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최근 수정 시각 : 2023-09-14 19:04:54

소원과 기약원의 차이

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소수를 정의 할 때 1과 자기 자신만을 약수로 갖는다는 irreducible의 방식으로 정의하는 경우가 많다. 그러나, 소수의 이름에서 알 수 있듯, 소수는 정수환에서의 prime element를 의미한다. 일반적으로, 정역에서 prime이면 irreducible이지만, 그 역은 성립하지 않는다(정수환과 같은 유일 인수분해 환에서는 성립한다) 정역에서는 다음과 같이 소원, 기약원을 정의한다.

정리하면 다음과 같다.
1. 정역에서 소원은 기약원이다.
2. 유일인수분해정역(UFD)에서 소원과 기약원은 동치이다.

소원의 정의는 다음과 같다.

[math(p|ab\Leftrightarrow p|a \;\mathrm{or}\; p|b)]

반면, 기약원의 정의는 다음과 같다.

[math(i=ab)]이면 [math(a,\;b)]중 하나는 가역원이다.


UFD에서 irreducible이면 prime인 이유는 Euclid's Lemma 때문이다. 반례로는, UFD가 아닌 정역 Z의 [math(\sqrt{-5})] 확장에서 3이 있다. [math(2\cdot3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}))] 이지만 [math(3\nmid(1-\sqrt{-5}))], [math(3\nmid(1+\sqrt{-5}))]이다. (노름 비교) 따라서 3은 기약원이지만 소원이 아니다.

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