
유한체를 사용한다.* 4로 나눈 나머지가 3인 소수 p에 대하여 p+1차 아다마르 행렬을 구할 수 있다.
* 4로 나눈 나머지가 1인 소수 q에 대하여 2(q+1)차 아다마르 행렬을 구할 수 있다.
실베스터와 페일리의 방법으로도 구할 수 없는 아다마르 행렬 중 가장 차수가 작은 것은 92차 아다마르 행렬이었는데 이 행렬은 1962년 미국 제트 추진 연구소의 바우머트, 골룸 그리고 홀이 컴퓨터 연산을 한 결과 그 구조가 밝혀졌다. 그들의 계산은 수학자 윌리엄슨의 방법을 사용하였는데 이 방법은 다른 여러 차원의 아다마르 행렬도 추가로 발견할 수 있도록 해주었다. 현재에도 아다마르 행렬을 구하는 다양한 방법들이 발견되고 있다. 예를 들면 2005년 하디 캐러카니와 베루크 테이프-라쥐의 방법으로 428차 아다마르 행렬이 발견되었다.* 4로 나눈 나머지가 1인 소수 q에 대하여 2(q+1)차 아다마르 행렬을 구할 수 있다.
2008년 기준으로 구하여지지 않은 아다마르 행렬 중 차수가 작은 순으로 보면 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964차 아다마르 행렬 등이 있다.
[1]
행렬의 크로네커 곱(텐서곱) 참고.