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상대성 이론 Theory of Relativity |
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1. 개요
Relativity of simultaneity특수 상대성 이론에서 시간과 관련하여 예측되는 특이적인 현상 중 하나로, "공간 상에서 떨어진" 두 점에서 벌어진 사건이 관찰자에 따라 동시일 수도 있고, 아닐 수도 있다는 것이다. 시간 지연, 길이 수축을 논하기 전에 이 현상에 대한 이해가 보다 중요하다. 단순히 길이가 줄어들고 시간이 늘어난다는 사실만 알고 들여다보면 온갖 역설이 생성된다.
2. 역사
역사적으로는 로런츠의 이론에서 등장하는 "국소 시간"(현재의 로런츠 변환에서 시간 좌표의 변환식에 해당한다.) 개념에 물리적 의미를 부여하기 위한 과정에서, 앙리 푸앵카레가 1898년 저서 "과학과 가설"(La Science et l’hypothèse)에서 처음 고안한 것이다. 푸앵카레는 절대 시간이 존재하지 않는다고 생각했지만 한편으로 에테르와 그에 부여되는 "진짜" 시간이라는 개념을 고수하고 있었기 때문에 이는 빛 신호를 이용한 측정의 문제 내지 한계로 해석하는 뉘앙스가 있다. 훗날 1905년 아인슈타인이 약간 다른 맥락에서 동일한 발견을 했는데(위 책을 읽었기 때문에 영향을 받았다는 주장도 있다), 아인슈타인은 에테르의 존재를 믿지 않았기에 동일한 과정을 사용했음에도 두 좌표계에서 제각각 제시하는 동시성이 똑같이 유효한 것이라고 해석했다.3. 설명
동시성의 상대성은 사실 상대성 이론의 철학적 분석에서 가장 중요하게 인용되는 구성요소 중 하나이다. 고전 역학에서는 개념적으로 사건의 동시성에 절대적 의미를 부여하지만, 이는 빛이 인지에 비해 너무 빠른 바람에 얻게 된 (근사적) 직관을 그대로 개념화한 것이다. 과학에서 이것은 잘못이 아니며(오히려 매우 일반적인 현상이다.) 어떻게 보면 광속의 절대성을 몰랐던 시대의 한계이지만, 한 번 개념이 고착화되면 올바른 개념이 발견되고 자리잡기까지 오랜 시간과 큰 저항이 발생하게 된다. 시간의 경우에는 특히 그러했다. 이후 19세기 후반에 광속의 절대성이 발견되면서, 물리학자들은 이것이 기존의 관념과 충돌하는 이유를 알아야 했다. 문제는 고전 역학의 시간 개념에서 어딘가 직관의 선험적 개입이 있었다는 것인데, 선술한대로 개념이 너무 오래 고착화되어서 기존의 개념에 무의식적으로 꼬여 있던 연결 구조를 푸는 과정이 굉장히 어려워진 것이다.이 문제를 해결한 아인슈타인에 의하면 동시성의 상대성은 특정 개념의 정의가 경험과 맞닿아 있어야 한다는 교훈의 일면을 보여주는 것이다. 지구에서도 경도에 따라 표준시가 달라지듯, 어느 하나의 시계가 알려줄 수 있는 건 엄밀히 말해서 그 시계가 위치한 곳([math(A)]라 하자.)의 시간뿐이다. 공간 상의 다른 지점([math(B)]라 하자.)에서 흐르는 시간(혹은 시계)을 확인하기 위해서는 [math(A)]와 [math(B)]에 위치한 두 시계를 연결하는 방법이 필요한데, 그것이 바로 동기화(Synchronization)이다. 따라서, 어떤 두 사건이 동시라고 말하려면, (광속의 절대성을 받아들인다면 특히) 먼저 시간의 흐름을 국소화하고 관찰자마다 시간을 알려주는 시계들을 동기화하는 과정을 거쳐야 한다. 다시 말해 고전 역학에서는 시계들의 동기화 과정을 무의식적으로 그냥 "건너뛰어버려서" 실제와의 괴리가 생긴 것이다.
시계를 동기화한다는 새로운 문제 의식이 일단 생기면 그 해답은 어렵지 않다. 절대성을 띠는 빛 신호를 [math(A)]와 [math(B)] 사이에 주고 받게 하는 것이다. 먼저, [math(A)]와 [math(B)]의 시계가 정지해 있다고 할 때 동기화의 구체적인 과정은 다음과 같다.
(a) [math(A)]의 시계가 [math(t_A)]를 가리킬 때 빛 신호를 쏘아 [math(B)]의 시계가 [math(t_B)]를 가리킬 때 [math(B)]에 신호가 도착한다.
(b) [math(B)]에 도착한 빛 신호가 반사되어 [math(A)]의 시계가 [math(t_A')]을 가리킬 때 [math(A)]에 다시 도착한다.
(c) 가는 시간과 오는 시간은 동일하므로 [math(t_B - t_A = t_A' - t_B)]가 성립하도록 시계 바늘을 조절한다.
(b) [math(B)]에 도착한 빛 신호가 반사되어 [math(A)]의 시계가 [math(t_A')]을 가리킬 때 [math(A)]에 다시 도착한다.
(c) 가는 시간과 오는 시간은 동일하므로 [math(t_B - t_A = t_A' - t_B)]가 성립하도록 시계 바늘을 조절한다.
이런 식으로 각각의 관찰자들은 자신에 대해 정지한 시계들을 동기화하고 나면, 다음 단계는 다른 관찰자와 동기화를 비교하는 것이다. 관찰자 1의 입장에서 일정하게 운동하는 관찰자 2가 동기화한 시계들은 일정하게 관찰자 2와 함께 운동한다. 관찰자 2가 이미 위 절차를 밟아서 시계들을 동기화했다고 가정하면 관찰자 1은 다음 사실을 발견한다.
(a)' 관찰자 2와 그의 시계들은, 관찰자 1에 대하여 [math(x)]축 방향으로 [math(v)]의 속력으로 일정하게 운동한다.
(b)' 관찰자 2에 대해 정지한 두 점([math(A)], [math(B)])이 관찰자 1에 대하여 [math(x)]축을 따라 놓여 있다고 하자.
(c)' 관찰자 2가 두 시계를 동기화하는 과정은 관찰자 1에게 다음과 같다.
(d)' [math(t_B - t_A \neq t_A' - t_B)]이므로, 관찰자 1이 보았을 때 두 시계는 동기화되어 있지 않다.
(b)' 관찰자 2에 대해 정지한 두 점([math(A)], [math(B)])이 관찰자 1에 대하여 [math(x)]축을 따라 놓여 있다고 하자.
(c)' 관찰자 2가 두 시계를 동기화하는 과정은 관찰자 1에게 다음과 같다.
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[math(\displaystyle t_B - t_A = \frac{AB}{c-v})] [math(\displaystyle t_A' - t_B = \frac{AB}{c+v})] |
따라서 관찰자 1과 관찰자 2는 시계의 동기화에 대해 동의하지 않게 되며, 고전 역학을 구성하는 시간 개념은 이것으로 무너진다. 다만, 고전 역학의 시간 개념을 다시 유도하는 방법은 있다. [math(v/c)]가 매우 작은 값이면 된다.
시계의 동기화는 상대성 이론 초창기에 등장한 개념이고 빛의 왕복을 이용한다는 점에서 현재 동시성의 상대성의 예시로 보여주는, 훗날 아인슈타인이 1916년 저서 "상대성 이론"에서 재구성한 기차 예시(아인슈타인 기차)와는 약간 다르지만, 원리는 같은 것이다.
3.1. 로런츠 변환의 해석
로런츠 변환을 통해 동시성의 상대성은 공간축이 틀어지면서 생긴 현상임을 알 수 있다. 관찰자 [math(O)]에 대하여 [math(x)]축 방향으로 [math(v)]의 속력으로 움직이는, 세 공간축이 일치하는 관찰자 [math(O')]으로의 로런츠 변환은 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} t' &= \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right) \\ x' &= \gamma\left(x-vt\right) \\ y'&=y \\ z'&=z \end{aligned})] [math(; \quad \displaystyle \gamma = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})] |
3.2. 인과율 문제
상대성 이론 하면 시간 팽창이 가장 유명하지만, 사실 이쪽이 더 쇼킹하다. 시간 팽창은 단지 시간의 흐름이 느리고 빠르고를 나타낸다면 동시성의 상대성은 사건의 전후관계를 뒤바꾸기 때문에 자칫하면 인과율을 깰 수 있는 상황도 가능할 것이다. 동시성의 상대성의 주요 쟁점 두 가지를 살펴보자.1) 타임머신?
예를 들어, 관찰자 A에게 2023년의 한국과 2023년의 미국이 동시 사건이라면, A에 대해 매우 빠르게 운동하는 관찰자 B에게는 2023년의 한국과 1023년의 미국이 동시 사건이 될 수 있다. 이걸 이용하면 과거의 사건이나, 미래의 사건을 단순히 빠른 속도를 주는 것만으로 관찰할 수 있을 것이다. 극강의 가성비를 자랑하는 타임머신이다.
그러나, 실제로 이것을 이용해서 타임머신을 만들 수는 없다. 공간상에서 떨어진 점에서 관찰자에게 정보가 전해질 때까지는 적어도 빛이 도달하는 데 걸리는 시간이 필요하다. 동시 사건이 서로 달라지는 건 분명하지만, 동시인 사건들의 정보를 실제로 받아들일 때에는 시간이 지연되는 것이다. 따라서 좌표계 상으로는 분명 다른 시간대를 보고 있음에도 실질적으로는 그 사건에 위치한 다른 관찰자와 보는 풍경에 큰 차이가 없게 된다.
2) 인과율의 훼손?
예를 들어 관찰자 A가 보았을 때 까마귀가 어떤 나무 위를 지나치고 0.0001초 뒤에 나무에서 배가 떨어졌다고 해보자. 그런데 A에 대해 엄청나게 빠르게 운동하는 B가 보았을 때에는 반대로 나무에서 배가 먼저 떨어지고 0.0001초 뒤에 그 위에서 까마귀가 지나갔다고 해보자. 특수 상대성 이론에서는 이것이 가능하다. 하지만 이 까마귀가 나무 위를 지나가는 것과 나무에서 배가 떨어지는 사건은 서로 관계가 없기 때문에 인과율적인 문제는 발생하지 않는다.
이번엔 관찰자 A가 보았을 때 전등의 스위치가 눌리고, 1초 뒤에 전등의 불이 켜졌다고 해보자. 이 때 관찰자 B는 전등의 불이 먼저 켜지고 전등의 스위치가 1초 뒤에 눌리는 상황을 관찰할 수 있을까? 특수 상대성 이론에서는 이것이 불가능하다. 둘은 인과적으로 연결되어있기 때문이다.
시공간 상의 두 사건(A와 B)이 서로 인과적으로 관련되기 위해서는, 둘 사이에 무언가가 도달할 수 있어야 한다. 다시 말해서 적어도 빛이 두 사건을 충분히 모두 거칠 수 있을 정도로만 공간 상으로 떨어져있어야 한다. 왜냐하면 특수 상대성 이론에서 우주의 최대 속도는 광속이기 때문이다. 만약 두 사건의 (어떤 관찰자 기준으로) 시간 차가 상당하다면, 그동안 빛은 더 많은 거리를 갈 수 있기 때문에 인과적으로 연결되기 좋다. 그러나 두 사건이 동시에 가까울수록 인과적으로 관련되기 어려워진다.
일반적으로, 동시성의 상대성에서 말하는 전후관계의 변동은 "인과적으로 연관이 없는" 즉, 빛이 도달할 수 없을 정도의 거리에서 발생한 두 사건에만 한정된다. 인과적으로 연관이 있는 두 사건은 언제나 전후관계가 보존된다. 이것을 시각적으로 표현하면 빛원뿔(light cone)이 된다.
4. 예시
4.1. 달리는 기차
달리는 기차 한 가운데에 광원이 있다고 하자. 기차에 탄 관측자에게는 기차의 앞쪽과 뒷쪽에 빛이 도달하는 두 사건이 동시에 일어난다. 하지만 기차 외부에 정지한 관찰자에게는 기차의 뒷쪽에 빛이 먼저 도달한다. 기차 외부 관찰자의 기준틀에서는 실제로 두 빛이 동시에 도달하지 않은것이다.
신호의 속력이 유한해서 두 사건의 정보가 관찰자의 눈에 동시에 도달하지 않은게 아니라, 실제로 기차 외부 관찰자의 세계에서는 두 사건이 동시에 일어나지 않았다.