변조이론

1. 개요2. 일반적 변조3. 변조의 종류4. 수학이론(교류)5. 아날로그 변조

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1. 개요

통신에서 쓰이는 변조 이론에 대한 문서이다.

더 잘 보내기 위해서, 전송하고자 하는 데이터를 전송 매체에 맞게 변화시켜야 한다.
데이터의 형태를 (아날로그 데이터나 디지털 데이터에 관계없이) 아날로그 신호로 변환시키는 것을 변조(Modulation)이라고 하고, 디지털 신호로 변환시키는 것을 부호화(Encoding)라고 한다.

신호파/정보/signal	→	Ⓧ	→	변조된 파
		↑
곱셈기 이용 변조법		반송파/carrier

2. 일반적 변조

변조란 신호를 주어진 통신 채널에 적합하도록 조작하는 과정을 의미한다.

변조는 통신에서 가장 많이 등장하는 용어로, 선로의 형태에 맞게 바꾸는 행위이다. 정보신호[1]를 먼 곳에 전송하기 위해 낮은 정보신호의 주파수 대역을 높은 주파수 대역으로 옮기는 조작이며, 신호파[저주파]를 실어 나르는 반송파[고주파]에 신호[저주파]를 중첩시키는 것이다.

일반적으로 기저대역[5]보다 충분히 큰 주파수 대역으로 스펙트럼을 이동시켜서 전송한다. 원신호를 그대로 변조시키는 것을 Baseband Modulation(4번), 변조할 때 주파수를 고주파로 이동시키는 것을 Bandpass Modulation(1번, 2번)이라고 한다.

왜냐하면 일반적으로 사람이 쓰는 음성은 300~3,400Hz 정도이다. 소프라노 전문가같은 경우는 15,000Hz정도 되는 고주파수까지 낼 수 있다고 알려져있다. 음악에서 쓰는 음성 주파수가 이렇다만, 전화로 쓰는 일반적인 음성 주파수는 300~3,400Hz이다. 그런데 이를 그대로 보낸다면? 신호를 멀리까지 보내야 하면 주파수가 작을 때 전력을 크게 해서 멀리까지 보낼 수가 없다, 주파수가 커지면 파장[6]이 작은데, 안테나 길이가 파장과 관련이 있다. 즉 일반적인 음성 주파수를 보내려면 파장이 500km가량 되고, 안테나가 250km가량 되어야 한다. 당연히 불가능하다! 때문에 주파수가 높은 고주파로 변조시키는 것이다.

변조를 하는 이유는 무엇일까? ~~당연히 잘 보내려고 변조하겠지~~ 잘 보내려고 변조를 하는데, 이것을 전문용어로 정합[Matching]이라고 한다. 매칭이 되면 어떻게 될까? 사람이 벽에 박으면 뚫고 지나가는게 아니라 부딪힌다. 그런데 벽과 사람이 매칭이 된다면? 뚫고 지나갈 수 있다. 벽의 특성과 사람의 특성이 같아진다면(매칭된다면) 벽이 사람을 받아들일 수 있게 된다. 통신적으로 설명하면, 매칭이 되면 최대로 받아들이고 반사가 안된다는 뜻이다. 즉 변조를 왜 하냐 하면 신호를 선로의 특성에 맞게 매칭시켜주려고 변조한다라고 할 수 있다.

T(x)[송신측]에서 R(x)[수신측]로 신호를 보내는데, 그 과정에서 선로[10]를 통해서 신호를 보낸다. 이때 이 선로에는 아날로그형태와 디지털형태가 존재한다.

일반적인 자유공간에서는 아날로그형태로 신호를 보내는 것이 적합하다. 반면 광케이블이라면 디지털형태로 신호를 보내는 것이 더 적합하다. 선로에 적합한 방식으로 신호를 보내야 하는데, 이를 위해서 변조를 하게 된다.

송신측에서 보내는 신호를 신호파라고 한다. 이 신호파는 아날로그일수도[11] 있고, 디지털일수도[12] 있다. 그리고 이때 선로에서 날라가는 신호의 형태는 반송파라고 한다. 이 반송파가 아날로그에 적합할 수도 있고, 디지털에 적합할 수도 있다.

쉬운 예시를 들어볼 수 있다. 나는 서울에 있는데, 강릉까지 가야 한다. 이때 내가 걸어서 서울에서 강릉까지 가는 것은 적합한 선택이 아니다. 매우 많은 시간이 소요되기 때문이다. 그런데 이때 서울에서 강릉을 가는 고속버스도 있고, 서울에서 강릉을 가는 열차도 있다. 이때 고속도로에 최적화된 건 고속버스이고, 철길에 최적화된 건 KTX이다. 그런데 내가 내 신호를 이 기찻길을 이용해서 가려면 열차표가 필요하고, 고속도로를 이용해서 가려면 버스표가 필요하다. 그런데 만일 버스표를 끊어서 서울역에 가서 KTX를 탄다고 하고 버스표를 주면 어떻게 될까? 아마 당연히 요금 11배 폭탄을 맞고 강제 하차될 것이다. 당연히 버스표는 열차를 탈 수 있는 조건이 아니기 때문이다. 이 선로의 특성에 맞게 나를 변화시키기 위해서는 기차표를 사야 한다. 기차표를 사서(변조해서) 열차에 타면, 이동하는 것은 기차가 간다. 이때 이 기차가 반송파(carrier)이다. 이 과정에서 열차에 탄 나는 변조된 신호파(data)이다. 열차에 내릴 때 표를 버리고 나만 열차에서 내리는데, 이 과정은 복조라고 한다.

이때 문제가 발생한다. 신호파가 아날로그인데 선로가 디지털일수도 있다. 이러한 방식이 총 4가지가 나오게 된다.

1번	아날로그 → 아날로그	Analog 변조
2번	아날로그 → 디지털	Digital 변조
3번	디지털 → 아날로그	Pulse 변조
4번	디지털 → 디지털	Digital 변환[Translation][14]

위에서 설명한 1~4번 과정을 좀 더 풀어서 표현하면 다음과 같다.

1번	아날로그 신호	→	변조기[15]	→	아날로그 선로	→	복조기[16]	→	아날로그 신호	AM/FM/PM 방식 1975년~
2번	디지털 신호[17]	→	변복조기[모뎀]	→	아날로그 선로	→	변복조기[모뎀]	→	디지털 신호	ASK/FSK/PSK/QAM 방식
3번	아날로그 신호	→	변복조기[코덱]	→	디지털 선로	→	변복조기[코덱]	→	아날로그 신호	PCM/PAM/PWM/PPM/PMM/ΔM[22]
4번	디지털 신호	→	DSU[디지털서비스유닛]	→	디지털 선로[24]	→	DSU[디지털서비스유닛]	→	디지털 신호	디지털 변환

최근 휴대폰 통신에서 많이 사용하는 방식은 PCM 방식인데, PCM은 우리의 아날로그 음성을 휴대폰으로 받아서 이를 디지털로 만들어서 2번 방식으로 기지국으로 보내 작동시킨다. 즉 3번과 2번 방식을 섞은 게 요즘 휴대폰 통신이라는 것. 간단하게 표로 보면 아래와 같다.

PCM 방식

아날로그 신호

→

변복조기

→

2번 방식

→

변복조기

→

아날로그 신호

이중 무선에 적합한 방식은 2번 방식이다. 디지털 데이터인데 무선이라면 2번 방식, 디지털 데이터인데 유선이라면 4번 방식을 쓴다. 3번 방식은 위 설명대로 보통 2번 방식 앞뒤에 붙어서 작용하는 경우가 많다.

주파수가 작으면 파장이 크니 안테나가 길고, 주파수가 크면 파장이 작으니 안테나가 짧다. 따라서 고주파일수록 안테나 길이가 짧아지니, 송수신안테나의 길이를 줄일 수 있는 장점이 있다. 또한 잡음을 적게 받으며, 다중화/다중 접속이 가능하다는 장점이 있다. ~~사실 간단히 요약하자면 그냥 잘 보내려고 하는 것이다.~~

간단한 원형 트랙을 하나 만든다고 생각해 보자. 여기에 육상선수 한명이 트랙을 항상 일정한 속도로 달리고 있다. 이때 관찰자가 이 선수가 시간에 따라 어디에 가 있는지 관찰한다. 그리고 시간에 따라 어디에 가 있는지 그래프를 그리려고 한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/Sin_drawing_process.gif

주파수 : f [Hz][26]
주기 : T [sec]
각속도 : ω = 2πf [rad/sec]
파장 : λ [m]

이때 선수가 한 바퀴 돌 때 걸리는 시간은 위 그림에서의 2π까지이다.(이는 각도가 x축인 경우로, 이번 경우에서는 x축을 시간으로 잡는다. 단위는 초이다. 즉, x축은 t이며 0.1초와 같은 수를 쓰는 것이다) 이를 T라고 한다. T와 f를 곱할 때의 값은 1이 되어야 한다. 이를 이용해서 주기를 알면 주파수를 구할 수 있다.

예를 들어, 주기(T)가 0.1초라면? 주파수(f)는 10Hz이다. T가 0.2초라면 f는 5Hz이고, T가 0.05초라면 f는 20Hz이다. 이를 총합하면 아래의 공식이 나온다.

f x T = 1

그러면 파가 위와 같이 진행할 때, 위 표처럼 x축이 시간이 아니라 각도가 된다면 어떻까? 90도, 180도(π), 270도, 360도(2π)가 하나가 되며, 한번 진동할 때 각도를 보니 360도(2π)를 움직이게 된다. 그런데 아까 같은 표가 한번 진동할 때 0.1초였다. 그러면 1초에는 몇번 진동할까? 10번 진동할 것이다. 그러니 360도 x 10번 = 3600도이고, 즉 1초에 움직이는 각도는 3600도이다.

속도의 정의가 뭘까? 속도 v는 거리 d를 시간 t로 나누면 속도가 된다. 즉 단위 시간에 움직인 거리를 속도라고 한다. 그러면 1초에 움직이는 각도는 뭘까? 바로 이것이 각속도이다. 따라서 각속도가 위 경우에는 3600도(20π)가 된다. 이 각속도를 ω라고 한다. 즉 각속도 ω가 20π인 것이다. 그런데 20π = 2π x 10이고, 2π x f이다. 즉 주파수가 10Hz인 것이다. 한바퀴를 돌 때 2π를 가는 아이가 f만큼 돌 것이고, 이는 각속도가 된다. 이를 정리하면 아래와 같은 공식이 된다.

ω = 2πf

그렇다면 파가 한번 진동하면서 나아가는 거리는 얼마일까? 이 거리를 파장이라고 부르고, λ(람다) 미터 라고 한다.

만일 파장이 한번 진동할 때 50m를 갔는데, 한번 진동할 때 0.1초가 걸린다고 해보자. 이 파는 1초에 얼마를 가는가? 50[m] x 10[Hz] = 500[m/s]이다. 500m가 1초에 움직인 거리인데, Hz는 [math(\dfrac 1s)]이다. 따라서 m/s 가 된다. 그리고 단위시간에 간 거리를 속도라고 부르므로, 이것이 속도 V가 된다. 한번에 50m를 가는데, 10번 움직이므로 이것은 1초에 500m 가는 파다.

v = λ x f

파의 속도를 구하는 공식

목소리를 낸다고 하면 이 목소리는 1초에 몇미터를 갈까? 소리의 속도는 340m/s이다. 천둥이 치면 빛이 먼저 오고 소리가 오는데, 소리가 10초 후에 들렸다면 거리가 3400m 밖인 것일 것이다. 물 속의 소리인 초음파의 속도는 1400m/s 이다. 반면 빛의 속도는 3×10⁸ m/s이다. 그리고 이 빛의 속도는 전파의 속도이다. 자유공간에서의 전파의 속도를 구하라고 하면 빛의 속도를 구하면 된다.

우리가 사용하는 전자기기들의 주파수는 어떨까? 라디오부터 TV, 휴대폰까지 그 주파수는 다양하다.

AM : 540 ~ 1600KHz : 약 1000KHz
FM : 88MHz ~ 108MHz
TV : 54MHz ~ 88MHz

2G : 800MHz
2.5G(PCS) : 1800MHz
3G : 2000MHz
LTE(4G) : 2G~3G 주파수 공대역 전체 사용
5G : 27GHz(목표) / 5GHz(현재 통신사 운용)
6G : ?THz

위와 같은 주파수가 있는데, 주파수에 따라 파장과 안테나 길이가 달라진다.

f x λ = V(속도) 인데, 전파의 속도는 빛의 속도이므로 즉 아래와 같다.

f x λ = V = C = 3 x 10⁸

만일 AM통신을 한다면 주파수가 10⁶이므로,
f (= 10⁶) x λ = v = c = 3 x 10⁸
10⁶ x 300 = c = 3 x 10⁸
300 = 4 x 안테나길이
이므로 안테나의 길이는 75m 이다.
AM라디오에서는 라디오 안쪽에 코일을 엄청나게 감아놓아서, 총 길이가 75m가 될 수 있는 것이다.

FM통신을 한다면 주파수가 10⁸이므로. 10⁸ x 3 = c 이므로 λ = 3이다.
3m = 300cm 이므로 300cm = 4 x FM안테나길이,
FM안테나길이 = 75cm 이다.

지상파TV를 수신한다면 (2 x 10⁸) x 1.5 = c = 3 x 10⁸ 이다. 즉 λ = 1.5(m) 이다.
150cm = 4 x TV안테나길이 이므로, TV안테나길이 = 37.5(cm) 이다.

2G 휴대폰 신호(셀룰러폰)를 수신한다면 (9 x 10⁸) x λ = 3 x 10⁸이므로, λ = 1/3(m) = 100/3(cm) 이다.
1/3(m) = 4 x 2G안테나길이 이므로, 2G안테나길이 = 25/3 = (약)8.325(cm) 이다.

3G 휴대폰 신호(IMT2000)을 수신한다면 (2 x 10⁹) x λ = 3 x 10⁸ 이므로, λ = 3 / 20 = (약)0.15(m) = 15cm
15cm = 4 x 3G안테나길이 이므로, 3G안테나길이 = 15 / 4 = 3.75cm이다.

이와 같이 고주파를 사용하도록 점점 기술이 발전하면 안테나의 길이가 점점 작아지게 된다. 그리고 이는 안테나 이득이 커지게 된다. 안테나 이득은 파장의 제곱에 반비례하기 때문이다. 따라서 통신 기술이 점점 더 고주파를 향해서 이동하는 것이다. 현재는 2030년 목표로 6G를 상용화하는 것이 통신 업계의 목표이다. ~~현재 행태를 보면 답이 없다~~

위 사례를 두 가지 문제 예시를 들어 계산할 수 있다. 변조이론의 파장과 주파수 문제의 경우는 위의 f x λ = v = c = 3 x 10⁸ 공식만 안다면 쉽게 해결할 수 있다. 예를 들어보자.

1)	음성 신호를 기저대역으로 전송하는 경우 3KHz 성분 전파의 파장은?
해설	3 x 10³ x λ = 3 x 10⁸ 이므로 λ = 10⁵ = 10000m = 10km
2)	음성 신호를 기저대역으로 전송하는 경우 3GHz 성분 전파의 파장은?
해설	3 x 10⁹ x λ = 3 x 10⁸ 이므로 λ = 1/10 = 0.1m = 10cm

3. 변조의 종류

아날로그 변조

연속파 변조 (Continuus Wave[아날로그신호형태] Modulation)

선형변조(Linear Modulation) : 진폭변조(AM)
각변조(Angle Modulation) : 주파수변조(FM), 위상변조(PM)

펄스 변조 (= 이산파 변조)

아날로그 펄스 변조 (= 연속 펄스 변조) : PAM, PWM, PPM
디지털 펄스 변조 (= 불연속 펄스 변조) : PNM, PCM, ΔM

디지털 변조

ASK, FSK, PSK

디지털 변환[28]

신호 변환방식을 세부 분류하면 아래와 같다.

반송파 \\ 신호파		아날로그	디지털
아날로그	변조방식	AM, FM, PM	ASK, FSK, PSK, QAM
아날로그	변환장치		MODEM
디지털	변조방식	PAM, PWM, PPM, PCM, PNM, DM	RZ, NRZ, AMI, CMI, Manchester
디지털	변환장치	CODEC	DSU, CSU

그렇다면 혼동될 수 있는 개념을 위주로 아래에서 정리를 해보겠다.

- 진폭변조에 대한 설명에 대한 혼동

신호파의 진폭에 따라서 반송파의 진폭을 변화시키는 방식 = 진폭변조(AM)
신호파의 진폭에 따라서 반송파의 주파수를 변화시키는 방식 = 주파수변조(FM)

- 무선통신용 송신기에서 입력신호를 변조하는 이유

전송매개체와 신호를 정합(Matching)시키기 위해서

매칭시키면 반사가 안되고 그대로 전달이 되나 매칭이 안되면 가다가 반사가 된다. 따라서 잘 보내려고 한다는 것을 정합, 매칭시킨다고 한다.

주파수를 높이기 위해서?

틀린 답은 아니나, 가장 타당한 이유는 매칭이다.

- 무선통신의 특징

무선통신을 위해서는 특정 용도에 할당된 전자파 주파수 대역을 사용해야 한다.

위 문단에서 설명된 대로 2G, 3G 등에 따라 주파수 대역이 달라진다. 따라서 모든 무선통신에서는 특정 주파수 대역에서 무슨 것을 해야하는지 국제전기통신연합에서 규정해 놓는다.

유선통신 방법에 비해 전송과정에 잡음이 많이 발생한다.

유선통신은 가설된 선을 통해 이동하다보니 외부 소음이 들어가기 힘들다. 그러나 무선은 환경에 따른 잡음이 항상 들어간다. 주변의 잡음과 간섭에 노출이 많이 되어있다는 것은 무선통신의 약점이기도 하다.

아날로그 무선통신의 경우 신호는 다른 반송파에 실려 전송된다.

AM, FM 등을 할 때 음성신호는 높은 신호(빤송파)에 실려서 전송된다.

- 통신시스템에서의 변조의 이유와 목적

신호의 간섭을 피하기 위해서이다.

지상파 3사의 아나운서의 음성 주파수는 모두 비슷할 것이다. 변조를 하지 않는다면 같은 주파수가 날라오니 서로 구별이 어려울 것이다. 그러나 현재는 변조를 하고 있기에, 필터[29]를 통해 내가 원하는 방송국 주파수만 들어서로 섞이지 않아 간섭되지 않는다.

전파의 다중경로로 인한 신호 페이딩을 제거할 수 없다.

하나의 목적지에 직선으로 오는 신호와 위로, 옆으로 오는 신호가 다양할 것이다. 이것이 다중경로이다. 그런데 보면 알겠지만, 변조를 한다고 해서 이것을 컨트롤해서 해결할 수는 없다.

짧은 파장의 반송파 신호를 이용하여 변조함으로써 장비가 소형 경량화되는 장점이 있다.

높은 주파수를 쓰면 쓸수록 안테나와 소자를 점점 작게 할 수 있다. 최신 휴대폰이 될수록 내부 장비도 점점 더 작아지고 있는데, 이는 고주파를 쓰기 때문이다.

하나의 통신로에 여러 신호를 동시에 송수신할 수 있게 하기 위해서이다.

전송로 하나를 여러 명이서 나누어 쓸 수 있다. 이것이 다중화이다. 변조를 함으로써 다중화를 할 수 있다.

송수신용 안테나 제작 문제의 해결

너무 큰 안테나는 만들지 않고 작게 만들 수 있다.

잡음과 간섭의 개선
주파수 분할 다중 통신을 위해서
장거리 통신을 위해서
변조 구현 시 곱셈기를 사용한다.

- 변조의 효과

안테나의 길이를 줄일 수 있다.
송신대역폭을 늘릴 수 있다.
잡음과 간섭의 영향을 줄여서 신호를 멀리 보낼 수 있다.
주파수분할 다중화를 할 수 있다.

4. 수학이론(교류)

파일:external/upload.wikimedia.org/700px-Types_of_current.svg.png

위 그래프에서 가로로 곧게 뻗은 직선, 빨간색 direct 선이 직류이다. 교류는 초록색 alternating 곡선이다.

말로써 표현하려고 할 때 잘 모를땐 어떻게 표현해야 할까? 그것에 대한 수식이 있다면 그 수식을 말로써 표현하면 된다. 예를 들어보자. 전류가 무엇인가?라는 질문이 들어왔다. 간단하게 전하의 흐름이라고 대답할 순 있을 것이다. 그러나 수식으로 표현해 보자. [math(I)] = [math(\dfrac QT)]이므로, 전류는 단위 시간에 흐르는 전하량이라고 대답할 수 있다. 이와 같이 수식으로써 표현할 수 있는 것들은 수식으로 대답하여야 한다.

그런데 위 그래프처럼, 수식은 잘 모르지만 그림은 아는 경우가 있을 수 있다. 이 경우에는 이 그림의 축을 잘 알면 된다. 가로축인 [math(x)]축이 t(시간)이고, 세로축인 [math(y)]축은 I(전류)나 V(전압)일 것이다. 만일 직류라고 한다면, 직류는 시간에 따라서 전류나 전압의 크기가 일정한 것이라고 할 수 있을 것이다. 교류라면? 시간에 따라 전류나 전압의 크기가 바뀌면서[30] 방향이 바뀌는 것이라고 할 수 있을 것이다.

위의 파란색 pulsating 선은 맥류를 의미한다. 이것은 직류일까, 교류일까? 굳이 정하려고 한다면 전공서적에서는 직류로 분류한다. 그 이유는 방향이 일정하기 때문이다. 비록 크기가 계속해서 바뀌지만, 전류의방향은 항상 일정하다. 이것이 맥류가 교류보다는 직류에 가깝다고 하는 이유이다.

직류의 공식은 간단하다. V = a[v]와 같이 간단한 정의식으로 나온다. 그러나 교류는 복잡하다. [math(v(t) = a \sin (wt+θ))]을 교류의 순시값[31]이라고 한다. 그런데 한가지 추가해야 할 것이 있다. [math(w = 2πf)]라는 공식을 고려한다면, 주파수를 구할 수 있다.

만일 a=5, w=100π라고 하자. 이 그래프의 최대 높이는 5가 될 것이고, 2πf=100이므로 f=50[Hz]가 된다. 즉 이를 통해 주기를 구할 수 있으며, T = 1/50 = 0.02이다. 따라서 그래프가 한번 올라갔다가 내려오는, 한 바퀴를 돈 위치에서의 t=0.02가 되고, 그래프가 (0,0)에서 출발하므로 θ=0이 된다. 이와 같이 값들을 구할 수 있다.

만일 출발점이 (0,0)이 아니라 조금 더 위일수도 있고 아래일수도 있는데, 이 경우에는 θ가 달라지게 될 것이다. 기본 그래프가 [math(5 \sin (wt+0\degree))]였다면 θ값을 [math({θ_1})]으로 증가시켜 위로 각이 조금 벌어졌을 때 그래프는 [math(5 \sin (wt+{θ_1}))]일 것이며, θ값을 [math({θ_2})]으로 감소시켜 아래로 각이 조금 벌어졌을 때 그래프는 [math(5 \sin (wt+{θ_1}))]일 것이다.

만일 각도가 [math(90\degree)]였다면 어떨까? [math(5 \sin (wt+90\degree))]가 될 것이다. 그리고 이 사인 함수를 이렇게도 쓴다. [math(5 \cos (wt+0\degree))] 즉 [math(sin)]은 출발점이 [math(0\degree)]인 것을 말하고, [math(cos)]은 출발점이 [math(90\degree)] 빠른 것을 말한다. 즉 [math(sin)]보다 [math(cos)]은 위상이 [math(90\degree)] 빠르고, [math(cos)]보다 [math(sin)]은 위상이 [math(90\degree)] 느리다!

만일 [math(sin θ)]를 미분한다면? [math((sin θ)')] = [math(cosθ)] 이다.
그렇다면 [math(sin θ)]를 적분한다면? [math(\displaystyle \int{sin θdθ})] = [math(-cosθ)] 이다.
[math(sin θ)]를 미분기를 향해 이동시킨다고 해보자. [math(sin θ)] → [math(\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t})] → [math(cos θ)] 가 된다.
역시 [math(sin θ)]를 적분기를 향해 이동시킨다. [math(sin θ)] → [math(\displaystyle \int{dt})] → [math(-cos θ)] 가 된다.

sin을 미분해서 cos이 나온다는 것은, sin보다 cos이 위상이 [math(90\degree)] 빠르다는 것을 감안하면, 어떤 수식에 미분을 할 때 그 위상이 무조건 [math(90\degree)] 빨라진다는 결과를 도출할 수 있다!

그렇다면 위상이 [math(180\degree)] 빨라지면? 이는 sin에서 반전되어 [math(-sin θ)]가 나오고, 위상이 [math(270\degree)] 빨라지면? 역시 이또한 cos에서 반전되어 [math(-cos θ)]가 나온다.

그러면 sin을 적분할 때 -cos이 되었는데, 이는 위상이 [math(90\degree)] 느려진 것이다. 그렇다면 이 또한 감안한다면, 어떤 수식에 적분을 할 때 그 위상이 무조건 [math(90\degree)] 느려진다는 결과 역시 도출할 수 있다!

이러한 것들을 이해를 한다면 앞으로 블록과 미분기가 주어질 때 들어온 위상과 나오는 위상이 어떻게 차이가 나는지에 대해 자연스럽게 이해하게 될 것이다. 주파수가 빨라지고 느려지는 것은 주기가 느려지고 빨라지는것과 연관이 있다. 그렇다면 아까의 교류의 순시값 ([math(v(t) = a \sin (wt+θ))])에서 가장 높은 값은 a일 것이다. 즉 신호가 가지는 가장 높은 값 a를 이제 최댓값, 또는 진폭이라고 부를 수 있다. [math(w)]는 각속도, 또는 각주파수라고 부를 수 있으며 [math(w=2πf)]이고, 여기서 [math(f)]는 주파수이고, [math(t)]=0일때의 출발점이 어디인가? 이 때 [math(θ)]을 위상이라고 부른다. 즉 위상은 시작점이다. 이것이 교류신호의 일반적인 표현이다.

5. 아날로그 변조

교류의 순시값

[math(v(t) = a \sin (wt+θ))]

아날로그 변조는 AM, FM, PM으로 나뉜다.

AM : 진폭변조 (순시값에서의 [math(a)] = 진폭, 즉 [math(V_m)]가 바뀌는 변조)
FM : 주파수변조 (순시값에서 [math(w=2πf)]였으므로, 이중 [math(f)] 또는 [math(w)]가 바뀌는 변조)
PM : 위상변조 (순시값에서의 [math(θ)]가 바뀌는 변조)

여기서 a를 진폭값 변수 [math(V_m)]으로 바꾸어주면, 진정한 교류의 순시값 공식은 다음과 같다.

교류의 순시값

[math(v(t) = V_m \sin (wt+θ))]

위의 일반적 변조 문단 1번에서 소개된 바와 같이, 음성을 아날로그 선로에서 잘 날아가게끔 태운다고 하였다. '나'라는 사람(음성/신호파)이 '표'를 끊어서(변조) '고속버스'에 타서(반송파) 갈 것이다. 그런데 내가 고속버스에서 앞자리에 탈 수도 있고, 뒤에 탈 수도 있다. 이때 음성이라는 신호를 반송파에 태울 때, 음성이랑 반송파가 둘 다 아날로그 신호이다! 이러면 이 음성이 이 반송파라는 신호의 진폭에 탈 건지, 주파수에 탈 건지, 아니면 위상에 탈 건지에 따라서 아날로그 변조가 AM, FM, PM인지 차이가 나게 된다. 따라서 이해를 하기 위해선 이 순시값에 대한 정보의 표현법을 모르는 상태에서는 이 문서를 아무리 봐봤자 아무것도 안 되는 것이다. 순시값의 표현에 대한 정확한 이해가 있어야 한다.

주기 T = 한번 반복될 때 걸리는 시간, 주파수 f = 1초에 반복되는 횟수, [math(T)] x [math(f)] = 1 이라는 사실을 감안하고 아날로그 변조 문제를 확인한다면, 수월하게 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어 보자. f = 50KHz이다. 그렇다면 [math(T)] = [math(\dfrac 1{50K})]일 것이다. 그런데 [math(T)] x [math(f)] = 1 이었으므로, 50 x 20 = 1000 이 되므로, T = 20ms(마이크로세컨드)일 것이다. 즉 둘을 곱해서 1을 만들거나, 1,000을 만든다면 쉽게 계산될 수 있다.

원 한바퀴를 돌 때 움직이는 각도는 2π이고, 시간은 0.1초라면? 1초에 10바퀴를 돌 테니, 1초동안 도는 각도는 2π x 10 = 20π(rad/sec)일 것이다. 이를 수식으로 하면 [math(w = 2π)] x [math(f)] 인 것이다.

파는 무조건 상하로 진동을 한다. 단지 진행 방향이 좌우일 뿐이다. 그래서 진행 방향과 진동 방향이 서로 수직인 형태로 전자기파가 많이 날라가게 된다. 이렇게 날아가니깐 한번 진동하면서 나아가는 직선 거리가 분명히 만들어지게 된다. 이걸 파장이라고 부른다. 여기서 2번 문단의 전파의 속도를 구하는 공식이 큰 힘을 발휘한다. [math(f)] x [math(λ = v = c =)] 3 x 10⁸이다. 이 공식을 이용한다면 주파수나 파장을 이용해서 나머지 하나를 찾을 수 있다. 예를 들어, 주파수가 2MHz이다. 2MHz는 2 x 10⁶Hz이므로, 이때 여기에 λ를 곱하면 3 x 10⁸이 될 것이므로, 파장은 150m라는 것을 구할 수 있다. 파장을 알 경우도 마찬가지로 구할 수 있다. 만일 파장이 5cm라고 한다. 그렇다면 기준 단위인 m으로 바꾸면 0.05이다. 여기에서 주파수 f를 곱하면 3 x 10⁸이 되므로, 주파수는 6 x 10⁹Hz, 즉 6GHz라는 것을 구할 수 있다.

아날로그 변조를 해보자. 신호파를 [math(m(t))][32]라고 하고, 반송파를 [math(v(t) = V_m \sin (wt+θ))]라고 하자. 아날로그 신호인 정보를 반송파인 carrier에 싣는 과정을 변조라고 한다. [math(V_m)]에 실으면 진폭 변조, [math(w)]에 실으면 주파수 변조, [math(θ)]에 실으면 위상 변조이다. 따라서 이를 아래와 같이 정리할 수 있다.
1. [math(V_m)]을 변화시키면 → AM 변조 (진폭변조, Amplitude Modulation)
2. [math(w)]를 변화시키면 → FM 변조 (주파수변조, Frequency Modulation)
3. [math(θ)]를 변화시키면 → PM 변조 (위상변조, Phase Modulation)

[math(m(t))]: 정보[33] [V][전압단위], [math(c(t) = V_{cm} \sin (wt+θ))] [V][전압단위] 라고 하자. m(t)라는 정보를 c(t)에 태울 것이다. 이때 변조를 해보자. AM 변조는 m(t)라는 정보를 [math(V_{cm})]에 태워서 바꾼다고 하였다. 그렇다면 이곳에 태우면 될것이다. 적용해보겠다.
1. AM 변조 : [math(V_{AM} = (V_{cm}+m(t)) \sin (wt+θ))]
즉 후반부의 [math(\sin (wt+θ))]는 변화를 주지 않고, [math(V_{cm}+m(t))] 이라는 진폭 부분을 정보를 이용해서 바꾸어 준 것이다. 즉 이것이 AM이다.

FM 변조를 한다면 어떨까? FM 변조는 [math(V_{cm})]도 그대로 있고, [math(\sin)]도 그대로 있다. 바뀌는 것은 [math(w)], 즉 주파수 부분이다. 이렇게 정보를 반송파의 주파수에 넣어주는 것이다. 적용해 보겠다.
2. FM 변조 : [math(V_{FM} = V_{cm} \sin (w+km(t))t+θ))][36][37]
[math(w = 2πf)]이므로 정확히는 [math(w+km(t))t)] 대신 [math(2π(f+km(t)))]가 되어야 하지만 대략적으로 하였을 때는 위 공식만 하여도 된다.

3, PM 변조 : [math(V_{PM} = V_{cm} \sin (wt+(θ+km(t)))]
여기에서도 [math(θ)]는 위상단위인데 [math(m(t))]는 전압단위이므로 단위가 달라 비례상수 [math(k)]를 곱해주어야 한다.

따라서 이 수식이 반송파의 전압을 바꾸면 진폭변조, 주파수를 바꾸면 주파수변조, 위상을 바꾸면 위상변조가 되는 것이다. 간단히 요약하자면, 정보가 있고 반송파에 정보를 태우는 과정이 변조이며 이때 진폭에 태우냐 주파수에 태우냐 위상에 태우냐에 따라서 AM, FM, PM으로 이름을 부른다. 그렇다면 이 AM, FM, PM 변조를 그림을 이용해서 이해해 보도록 하겠다.

[math(m(t) = 6\sin w_0t)]라고 하고, [math(c(t) = 10\sin (w_ct))]라고 하자. 그렇다면 AM부터 한다.
1. [math(V_{AM} = 10+m(t) \sin(w_0t))가 될 것이다. 즉 10에 [math(m(t))]를 더해 새로운 진폭을 만들어 주는 것이다. [math(m(t))]값을 아므로, 이는 다시 한번 더 쓸 수 있다.
= [math((10+6sinw_0t)\sin(w_0t))]가 될 것이다. 이를 AM 변조의 그림으로 다음과 같이 그릴 수 있다.

위 그림에서 가장 위에 있는 그래프가 m(t)이다. 그리고 가운데는 방송파 c(t)이다. 반송파의 주파수인 [math(w_c)]는 신호파의 [math(w_0)]보다 많이 크다. 즉 [math(w_c)] > [math(w_0)] 이다. 그런데 진폭은 가장 큰 높이이므로 m(t)의 최댓값은 6, c(t)의 최댓값은 10이다. 주파수가 크다는 말은 주기가 작다는 말이 되므로 c(t)는 매우 촘촘하게 그려진다. 그렇다면 변조된 파는 어떨까? 변조파의 진폭은 [math(10 + 6\sin(w_0t))]이다. 시작할 때 [math(\sin 0\degree)]는 0이므로 처음 진폭은 10짜리가 나온다. 그런데 사인이 점점 커지면 진폭값도 점점 커지게 될 것이다. [math(\sin)]값이 [math(\dfrac 12)]이면 진폭은 10+3 = 13일 것이므로 조금 더 커지고, 그러다가 [math(\sin)]값이 1이 되는 최댓값 지점에서는 10+6 = 16이 될 것이고, 이후 다시 값이 줄어들어 10이 되고, 최솟값까지 줄어들면 10-6 = 4가 되어 4짜리 진폭이 나오게 될 것이다. 그리고 다시 증가하여 10이 되고, 이 형태의 그래프가 반복될 것이다.

그렇다면 이 경우 이 실제 정보가 변조파의 꼭대기 값의 그래프와 동일하게 될 것이다. 즉 반송파의 진폭에 정보를 실어 나르는 파, 진폭 변조된 파, AM 변조파라고 하는 것이다.

[1] 음성, 데이터, 영상 등 [저주파] [고주파] [저주파] [5] 원신호의 주파수 범위, 즉 신호가 원래 가지고 있는 주파수 범위인 BaseBand를 기저대역이라고 한다. [6] 한번 진동할 때 걸리는 거리가 파장이다. [Matching] [송신측] [수신측] [10] 채널 이라고도 한다. [11] 말로 한다면? 당연히 아날로그이다. [12] 워드 작업을 한 자료라면? 이는 디지털이다. [Translation] [14] 변조가 아닌 변환이라는 용어를 사용한다. [15] 신호변환장치, Modulation [16] 신호변환장치, De-Modulation [17] 디지털 신호가 개발되었으나, 아직 선로는 대부분 아날로그 선로였기에 이와 같은 방식이 된다. [모뎀] 1번 방식에서 변조/복조기 이름을 사용하였기에 사용할 수 없었으며, 양방향 통신이기에 변조와 복조를 모두 해야해서 변복조기라는 의미로 변조의 Mo, 복조의 De-M 을 붙여 MoDeM, 모뎀으로 명명했다. [모뎀] [코덱] 인코딩이라고 부르는 enCoder에서 Co, 디코딩이라고 부르는 DeCoder에서 DeC를 떼서 CoDeC, 코덱이라고 부른다. 인코딩은 10진수(아날로그신호)를 2진수(디지털신호)로 만드는 과정이고, 디코딩은 2진수(디지털신호)를 다시 10진수(아날로그신호)로 환원하는 과정을 말한다. [코덱] [22] 델타 모듈레이션이라고 읽는다 [디지털서비스유닛] [24] 디지털 신호를 디지털 선로로 보내는데 왜 바꾸는지 이해가 안 될 수 있으나, 디지털의 형식이 다르다. 일반적인 디지털 신호는 직류성분이 있는 1→0→1→0 형태이다. 그런데 신호를 +1→-1→+1→-1 형태로 바꾸면 감쇠가 줄어서 선로가 더 좋은 특성을 보인다. 이때문에 디지털을 디지털로 바꾸는 것이다. [디지털서비스유닛] [26] 주파수의 단위는 시간 분의 1이나, 헤르츠를 기리기 위한 단위로 Hz를 사용한다. [아날로그신호형태] [28] 변조는 낮은 주파수를 높은 주파수로 옮기는 과정이 들어가야 하므로 변환은 별도 취급 [29] 내가 듣고싶은 주파수만 들을 수 있도록 도와주는 장치이다. [30] 크기만 바뀐다고 하면 교류가 아니다. 교류는 +(양)으로 갈 때는 크기가 +로 가지만, -(음)으로 갈 때는 전류가 반대인 -로 가기 때문이다. [31] 순간순간에 시간에 따라서 변하는 값 [32] 이것도 아날로그 신호이다. [33] 내가 보내려고 하는 신호 [전압단위] [전압단위] [36] [math(k)]와 [math(m(t))]가 단위가 다르므로, 단위를 맞춰주기 위해 비례상수 [math(k)]를 곱해준다. 즉 단위를 같게 만들기 위해 어떠한 값을 곱해주는 것이다. [37] 위의 AM에서는 왜 비례상수를 곱하지 않았느냐 할 수 있는데, 위에서는 [math(V_{cm})]도 전압단위이고 [math(m(t))]도 전압단위이므로 단위가 같아 곱하지 않았으나 위의 [math(m(t)]에 비례상수 [math(k)]를 곱할 때도 있고 곱하지 않을 때도 있다. 그러나 FM에서는 단위가 다르므로 무조건 곱해야 한다.